Vector chỉ phương của đường thẳng
- Thứ sáu - 05/02/2016 01:01
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Vector chỉ phương của đường thẳng. Cặp vector pháp tuyến của đường thẳng. Tích có hướng và vector chỉ phương của đường thẳng.
Nếu $\vec u$ là vector chỉ phương của $d$ thì với mọi số thực $k \ne 0$, vector $k \vec u$ cũng là một vector chỉ phương của $d$.
Như vậy mỗi đường thẳng sẽ có vô số các vector chỉ phương, và chúng có phương song song nhau.
Ví dụ 1. Nếu đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec u = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)$ thì $\vec u' = \left( {1;2;3} \right)$ cũng là vector chỉ phương của $d$.
Lưu ý là để đơn giản trong tính toán, người ta sẽ chọn vector chỉ phương có toạ độ càng đơn giản càng tốt. Chẳng hạn như trong Ví dụ 1, ta sẽ chọn $\vec u'$ mà không chọn $\vec u$.
Cặp vector pháp tuyến của đường thẳng. Nếu hai vector ${{\vec n}_1},{{\vec n}_2}$ không không cùng phương và có phương vuông góc với đường thẳng $d$ thì hai vector này được gọi là cặp vector pháp tuyến của $d$.
Mệnh đề. Nếu ${{\vec n}_1},{{\vec n}_2}$ là một cặp vector pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì vector chỉ phương của $d$ là $${{\vec u}_d} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right].$$
Ví dụ 2. Xác định một vector chỉ phương của đường thẳng $d$ biết rằng đường thẳng này vuông góc với hai vector ${\vec n_1} = \left( { - 1;2;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1;0;3} \right).$
Giải. Theo mệnh đề trên thì vector chỉ phương của $d$ là tích có hướng của ${{\vec n}_1}$ và ${{\vec n}_2}$:
$${{\vec u}_d} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1 \\
0&3
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1 \\
1&3
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2 \\
1&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {6; - 4; - 2} \right).$$
$${{\vec u}_d} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1 \\
0&3
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1 \\
1&3
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&2 \\
1&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {6; - 4; - 2} \right).$$