Dãy số

Nói tới dãy số, ta hiểu đó là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. $${u_1},{u_2},...,{u_n},{u_{n + 1}},...$$ Vơí cách viết trên thì mỗi số là một số hạng của dãy, và $u_1$ là số hạng đầu tiên. Số hạng thứ $n$ là $u_n$ là số hạng tổng quát. Ta ký hiện dãy số là $\left( {{u_n}} \right)$.

Ví dụ 1. Khi ta viết liên tiếp các luỹ thừa với số mũ tự nhiên của $2$ ta được dãy $$2,4,8,...,{2^{n - 1}},{2^n},...$$ Số hạng đầu tiên là ${u_1} = 2$ và sống hạng tổng quát thứ $n$ được cho bởi công thức ${u_n} = {2^n}.$
 

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy tăng nếu ${u_n} < {u_{n + 1}}.$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy giảm nếu ${u_n} > {u_{n + 1}}.$

Ví dụ 2. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n$ là dãy tăng vì $${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 2n = 2 > 0,\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}.$$
Ví dụ 3. Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{n}$ là dãy giảm vì ${v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} =  - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow {v_{n + 1}} < {v_n}.$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho ${u_n} \leqslant M$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy giảm nếu nếu tồn tại số $m$ sao cho ${u_n} \geqslant m$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$ Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ 4. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n$ bị chặn dưới và không bị chặn trên vì 
Ví dụ 5. Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$ bị chặn trên vì $${v_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2,\forall n \in \mathbb{N}.$$
Ví dụ 6. Dãy số $\left( {{w_n}} \right)$ với ${w_n} = \frac{1}{n}$ bị chặn vì $0 < {w_n} < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
 

---

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)