Cộng phân số cùng mẫu dương có tử nguyên

Cộng và trừ phân số có dấu · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-18-B1

Sau bài này, em có thể:

• Giải thích vì sao cộng tử và giữ mẫu dương chung.
• Tính tổng có tử nguyên, rút gọn và kiểm dấu hoặc khoảng chứa kết quả.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Một đơn vị được chia thành bảy phần bằng nhau. Hai phần bảy gộp với ba phần bảy thành năm phần bảy: loại phần nhỏ vẫn là phần bảy. Vì thế $\frac27+\frac37=\frac57$, chứ không phải $\frac5{14}$.

Với tử âm, ta còn phải cộng các số nguyên có dấu. Em hãy dự đoán tổng $-\frac38+\frac58$ dương, âm hay bằng $0$ trước khi tính.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Gộp các phần cùng cỡ

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac27+\frac37$ và giải thích vì sao giữ mẫu $7$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhìn mẫu trước để nhận ra hai số cùng đếm phần bảy.

Gợi ý để em tự tìm

Hai phần bảy cộng ba phần bảy là mấy phần bảy?

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $7$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{7}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $2+3=5$. Do đó kết quả là $\frac{5}{7}$.

Tự kiểm

$\frac57<1$ vì mới có $5$ trong $7$ phần của một đơn vị; mẫu $14$ sẽ đổi cỡ phần.

Ví dụ 2. Hai tử khác dấu

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac38+\frac58$ rồi rút gọn.

Bắt đầu từ đâu?

So độ lớn hai tử để dự đoán dấu của tổng.

Gợi ý để em tự tìm

$5>3$ nên còn lại một lượng dương; tử là $-3+5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $8$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{8}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-3)+5=2$. Do đó kết quả là $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

Tự kiểm

$-\frac38+\frac58=\frac28=\frac14>0$; hai phần tám bằng một phần tư.

Ví dụ 3. Cả hai số hạng đều âm

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac29+\left(-\frac49\right)$ ở dạng tối giản.

Bắt đầu từ đâu?

Cộng hai tử âm, rồi mới tìm ước chung để rút gọn.

Gợi ý để em tự tìm

$-2+(-4)=-6$; $6$ và $9$ cùng chia hết cho $3$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $9$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{9}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-2)+(-4)=-6$. Do đó kết quả là $-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$.

Tự kiểm

Tổng $-\frac23$ nhỏ hơn từng số hạng âm; không đổi dấu thành dương khi rút gọn.

Ví dụ 4. Hai số đối triệt tiêu

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac7{12}+\left(-\frac7{12}\right)$ và nêu vì sao có thể nhận ra kết quả trước khi cộng tử.

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai số có cùng độ lớn và khác dấu không.

Gợi ý để em tự tìm

Hai số có tử $7$ và $-7$ trên cùng mẫu dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $12$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{12}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $7+(-7)=0$. Do đó kết quả là $\frac{0}{12}=0$.

3. Hai số hạng đối nhau nên tổng bằng $0$; đây cũng là cách nhận ra ngay kết quả.

Tự kiểm

$\frac0{12}=0$ vì mẫu khác $0$; kết quả không phải $\frac1{12}$.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a,c$ nguyên và mẫu chung $b$ nguyên dương, $$\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b}.$$ Mẫu giữ nguyên vì loại phần nhỏ không đổi; tử mới là tổng có dấu của các tử. Sau đó rút gọn nếu có thể.

Hai số đối có tổng bằng $0$. Nếu cộng hai số âm thì tổng âm; nếu khác dấu, so độ lớn để dự đoán dấu. Tổng phân số có thể lớn hơn $1$ hoặc bằng một số nguyên.

Ví dụ 5. Sửa việc cộng hai mẫu

Vận dụng

Em thử trước:

Bạn viết $-\frac15+\frac35=\frac2{10}$. Chỉ bước sai và sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Giữ nguyên cỡ một phần năm rồi kiểm tổng các tử.

Gợi ý để em tự tìm

Tử $-1+3=2$ đúng; mẫu $5+5=10$ không đúng quy tắc cộng cùng mẫu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai số hạng đều đếm phần năm; tổng có $-1+3=2$ phần năm.

2. Kết quả đúng là $\frac25$. Cách $\frac2{10}=\frac15$ nhỏ hơn kết quả đúng nên không tương đương.

Tự kiểm

Lỗi nằm ở việc cộng mẫu; không cần thay đổi tổng tử đã tính đúng.

Ví dụ 6. Số 0 không thêm lượng

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac0{11}+\left(-\frac6{11}\right)$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhận $\frac0{11}=0$ trước hoặc cộng tử trực tiếp.

Gợi ý để em tự tìm

Thêm $0$ không đổi giá trị của số còn lại.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $11$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{11}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $0+(-6)=-6$. Do đó kết quả là $-\frac{6}{11}$.

Tự kiểm

Kết quả $-\frac6{11}$ trùng số hạng thứ hai, đúng tính chất của phép cộng với $0$.

Ví dụ 7. Tổng vượt qua một đơn vị

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac87+\frac67$. Kết quả có nhất thiết nhỏ hơn $1$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Không áp điều kiện tử nhỏ hơn mẫu cho mọi phân số.

Gợi ý để em tự tìm

$8+6=14$ phần bảy tạo hai đơn vị.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $7$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{7}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $8+6=14$. Do đó kết quả là $\frac{14}{7}=2$.

3. $\frac{14}{7}=2>1$; tổng phân số không bắt buộc là phân số nhỏ hơn $1$.

Tự kiểm

Một số hạng $\frac87$ đã lớn hơn $1$; cộng lượng dương không thể cho kết quả dưới $1$.

Ví dụ 8. Theo dõi ba tử có dấu

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $-\frac5{12}+\frac7{12}+\left(-\frac1{12}\right)$.

Bắt đầu từ đâu?

Giữ mẫu $12$ và cộng các tử theo thứ tự từ trái sang phải.

Gợi ý để em tự tìm

$-5+7=2$, rồi $2+(-1)=1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai số hạng đầu có tổng $\frac{-5+7}{12}=\frac2{12}$.

2. Cộng tiếp $-\frac1{12}$ được $\frac{2+(-1)}{12}=\frac1{12}$.

Tự kiểm

Có thể kiểm tổng tử một lần: $-5+7-1=1$; không bỏ dấu âm của số cuối.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm tử bị che

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm số nguyên $a$ để $\frac a9+\frac49=\frac13$.

Bắt đầu từ đâu?

Đưa kết quả yêu cầu về phần chín để đếm tử còn thiếu.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac13=\frac39$; cần tổng hai tử bằng $3$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac a9+\frac49=\frac{a+4}{9}$, trong khi $\frac13=\frac39$. Vì mẫu như nhau nên $a+4=3$.

2. $a=3-4=-1$. Thay lại $-\frac19+\frac49=\frac39=\frac13$.

Tự kiểm

Tử âm được phép vì đề yêu cầu số nguyên, không chỉ số tự nhiên.

Ví dụ 10. Liệt kê theo tổng không âm

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Cho $n$ nguyên từ $-4$ đến $2$. Tìm mọi $n$ để $\frac n5+\frac25$ không âm.

Bắt đầu từ đâu?

Không âm bao gồm tổng bằng $0$; mẫu dương giúp chỉ xét tổng tử.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng bằng $\frac{n+2}{5}$, không âm khi $n+2\ge0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vì mẫu $5>0$, tổng không âm khi $n+2\ge0$, tức $n\ge-2$.

2. Trong các số nguyên từ $-4$ đến $2$, nhận $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$; loại $-4$ và $-3$.

Tự kiểm

Với $n=-2$ tổng bằng $0$ nên phải nhận đầu mút ấy.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính $-\frac49+\frac79$ rồi rút gọn.

Gợi ý bài 1

Các tử khác dấu; lấy $7-4$ và giữ dấu của tử có độ lớn lớn hơn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $9$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{9}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-4)+7=3$. Do đó kết quả là $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Tự kiểm

$\frac39=\frac13$; chia cả tử và mẫu cho $3$, không chỉ chia tử.

Bài 2

Cơ bản

Tính $-\frac5{12}+\left(-\frac1{12}\right)$.

Gợi ý bài 2

Hai số âm cộng lại cho tử âm có độ lớn $5+1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $12$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{12}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-5)+(-1)=-6$. Do đó kết quả là $-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$.

Tự kiểm

$-\frac6{12}=-\frac12$ âm, phù hợp cả hai số hạng đều âm.

Bài 3

Cơ bản

Tính $\frac7{10}+\left(-\frac7{10}\right)$ và nêu quan hệ hai số hạng.

Gợi ý bài 3

Cùng độ lớn $\frac7{10}$ nhưng trái dấu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $10$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{10}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $7+(-7)=0$. Do đó kết quả là $\frac{0}{10}=0$.

3. Hai số hạng là hai số đối; tổng bằng $0$.

Tự kiểm

Quan hệ số đối giải thích được tử $7+(-7)=0$, không chỉ đưa đáp số.

Bài 4

Cơ bản

Bạn tính $-\frac27+\frac37=\frac1{14}$. Sửa và giải thích vì sao mẫu phải được giữ.

Gợi ý bài 4

Các phần đã cùng cỡ một phần bảy; chỉ số phần có dấu thay đổi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Cộng tử: $-2+3=1$. Hai số cùng mẫu $7$ nên tổng là $\frac17$.

2. Giữ mẫu $7$ vì vẫn đếm các phần bảy của cùng một đơn vị. Cộng mẫu thành $14$ đã thay loại phần và làm sai giá trị.

Tự kiểm

$\frac17=\frac2{14}$, khác $\frac1{14}$ của bạn.

Bài 5

Vận dụng

Tính $-\frac5{14}+\frac9{14}$ ở dạng tối giản.

Gợi ý bài 5

Tổng tử là $4$; xét ước chung $2$ với mẫu $14$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $14$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{14}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-5)+9=4$. Do đó kết quả là $\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$.

Tự kiểm

$\frac4{14}=\frac27>0$ vì tử dương có độ lớn trội hơn.

Bài 6

Vận dụng

Tính $-\frac7{15}+\left(-\frac2{15}\right)$.

Gợi ý bài 6

Cộng độ lớn các tử và đặt dấu âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $15$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{15}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-7)+(-2)=-9$. Do đó kết quả là $-\frac{9}{15}=-\frac{3}{5}$.

Tự kiểm

$-\frac9{15}=-\frac35$; tổng âm có độ lớn $\frac35$, không phải $\frac5{15}$.

Bài 7

Vận dụng

Tính $\frac08+\left(-\frac38\right)$.

Gợi ý bài 7

Tử $0$ không làm đổi tổng tử.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $8$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{8}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $0+(-3)=-3$. Do đó kết quả là $-\frac{3}{8}$.

Tự kiểm

Cộng $0$ giữ nguyên $-\frac38$.

Bài 8

Vận dụng

Tính $\frac9{11}+\frac5{11}$.

Gợi ý bài 8

Đếm tổng số phần mười một, dù số phần có thể vượt $11$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $11$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{11}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $9+5=14$. Do đó kết quả là $\frac{14}{11}$.

Tự kiểm

$\frac{14}{11}>1$ vì $14>11$; không rút tử xuống $3$ rồi bỏ một đơn vị.

Bài 9

Vận dụng

Tính $-\frac8{13}+\frac8{13}$ và giải thích dấu của kết quả.

Gợi ý bài 9

Hai số đối nhau; kiểm riêng trường hợp tổng bằng $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Hai phân số có cùng mẫu dương $13$ nên cùng đếm các phần bằng $\frac1{13}$ của một đơn vị.

2. Cộng các tử sau khi đã giữ đúng dấu: $(-8)+8=0$. Do đó kết quả là $\frac{0}{13}=0$.

3. Kết quả bằng $0$, không âm cũng không dương.

Tự kiểm

Đừng gán dấu dương chỉ vì số hạng cuối dương.

Bài 10

Vận dụng

Tính $\frac3{10}+\left(-\frac7{10}\right)+\frac5{10}$.

Gợi ý bài 10

Giữ cả ba dấu khi cộng tử.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Tổng hai số đầu là $\frac{3+(-7)}{10}=-\frac4{10}$.

2. Cộng tiếp $\frac5{10}$ được $\frac{-4+5}{10}=\frac1{10}$.

Tự kiểm

$3-7+5=1$; tổng cuối dương dù tổng trung gian âm.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Bạn nói “tổng của hai phân số luôn lớn hơn số hạng thứ nhất”. Dùng $\frac27$ và $-\frac37$ để kiểm và kết luận.

Gợi ý bài 11

Cộng thêm một số âm có thể làm giá trị giảm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $\frac27+(-\frac37)=\frac{2-3}{7}=-\frac17$.

2. Vì $-\frac17<\frac27$, đây là phản ví dụ nên nhận định “luôn lớn hơn” sai.

Tự kiểm

Đã so tổng với đúng số hạng thứ nhất; một phản ví dụ đủ bác nhận định với mọi cặp.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số nguyên $n$ để $0<\frac n8+\frac38<1$.

Gợi ý bài 12

Đưa $0$ và $1$ về mẫu $8$ rồi xét tổng tử; không nhận hai đầu mút.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Tổng bằng $\frac{n+3}{8}$. Điều kiện là $0<n+3<8$, tương đương $-3<n<5$.

2. Các số nguyên thỏa là $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$.

Tự kiểm

$n=-3$ cho tổng $0$ và $n=5$ cho tổng $1$ nên đều phải loại.

6. Tự kiểm sau khi học

Khi hai mẫu khác nhau, cần đổi về cùng cỡ phần trước. Bài sau chọn mẫu chung nhỏ nhất bằng BCNN.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ phân số có dấu. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.