Phương trình đường thẳng trong không gian
- Thứ sáu - 05/02/2016 02:47
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình chính tắc của đường thẳng. Các dạng toán viết phương trình đường thẳng. Phương trình đường thẳng song song với một đường thẳng. Phương trình đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Cách chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vector chỉ phương $\vec u = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình tham số là $$\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Phương trình chính tắc của đường thẳng. Đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vector chỉ phương $\vec u = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình chính tắc là $$\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c},a,b,c \ne 0.$$
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của của đường thẳng $d$ qua điểm ${M_0}\left( { - 5;4;6} \right)$ và có vector chỉ phương $\vec u = \left( { - 1;2; - 3} \right)$.
Giải. Phương trình tham số $$\left( d \right):\left\{ \begin{gathered}
x = - 5 - t \hfill \\
y = 4 + 2t \hfill \\
z = 6 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Phương trinh chính tắc $$\left( d \right):\frac{{x + 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2} = \frac{{z - 6}}{{ - 3}}.$$
x = - 5 - t \hfill \\
y = 4 + 2t \hfill \\
z = 6 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Phương trinh chính tắc $$\left( d \right):\frac{{x + 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2} = \frac{{z - 6}}{{ - 3}}.$$
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1;2;4} \right)$ và $B\left( {3; - 1;1} \right).$
Giải. Ta có ${{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 3} \right),A\left( {1;2;4} \right) \in d$. Do đó phương trình tham số và chính tắc của $d$ lần lượt là $$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = 2 - 3t \hfill \\
z = 4 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R};\;\;\;\;\;\;\;\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{{ - 3}}.$$
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng $$\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{2};\;\;\;\;\;\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{gathered}x = 1 + 2t \hfill \\
y = 2 - 3t \hfill \\
z = 4 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R};\;\;\;\;\;\;\;\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{{ - 3}}.$$
x = 2 - t \hfill \\
y = t \hfill \\
z = 3 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
a. Xác định $2$ điểm phân biệt thuộc mỗi đường thẳng và xác định vector chỉ phương của hai đường thẳng này.
b. Viết phương trình tham số của $d_1$ và phương trình chính tắc của $d_2$.
Giải. a. Để chọn được một điểm thuộc $d_1$, ta thay một giá trị bất kì vào một ẩn, rồi đi tìm hai ẩn còn lại.
Thay $x=1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $$\frac{{z + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z + 2 = 0 \hfill \\
z - 3 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z = - 2 \hfill \\
z = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow A\left( {1; - 2;3} \right) \in {d_1}.$$
Thay $x=2$ vào phương trình của $d_1$ ta được $$\frac{{z + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{2} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z + 2 = - 4 \hfill \\
z - 3 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z = - 6 \hfill \\
z = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 6;5} \right) \in {d_1}.$$
Để chọn được một điểm thuộc $d_2$ ta thay một giá trị bất kì vào tham số $t$ và tìm $x$, $y$, $z$ tương ứng.
Thay $ t = 0 $ vào phương trình của $d_2$ ta được $x = 2,y = 0,z = 3 \Rightarrow M\left( {2;0;3} \right) \in {d_2}.$
Thay $ t = 1 $ vào phương trình của $d_2$ ta được $x = 1,y = 1,z = 0 \Rightarrow N\left( {1;1;0} \right) \in {d_2}.$
Vector chỉ phương của $d_1$ là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 4;2} \right)$, của $d_2$ là ${{\vec u}_2} = \left( { - 1;1; - 3} \right)$.
b. Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$ và có vector chỉ phương là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 4;2} \right)$ nên có phương trình tham số là
$$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + t \hfill \\
y = - 2 - 4t \hfill \\
z = 3 + 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M\left( {2;0;3} \right)$ và có vector chỉ phương là ${{\vec u}_2} = \left( { - 1;1; - 3} \right)$ nên có phương trình chính tắc là $$\left( {{d_2}} \right):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}.$$
b. Viết phương trình tham số của $d_1$ và phương trình chính tắc của $d_2$.
Giải. a. Để chọn được một điểm thuộc $d_1$, ta thay một giá trị bất kì vào một ẩn, rồi đi tìm hai ẩn còn lại.
Thay $x=1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $$\frac{{z + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z + 2 = 0 \hfill \\
z - 3 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z = - 2 \hfill \\
z = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow A\left( {1; - 2;3} \right) \in {d_1}.$$
Thay $x=2$ vào phương trình của $d_1$ ta được $$\frac{{z + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{2} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z + 2 = - 4 \hfill \\
z - 3 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
z = - 6 \hfill \\
z = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 6;5} \right) \in {d_1}.$$
Để chọn được một điểm thuộc $d_2$ ta thay một giá trị bất kì vào tham số $t$ và tìm $x$, $y$, $z$ tương ứng.
Thay $ t = 0 $ vào phương trình của $d_2$ ta được $x = 2,y = 0,z = 3 \Rightarrow M\left( {2;0;3} \right) \in {d_2}.$
Thay $ t = 1 $ vào phương trình của $d_2$ ta được $x = 1,y = 1,z = 0 \Rightarrow N\left( {1;1;0} \right) \in {d_2}.$
Vector chỉ phương của $d_1$ là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 4;2} \right)$, của $d_2$ là ${{\vec u}_2} = \left( { - 1;1; - 3} \right)$.
b. Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$ và có vector chỉ phương là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 4;2} \right)$ nên có phương trình tham số là
$$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + t \hfill \\
y = - 2 - 4t \hfill \\
z = 3 + 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M\left( {2;0;3} \right)$ và có vector chỉ phương là ${{\vec u}_2} = \left( { - 1;1; - 3} \right)$ nên có phương trình chính tắc là $$\left( {{d_2}} \right):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}.$$
Phương trình tổng quát của đường thẳng. Đường thẳng $d$ là giao tuyến của mặt phẳng
$\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và
$\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
$\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
sẽ có phương trình tổng quát là $$\left\{ \begin{gathered}
{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0 \hfill \\
{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Khi đó vector chỉ phương của $d$ là ${\vec u_d} = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right].$
Ví dụ 4. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $$\left( d \right):\left\{ \begin{gathered}
2x + 3y + z - 6 = 0 \hfill \\
x - y + 2z - 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)$$
{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0 \hfill \\
{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Khi đó vector chỉ phương của $d$ là ${\vec u_d} = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right].$
Ví dụ 4. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $$\left( d \right):\left\{ \begin{gathered}
2x + 3y + z - 6 = 0 \hfill \\
x - y + 2z - 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)$$
Giải. Ta có ${\vec n_P} = \left( {2;3;1} \right),{\vec n_Q} = \left( {1; - 1;2} \right)$. Suy ra $${\vec u_d} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&1 \\
{ - 1}&2
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1 \\
1&2
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3 \\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {7; - 3; - 5} \right).$$
3&1 \\
{ - 1}&2
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1 \\
1&2
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3 \\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {7; - 3; - 5} \right).$$
Thay $x = 1$ vào $\left( * \right)$ ta được $y = z = 1 \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right) \in d.$
Phương trình tham số $$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 7t \hfill \\
y = 1 - 3t \hfill \\
z = 1 - 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Phương trình chính tắc $$\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}.$$
Bài tập Phương trình tham số $$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 7t \hfill \\
y = 1 - 3t \hfill \\
z = 1 - 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Phương trình chính tắc $$\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}.$$
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)