Mọi nhóm giao hoán cấp 6 đều cyclic

Để chứng mình đều này, ta làm một bài tập nhỏ sau:

1. Cho $ a $ và $ b $ là hai phần tử giao hoán nhau của nhóm $ G $ lần lượt có cấp là $ m $ và $lat n $. Nếu  $  m $ và $  n $ là hai số nguyên tố cùng nhau thì phần tử $  ab $ có cấp là $  mn $.

Chứng minh. Giả sử $  ab $ có cấp là $  k $. Vì $  {\left( {ab} \right)^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}{\left( {{b^n}} \right)^m} = 1$ nên $  k\left| {mn} \right. $. Ta còn có
$$  {\left( {ab} \right)^k} = 1 \Leftrightarrow {a^k} = {b^{ - k}} \Leftrightarrow {a^{nk}} = {b^{ - nk}} = 1 \Rightarrow m\left| {nk} \right. $$ Kết hợp với sự kiện $  m $ và $  n $ là hai số nguyên tố cùng nhau ta suy ra $  m\left| k \right. $ Tương tự ta cũng chứng minh được  $  n\left| k \right. $ Như vậy $  mn\left| k \right. $ Do đó $  k = mn $. $  \square $

2. Mọi nhóm giao hoán cấp 6 đều cyclic $ \hbox{(All abelian groups of six elements are cyclic.)}$

Bây giờ giả sử $  G $ là một nhóm giao hoán cấp $  6 $. Theo định lý Sylow thì trong $  G $ tồn tại phần tử $  a $ có cấp $  2 $ và phần tử $  b $ có cấp $  3 $. Bây giờ ta áp dụng kết quả vừa được chứng minh ở trên suy ra $  ab $ là phần tử có cấp $  6 $ và đây cũng là phần tử sinh của nhóm cyclic $  G $. $  \square $