Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
- Thứ năm - 25/08/2016 19:45
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước.
Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.
Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$ lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left(
{{x_0}} \right) = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$.
Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 1$.
Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$
Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x - 1$.
|
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.
Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$ lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left(
{{x_0}} \right) = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$.
Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
Bước 1. Giải phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm. Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$. Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề $(iv)$. |
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 1$.
Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 2.$ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$
Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$
Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x - 1$.
Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
$$f'\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5 \end{array} \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$
$$f'\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5 \end{array} \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$