Phương trình mũ - Phương pháp đưa về cùng cơ số
- Thứ năm - 11/02/2016 17:04
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình mũ. Các phương pháp giải phương trình mũ. Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Với $0<a \ne 1$ ta có
$${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$$
Ta thường nhân cho lượng liên hợp, phân tích đa thức thành nhân tử,... để đưa về dạng như công thức trên.
Ví dụ 1. Giải phương trình
Ví dụ 2. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{2^{x + 1}} + {2^x} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot {2^x} + {2^x} - 3 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} = 3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {2^x} = 1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {2^x} = {2^0}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = 0.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{3^{x + 1}} - {2^{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {2^{x + 1}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x + 1}} = 1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x + 1}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^0}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x + 1 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = - 1.
\end{array}$$
Ví dụ 4. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^x}}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{ - x}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = - x \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0.
\end{array}$$
Ví dụ 5. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
4{x^2} + x \cdot {3^x} + {3^{x + 1}} = 2{x^2} \cdot {3^x} + 2x + 6 \Leftrightarrow 2{x^2} \cdot {3^x} - x \cdot {3^x} - 3 \cdot {3^x} - 4{x^2} + 2x + 6 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - x - 3} \right) \cdot {3^x} - 2\left( {2{x^2} - x - 3} \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - x - 3} \right)\left( {{3^x} - 2} \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x^2} - x - 3 = 0\\
{3^x} - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = \frac{3}{2}\\
x = {\log _3}2
\end{array} \right.
\end{array}$$
$${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$$
Ta thường nhân cho lượng liên hợp, phân tích đa thức thành nhân tử,... để đưa về dạng như công thức trên.
Ví dụ 1. Giải phương trình
$\left( a \right){\rm{ }}{3^x}{2^x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {6^x} = 6 \Leftrightarrow x = 1.$
$\left( b \right){\rm{ }}{{\rm{2}}^x} - {\rm{3}} = 0 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
$\left( c \right){\rm{ }}{2^x}{3^x} = 36 \Leftrightarrow {6^x} = {6^2} \Leftrightarrow x = 2.$
$\left( b \right){\rm{ }}{{\rm{2}}^x} - {\rm{3}} = 0 \Leftrightarrow {2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3.$
$\left( c \right){\rm{ }}{2^x}{3^x} = 36 \Leftrightarrow {6^x} = {6^2} \Leftrightarrow x = 2.$
Ví dụ 2. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{2^{x + 1}} + {2^x} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot {2^x} + {2^x} - 3 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} = 3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {2^x} = 1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {2^x} = {2^0}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = 0.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{3^{x + 1}} - {2^{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {2^{x + 1}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x + 1}} = 1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x + 1}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^0}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x + 1 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = - 1.
\end{array}$$
Ví dụ 4. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^x}}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{ - x}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = - x \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0.
\end{array}$$
Ví dụ 5. Giải phương trình $$\begin{array}{l}
4{x^2} + x \cdot {3^x} + {3^{x + 1}} = 2{x^2} \cdot {3^x} + 2x + 6 \Leftrightarrow 2{x^2} \cdot {3^x} - x \cdot {3^x} - 3 \cdot {3^x} - 4{x^2} + 2x + 6 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - x - 3} \right) \cdot {3^x} - 2\left( {2{x^2} - x - 3} \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - x - 3} \right)\left( {{3^x} - 2} \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x^2} - x - 3 = 0\\
{3^x} - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = \frac{3}{2}\\
x = {\log _3}2
\end{array} \right.
\end{array}$$
Bài tập