Phương trình mũ - Phương pháp ẩn phụ
- Thứ năm - 11/02/2016 17:52
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình mũ. Các phương pháp giải phương trình mũ. Giải phương trình mũ bằng phương pháp ẩn phụ.
Trong mục này, ta sẽ tìm các đặt ẩn phụ để chuyển phương trình mũ về phương trình đại số.
Ví dụ 1. Giải các phương trình ${4^x} - 4 \cdot {2^x} + 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Ví dụ 4. Giải phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}} = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}$
Ví dụ 1. Giải các phương trình ${4^x} - 4 \cdot {2^x} + 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Đặt $t = {2^x} > 0.$ Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 3
\end{array} \right..$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {2^x} = 1 \Leftrightarrow {2^x} = {2^0} \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
t = 1\\
t = 3
\end{array} \right..$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {2^x} = 1 \Leftrightarrow {2^x} = {2^0} \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\frac{{{8^x} + {2^x}}}{{{4^x} - {2^x}}} = 5.$
Điều kiện ${4^x} - {2^x} \ne 0 \Leftrightarrow {2^x}\left( {{2^x} - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} \ne 0\;\;\;\left( {hien\;\;nhien} \right)\\
{2^x} \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 0.$
Chia tử và mẫu của phương trình cho ${2^x}$ ta có $$PT \Leftrightarrow \frac{{{4^x} + 1}}{{{2^x} - 1}} = 5 \Leftrightarrow {4^x} - 5 \cdot {2^x} + 6 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\left( { * * } \right)$$
Đặt $t = {2^x} > 0.$ Khi đó $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = 3.
\end{array} \right.$
Với $t = 2 \Leftrightarrow {2^x} = 2 \Leftrightarrow {2^x} = {2^1} \Leftrightarrow x = 1$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1, x = {\log _2}3$.
{2^x} \ne 0\;\;\;\left( {hien\;\;nhien} \right)\\
{2^x} \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 0.$
Chia tử và mẫu của phương trình cho ${2^x}$ ta có $$PT \Leftrightarrow \frac{{{4^x} + 1}}{{{2^x} - 1}} = 5 \Leftrightarrow {4^x} - 5 \cdot {2^x} + 6 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\left( { * * } \right)$$
Đặt $t = {2^x} > 0.$ Khi đó $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = 3.
\end{array} \right.$
Với $t = 2 \Leftrightarrow {2^x} = 2 \Leftrightarrow {2^x} = {2^1} \Leftrightarrow x = 1$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1, x = {\log _2}3$.
Ví dụ 3. Giải phương trình $3 \cdot {4^x} - 5 \cdot {6^x} + 2 \cdot {9^x} = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Chia hai vế của phương trình cho ${9^x}$ ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} - 5{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 2 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 0,$ phương trình tương đương $3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 1.$
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 0,$ phương trình tương đương $3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 1.$
Ví dụ 4. Giải phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}} = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}$
Giải. Vì $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1$ nên $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}}}} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\;\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\;\;\;\;\;\left( { * * * } \right)
\end{array}$$ Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0$, khi đó $$\left( { * * * } \right) \Leftrightarrow t + \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{t} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 7 + 4\sqrt 3
\end{array} \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^0} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Với $t = 7 + 4\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 2 \\
x = 1 - \sqrt 2
\end{array} \right..$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1 - \sqrt 2 ,\;\;x = 1,\;\;x = 1 + \sqrt 2 $.
PT \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}}}} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\;\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\;\;\;\;\;\left( { * * * } \right)
\end{array}$$ Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0$, khi đó $$\left( { * * * } \right) \Leftrightarrow t + \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{t} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 7 + 4\sqrt 3
\end{array} \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^0} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Với $t = 7 + 4\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 2 \\
x = 1 - \sqrt 2
\end{array} \right..$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1 - \sqrt 2 ,\;\;x = 1,\;\;x = 1 + \sqrt 2 $.
Bài tập