Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
- Thứ sáu - 05/02/2016 14:20
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian. Cách tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian.
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Để tìm hình chiếu $\Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
Ví dụ. Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 1 - t
\end{array} \right.$ và $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 1 - t
\end{array} \right.$ và $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
Giải. Bước 1. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ là ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right),{\vec n_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right] = \left( {1;0 - 1} \right).$ Chọn $M\left( {1;2; - 1} \right) \in d \subset \left( \alpha \right).$
Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
Do đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z - 1 = 0\\
x - z - 2 = 0
\end{array} \right..$
Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $\Delta$ là ${\vec n_1} = \left( {1, - 1;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1,0; - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {1;2;1} \right).$
Từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ta thay $x = 0 \Rightarrow y = - 3,z = - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 3; - 2} \right) \in \Delta .$
Suy ra phương trình tham số của $\Delta$ là $$\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - 3 + 2t\\
z = - 2 + t
\end{array} \right..$$
Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
Do đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z - 1 = 0\\
x - z - 2 = 0
\end{array} \right..$
Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $\Delta$ là ${\vec n_1} = \left( {1, - 1;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1,0; - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {1;2;1} \right).$
Từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ta thay $x = 0 \Rightarrow y = - 3,z = - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 3; - 2} \right) \in \Delta .$
Suy ra phương trình tham số của $\Delta$ là $$\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - 3 + 2t\\
z = - 2 + t
\end{array} \right..$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)