Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
 

$(i)$      Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$. $(ii)$    Hệ số góc của tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$. $(iii)$     Hai đường thẳng song song nhau khi có cùng hệ số góc. $(iv)$    Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$

 

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.

Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$  lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$.

Vì $\Delta \parallel d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left(
{{x_0}} \right) = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$.

Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
 

Bước 1. Giải phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.  Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$.  Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề $(iv)$.

 
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 1$.
Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$

Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là 
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x - 1$.