Nhóm đối xứng của tam giác đều - symmetry group of the regular triangle

Nhóm đối xứng của tam giác đều. Trong mặt phẳng Euclide cho $ \Delta ABC $ đều tâm $ O $. Gọi $ {D_{2 \cdot 3}}$ là tập hợp tất cả các phép biến hình bảo toàn khoảng cách ánh xạ $ \Delta ABC $ thành chính nó. Ta dễ dàng chứng minh được $ {D_{2 \cdot 3}}$ là một nhóm.

Bây giờ ta sẽ mô tả tất cả các phần tử của nhóm này.

- Phép biến hình $ {L_0} $ với quy tắc cho ảnh $ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
A & B & C \\
\end{array} } \right)$ là phần tử đơn vị của $ {D_{2 \cdot 3}}$.

- Phép biến hình  $ {L_1} $, $latex {L_2} $, $latex {L_3} $ với quy tắc cho ảnh lần lượt là $ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
A & C & B \\
\end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
C & B & A \\
\end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
B & A & C \\
\end{array} } \right)$ tương ứng là các phép đối xứng trục qua $ OA $, $ OB $, $OC $.

- Phép biến hình $ {L_4} $ với quy tắc cho ảnh$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
B & C & A \\
\end{array} } \right)$ là phép quay $ {Q_{\left( {O,\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}.$

- Phép biến hình $ {L_5} $ với quy tắc cho ảnh $ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A & B & C \\
C & A & B \\
\end{array} } \right)$ là phép quay $ {Q_{\left( {O,\frac{-{2\pi }}{3}} \right)}}.$

Đây là nhóm cấp $ 6 $ không giao hoán.