Phương trình bậc hai
- Chủ nhật - 08/05/2016 16:20
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình bậc hai. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai.
Trong suốt mục này ta chỉ bàn đến phương trình bậc hai có hệ số là các số thực; và khi nói đến nghiệm của phương trình, ta cũng chỉ đề cập đến các nghiệm thực. Đối với phương trình bậc hai hệ số phức, học sinh xem ở đây.
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$, với $a \ne 0,b,c \in \mathbb{R}.$ Đặt $\Delta = {b^2} - 4ac.$ Khi đó ta có $3$ trường hợp sau
Nếu $ \Delta > 0 $ thì $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ được cho bởi công thức $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}.$$
Nếu $ \Delta = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b}{{2a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.
Nếu $ \Delta = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b}{{2a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.
Trong trường hợp hệ số $b$ là số chẵn thì ta có cách xác định nghiệm của $\left( 1 \right)$ như sau: Đặt $b' = \frac{b}{2}$ và $\Delta ' = \sqrt {{{b'}^2} - ac} $. Khi đó
Nếu $ \Delta' > 0 $ thì $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ được cho bởi công thức $${x_{1,2}} = \frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$$
Nếu $ \Delta' = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b'}{{a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.
Nếu $ \Delta' = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b'}{{a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 3 = 0.$
Giải. Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 > 0.$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$\eqalign{
& {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 3; \cr
& {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 1. \cr} $$
& {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 3; \cr
& {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 1. \cr} $$
Cách khác, $${x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 2 = 1 \hfill \\
x - 2 = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$$
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 4 = 0.$
x - 2 = 1 \hfill \\
x - 2 = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$$
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 4 = 0.$
Giải. Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0.$ Phương trình đã cho có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2 \cdot 1}} = 2.$$
Cách khác, $${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.$$
Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 5 = 0.$
Giải. Vì $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 4 < 0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Cách khác, $${x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0.$$ Vì ${\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình ${x^2} - 3x + 3m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình ${x^2} - 3x + 3m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Giải. Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3m = 9 - 12m.$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu $$\Delta > 0 \Leftrightarrow 9 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{4}.$$
Ví dụ 5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x + m = 0$.
Giải. Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.$
TH1: $\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < 1 $ thì hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {4 - 4m} }}{{2 \cdot 1}} = 2 \pm \sqrt {1 - m} .$$
TH2: $\Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1.$$
TH3. $\Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 1$ thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
TH1: $\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < 1 $ thì hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {4 - 4m} }}{{2 \cdot 1}} = 2 \pm \sqrt {1 - m} .$$
TH2: $\Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm kép $${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1.$$
TH3. $\Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 1$ thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.