Dấu của tam thức bậc hai
- Thứ ba - 10/05/2016 21:25
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c, a \ne 0.$ Đặt $\Delta = {b^2} - 4ac$. Ta có các trường hợp như sau
$(i)$ $f\left( x \right) $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \in \mathbb R$. Nghĩa là, $$\Delta < 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \in \mathbb R.$$
$(ii)$ $f\left( x \right) $ có nghiệm kép $x_0$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \ne x_0$. Nghĩa là, $$\Delta = 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \ne x_0.$$
$(iii)$ $f\left( x \right) $ có hai nghiệm $x_1 < x_2 $ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)$, cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $ x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$. Nghĩa là,
Ví dụ 1. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3$ vô nghiệm và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \in \mathbb R$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,$ với mọi $ x \in \mathbb R$.
Ví dụ 2. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1$ có nghiệm kép $ x_0 = 1$ và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \ne 1$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} > 0,$ với mọi $ x \ne 1$.
Ví dụ 3. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có hai nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 3$ và có hệ số $a = 1> 0$ nên ta có bảng xét dấu của $f\left( x \right) $ như sau
Vậy $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;3} \right)$ và $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m > 0$ với mọi $x \in \mathbb R$.
$(i)$ $f\left( x \right) $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \in \mathbb R$. Nghĩa là, $$\Delta < 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \in \mathbb R.$$
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ |
$(ii)$ $f\left( x \right) $ có nghiệm kép $x_0$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \ne x_0$. Nghĩa là, $$\Delta = 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \ne x_0.$$
| $x$ | $- \infty$ $x_0$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$ |
$(iii)$ $f\left( x \right) $ có hai nghiệm $x_1 < x_2 $ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)$, cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $ x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$. Nghĩa là,
| $x$ | $- \infty$ $x_1$ $x_2$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ $0$ trái dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$ |
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,$ với mọi $ x \in \mathbb R$.
Ví dụ 2. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1$ có nghiệm kép $ x_0 = 1$ và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \ne 1$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} > 0,$ với mọi $ x \ne 1$.
Ví dụ 3. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có hai nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 3$ và có hệ số $a = 1> 0$ nên ta có bảng xét dấu của $f\left( x \right) $ như sau
| $x$ | $- \infty$ $-1$ $3$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ |
Vậy $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;3} \right)$ và $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m > 0$ với mọi $x \in \mathbb R$.
Giải. Yêu cầu bài toán tương đương $$\left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ 4 - 4m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1.$$