Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng
- Thứ bảy - 06/02/2016 01:54
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng trong không gian. Cách tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng trong không gian.
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng $d$ ở dạng tham số $$\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right.$$
Bước 2. Điểm $H \in d$ nên $H\left( {{x_0} + at,{y_0} + bt,{z_0} + ct} \right).$
Bước 3. Từ điều kiện $\overrightarrow {MH} \bot {\vec u_d} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} \cdot {\vec u_d} = 0$ ta lập phương trình và giải tìm $t$, thay vào phương trình của $d$ ta được toạ độ điểm $H$.
Ví dụ. Tìm toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M\left( {1;1;3} \right)$ lên đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 1 - t
\end{array} \right..$
Giải. Vì $H \in d \Rightarrow H\left( {1 - t;2 + 2t; - 1 - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( { - t;1 + 2t; - 4 - t} \right).$ Mặt khác ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right).$
$$\overrightarrow {MH} \bot {\vec u_d} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} \cdot {\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow \left( { - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( {1 + 2t} \right) \cdot 2 + \left( { - 4 - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$$
Thay $t = - 1$ vào phương trình của $d$ ta được $x = 2;y = 0;z = 0.$
Vậy toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên đường thẳng $\left( d \right)$ là $H\left( { 2;0;0} \right).$
Bài tập