Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm
- Thứ bảy - 19/03/2016 16:40
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm.
|
Định lý. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm ${x_0}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right).$
|
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình $2{x^3} - 10x - 7 = 0\;\;\;\left( * \right)$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Giải. Đặt $f\left( x \right) = 2{x^3} - 10x - 7.$ Chọn $a = - 1,\;\;b = 0,\;\;c = 3.$
Ta có $f\left( { - 1} \right) = 1,\;\;f\left( 0 \right) = - 7,\;\;f\left( 3 \right) = 17.$
Vì $f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) = - 7 < 0$ nên $\left( * \right)$ có ít nhất một nghiệm ${x_1} \in \left( { - 1;0} \right).$
Vì $f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 119 < 0$ nên $\left( * \right)$ có ít nhất một nghiệm ${x_2} \in \left( {0;3} \right).$
Do ${x_1}, {x_2}$ thuộc hai khoảng rời nhau nên ${x_1} \ne {x_2}$. Vậy $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta có $f\left( { - 1} \right) = 1,\;\;f\left( 0 \right) = - 7,\;\;f\left( 3 \right) = 17.$
Vì $f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) = - 7 < 0$ nên $\left( * \right)$ có ít nhất một nghiệm ${x_1} \in \left( { - 1;0} \right).$
Vì $f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 119 < 0$ nên $\left( * \right)$ có ít nhất một nghiệm ${x_2} \in \left( {0;3} \right).$
Do ${x_1}, {x_2}$ thuộc hai khoảng rời nhau nên ${x_1} \ne {x_2}$. Vậy $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt.