Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng. Phân biệt cực đại với giá trị lớn nhất, cực tiểu với giá trị nhỏ nhất.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Cho $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và hàm hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$. Khi đó giá trị $M$ được gọi là giá trị lớn nhất $(GTLN)$ của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$, ký hiệu $\mathop {\max }\limits_{x \in K} f\left( x \right)$, nếu $$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) \le M,\;\;\;\forall x \in K\\
\exists {x_1} \in K:f\left( {{x_1}} \right) = M.
\end{array} \right.$$ Giá trị $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất $(GTNN)$ của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$, ký hiệu, $\mathop {\min }\limits_{x \in K} f\left( x \right)$, nếu $$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge m,\;\;\;\forall x \in K\\
\exists {x_2} \in K:f\left( {{x_2}} \right) = m.
\end{array} \right.$$Đồ thị hàm số Ví dụ 1. Xác định $GTLN$ và $GTNN$ của hàm hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - x + 1$ trên tập xác định.
Tập xác định $D = \mathbb{R}$, và với mọi $x \in D$ ta có $$f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 = \left( {{x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4} $$ $$= \underbrace {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}}_{ \geqslant 0} + \frac{3}{4} \geqslant \frac{3}{4}.$$ Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{4}$.
Vậy $\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = {3 \over 4}$ tại $x = \frac{1}{2} $
Tuy nhiên không tồn tại $GTLN$ vì với mọi số $M$, ta luôn tìm được giá trị $ x \in D$ sao cho $f\left( x \right) > M$.
Thuật toán tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Cho hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Để tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Tìm nghiệm thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$ của $f'\left( x \right) $ giả sử các nghiệm này là ${x_1},{x_2},...,{x_n}$; Bước 2. Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$; Bước 3. $GTLN$ và $GTNN$ của $f\left( x \right) $ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tính được ở bước 2.
Chú ý 1. $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f\left( x \right) $ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ luôn tồn tại nếu $f\left( x \right) $ xác định đoạn này.
Đồ thị trên $\left[ {0;4} \right]$
Ví dụ 2. Xác định $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R} \supset \left[ {0;4} \right].$
Bước 1. Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$. Suy ra $$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right..$$ Cả hai nghiệm này đều thuộc đoạn $\left[ {0;4} \right]$. Bước 2. Ta có $f\left( 0 \right) = 1,\;\;f\left( 2 \right) = - 3,\;\;f\left( 4 \right) = 17.$ Bước 3. Trong các giá trị được tính ở bước 2 thì $f\left( 2 \right) = - 3$ là nhỏ nhất nên $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = - 3$ tại $x=2$.
Giá trị lớn nhất trong các giác trị được tính ở bước 2 là $f\left( 4 \right) = 17$ nên $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 17$ tại $x=4$
Đồ thị hàm số trên $D = \mathbb{R}$ Bình luận. Theo Ví dụ 5 của bài Cực trị thì hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và giá trị cực tiểu tương ứng là $ f\left( 2 \right) = - 3$. Như vậy nếu xét trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì giá trị cực tiểu trùng với $GTNN$. Tuy nhiên cũng theo Ví dụ 5 của bài Cực trị, hàm số không có cực đại trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$. Trong khi đó lại có $GTLN$ trên đoạn này, đó là $17$.
Bây giờ nếu ta xét trên tập xác định là $D = \mathbb{R}$ thì ta dễ dàng kiểm tra được hàm số sẽ đạt cực đại tại $ x =0$, giá trị cực đại là $f\left( 0 \right) = 1$; đạt cực tiểu tại $x =2$, giá trị cực tiểu tương ứng là $ f\left( 2 \right) = - 3$. Tuy nhiên lúc này hàm số lại không có $GTLN$ và $GTNN$, vì gía trị của $f\left( x \right)$ có thể lớn tuỳ ý và nhỏ tuỳ ý. Học sinh có thể quan sát đồ thị của $f\left( x \right)$ trên $D$ sẽ thấy rõ điều này.
Thuật toán tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Cho hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Để tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ của $f'\left( x \right) $ giả sử các nghiệm này là ${x_1},{x_2},...,{x_n}$; Bước 2. Tính $ f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$; và các giới hạn $$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right),\;\;B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right);$$ Bước 3. $GTLN$ và $GTNN$ của $f\left( x \right) $ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tính được ở bước 2 mà không phải là $A$ và $B$. Nếu không tồn tại các giá trị như vậy thì ta kết luận là không tồn tại $GTNN$ hoặc $GTNN$ tuỳ từng trường hợp.
Chú ý 2. $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f\left( x \right) $ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ có thể không tồn tại cho dù $f\left( x \right) $ xác định trên khoảng này.
Đồ thị hàm số trên $(0;2)$Ví dụ 3. Tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $f(x)=x^(3)-3x+2$ Trên khoảng $(0;2)$.
Giải. Bước 1. Tập xác định $D = \mathbb{R} \supset \left( {0;2} \right).$ Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$. Suy ra $$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = - 1 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$$ Trong hai nghiệm này chỉ có $x=1$ thuộc khoảng $(0;2)$. Bước 2. Ta có $$f\left( 1 \right) = 0,\;\;A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2,\;\;B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.$$ Bước 3. Trong các giá trị được tính ở bước $2$ thì $B=4$ là lớn nhất. Tuy nhiên $B$ không phải là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(0;2)$ vì $x=2$ bị "lọt" ra ngoài khoảng này. Nghĩa là ta không có giá nào thuộc $(0;2)$ để tại đó hàm số đạt giá trị bằng $4$.
Ta cũng có $\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;2} \right)} f\left( x \right) = 0$ tại $x = 1 \in \left( {0;2} \right)$.
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
