Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian bằng tích vô hướng hai vector.
Dùng tích vô hướng hai vector để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Trong không gian, cho hai hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt có vector chỉ phương là $\vec u$ và $\vec v$, từ mối liên hệ giữa góc hợp bởi hai đường thẳng và góc hợp bởi hai vector chỉ phương ta có $a \bot b \Leftrightarrow \vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \left( {\vec u,\vec v} \right) = {90^o} \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|\cos {90^o} = 0.$ Tóm lại
$a \bot b \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0.$
Ví dụ. Cho tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Chứng minh rằng các cặp đối diện nhau vuông góc nhau.
Bây giờ ta cùng chứng minh $AB \bot CD$, các cặp cạnh còn lại học sinh làm tương tự. Ta có $$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} \cr & {\text{ }} = AC \cdot CD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} } \right){\text{ + }}CB \cdot CD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} } \right) \cr & {\text{ }} = AC \cdot CD \cdot \cos {120^o}{\text{ + }}CB \cdot CD \cdot \cos {60^o} \cr & {\text{ }} = - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = 0. \cr} $$ Vậy $AB \bot CD$.
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
