Dùng dấu hiệu chia hết cho ba và chín

Chia hết, dấu hiệu chia hết và chia có dư · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-06-B3

Sau bài này, em có thể:

• Dùng tổng chữ số để xét chia hết cho 3 và 9, kể cả tổng 0.
• Giữ đúng chiều suy ra từ chia hết cho 9 sang 3; liệt kê đủ chữ số và số thỏa các ràng buộc.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Ta có $100=99+1$ và $10=9+1$. Khi tách một số theo hàng, các phần chứa $99$ hoặc $9$ chia hết cho cả $3$ và $9$; phần còn lại liên quan đến tổng các chữ số. Chẳng hạn $123=99+18+(1+2+3)$.

Tổng chữ số là một số mới dùng để kiểm dấu hiệu; nó không thay giá trị số ban đầu. Hãy cộng đủ chữ số, kể cả chữ số $0$, rồi kiểm chia hết cho đúng số được hỏi.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Nhìn tổng chữ số qua cách tách số

Cốt lõi

Em thử trước:

$123$ có chia hết cho $3$ và $9$ không? Tách $123=(99+1)+(18+2)+3$ để xem phần còn lại.

Bắt đầu từ đâu?

Các phần $99$ và $18$ chia hết cho cả hai số; phần cần xét là tổng chữ số.

Gợi ý để em tự tìm

$123=117+6$; $117$ chia hết cho $9$ và $3$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $123=99+18+(1+2+3)=117+6$. Vì $117=3\times39$ và $6=3\times2$, được $123=3\times41$.

2. Nhưng $123=9\times13+6$, nên không chia hết cho $9$. Tổng chữ số $6$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$.

Tự kiểm

Không dùng chữ số cuối $3$ để quyết định hai dấu hiệu đang xét; phần tách đã chỉ ra vai trò tổng chữ số.

Ví dụ 2. Tổng chữ số là bội của 9

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $4\,518$ chia hết cho $3$ và $9$. Tổng chữ số có bằng chính số ban đầu không?

Bắt đầu từ đâu?

Tổng chữ số hỗ trợ xét chia hết, không thay giá trị của số.

Gợi ý để em tự tìm

$4+5+1+8=18$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng chữ số $18$ chia hết cho $9$ và $3$, nên $4\,518$ chia hết cho cả hai.

2. Kiểm phép nhân: $4\,518=9\times502=3\times1\,506$. Tổng chữ số là $18$, khác chính số $4\,518$; tổng chỉ dùng để kiểm dấu hiệu, không thay giá trị số ban đầu.

Tự kiểm

$4\,518\ne18$; hai số có cùng tính chia hết ở đây, không phải cùng giá trị.

Ví dụ 3. Tổng chữ số không qua dấu hiệu

Cốt lõi

Em thử trước:

$514$ có chia hết cho $3$ hoặc $9$ không? Có chỉ cần nhìn thấy chữ số $9$ hay $3$ trong số không?

Bắt đầu từ đâu?

Tính tổng của đủ ba chữ số rồi so với các bội gần nhất.

Gợi ý để em tự tìm

$5+1+4=10$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng $10$ không chia hết cho $3$ hoặc $9$: $9<10<12$ và $9<10<18$.

2. Vậy $514$ không chia hết cho cả $3$ lẫn $9$; kiểm $514=3\times171+1=9\times57+1$. Chỉ nhìn có chữ số $3$ hay $9$ không đủ: chẳng hạn $13$ có chữ số $3$ nhưng tổng chữ số $1+3=4$ không chia hết cho $3$ hoặc $9$.

Tự kiểm

Không phải số có hoặc không có một chữ số $3$ hay $9$ quyết định kết quả; phải dùng tổng.

Ví dụ 4. Chữ số 0 vẫn phải đọc đúng vị trí

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $900$ chia hết cho $3$ và $9$. Hai chữ số $0$ đóng góp bao nhiêu vào tổng?

Bắt đầu từ đâu?

Cộng đủ chữ số, mỗi chữ số $0$ đóng góp $0$.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng $9+0+0=9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng $9$ chia hết cho $9$ và $3$, nên $900$ chia hết cho cả hai.

2. $900=9\times100=3\times300$ xác nhận.

Tự kiểm

Có hai chữ số $0$ không làm tổng thành $900$; tổng chữ số chỉ là $9$.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Một số tự nhiên chia hết cho $3$ khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$; tương tự với $9$. Tổng bằng $0$ cũng thỏa vì $0=3\times0=9\times0$.

Chia hết cho $9$ luôn suy ra chia hết cho $3$, vì $9q=3(3q)$; chiều đảo không đúng nói chung. Khi điền chữ số, dùng giới hạn từ $0$ đến $9$ để tìm đủ các tổng có thể, rồi kiểm riêng các điều kiện khác của đề.

Ví dụ 5. Tìm đủ chữ số để chia hết cho 3

Cốt lõi

Em thử trước:

Điền một chữ số vào $5\square1$ để chia hết cho $3$. Tìm mọi cách.

Bắt đầu từ đâu?

Tổng hai chữ số đã biết là $6$, nên thêm chữ số vẫn cần tạo bội của $3$.

Gợi ý để em tự tìm

Chữ số cần điền là $0,3,6,9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gọi chữ số là $a$, $0\le a\le9$. Tổng chữ số $5+a+1=6+a$ nằm từ $6$ đến $15$.

2. Các bội của $3$ trong khoảng là $6,9,12,15$, nên $a=0,3,6,9$; được $501,531,561,591$.

Tự kiểm

Đã xét hết tổng có thể; không bỏ $a=0$ vì chữ số này không ở hàng đầu.

Ví dụ 6. Có thể có hai tổng chia hết cho 9

Cốt lõi

Em thử trước:

Điền mọi chữ số vào $7\square2$ để chia hết cho $9$. Có nhất thiết chỉ có một lựa chọn không?

Bắt đầu từ đâu?

Tổng chữ số nằm trong một khoảng có thể chứa hai bội của $9$.

Gợi ý để em tự tìm

$7+a+2=9+a$ có thể bằng $9$ hoặc $18$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với $0\le a\le9$, tổng $9+a$ nằm từ $9$ đến $18$. Hai bội của $9$ là $9$ và $18$.

2. Nhận $a=0$ hoặc $a=9$, được $702$ và $792$.

Tự kiểm

$702=9\times78$ và $792=9\times88$; cả hai mốc tổng đều được nhận.

Ví dụ 7. Tổng chữ số bằng 0

Cốt lõi

Em thử trước:

Số $0$ có chia hết cho $3$ và $9$ không? Vì sao tổng chữ số $0$ vẫn thỏa dấu hiệu?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm $0$ là một bội với thương $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$0=3\times0=9\times0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng chữ số của số $0$ là $0$; số này chia hết cho $3$ và $9$ vì $0=3\times0=9\times0$.

2. Do hai số chia đều khác $0$, các phép chia $0:3=0$ và $0:9=0$ hợp lệ.

Tự kiểm

Không đòi tổng chữ số phải dương; thương $0$ vẫn được nhận.

Ví dụ 8. Đổi thứ tự chữ số giữ dấu hiệu

Cốt lõi

Em thử trước:

So tính chia hết cho $3$ và $9$ của $246$ và $264$. Không cần làm hai phép chia dài, hãy giải thích.

Bắt đầu từ đâu?

Đổi chỗ chữ số giữ nguyên tổng chữ số.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai tổng đều bằng $12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2+4+6=2+6+4=12$. Tổng $12$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$.

2. Vậy cả $246$ và $264$ chia hết cho $3$, cùng không chia hết cho $9$. Kiểm $246=3\times82$, $264=3\times88$.

Tự kiểm

Đổi thứ tự không giữ giá trị số: $246\ne264$; chỉ tổng chữ số và hai tính chia hết này được giữ.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tổng cố định và chữ số đầu

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Dùng $0,3,6$, mỗi chữ số đúng một lần, lập mọi số có ba chữ số chia hết cho $9$.

Bắt đầu từ đâu?

Tổng chữ số không đổi, nên dấu hiệu chia hết không cần thử lại từng thứ tự; vẫn phải loại hàng đầu $0$.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng $0+3+6=9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mọi thứ tự có tổng chữ số $9$ nên chia hết cho $9$. Hàng trăm chỉ có thể là $3$ hoặc $6$.

2. Với hàng trăm $3$: $306,360$; với hàng trăm $6$: $603,630$.

3. Bốn số là đủ vì mỗi lựa chọn hàng trăm chỉ còn hai cách xếp hai chữ số khác; các dạng $036,063$ không có ba chữ số.

Tự kiểm

Đã kiểm tính chia hết bằng tổng cố định và kiểm riêng yêu cầu số có ba chữ số.

Ví dụ 10. Một chữ số cho hai điều kiện ở hai số

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Dùng cùng một chữ số $a$ điền vào $34\square$ và $35\square$. Có thể để số thứ nhất chia hết cho $9$, còn số thứ hai chia hết cho $3$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Điều kiện mạnh ở số thứ nhất giới hạn chữ số trước, rồi thử ở số thứ hai.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng số thứ nhất $7+a$ chỉ có thể là bội $9$ nào trong $7$ đến $16$?

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với $0\le a\le9$, tổng $7+a$ nằm từ $7$ đến $16$, chỉ có bội $9$ là $9$. Suy ra $a=2$.

2. Số thứ hai khi ấy là $352$, có tổng $3+5+2=10$ không chia hết cho $3$.

3. Vậy không có chữ số chung thỏa cả hai yêu cầu; mọi lựa chọn ngoài $2$ đã vi phạm điều kiện thứ nhất.

Tự kiểm

Không chọn hai chữ số khác nhau cho hai ô; yêu cầu dùng cùng chữ số là điều kiện thiết yếu.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Kiểm $207$ và $514$ có chia hết cho $3$ không.

Gợi ý bài 1

Tính riêng tổng chữ số từng số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $207$ có tổng $2+0+7=9$ chia hết cho $3$, nên nhận; $207=3\times69$.

2. $514$ có tổng $5+1+4=10$ không chia hết cho $3$, nên loại.

Tự kiểm

$514=3\times171+1$; chữ số $0$ trong $207$ được tính với giá trị $0$.

Bài 2

Cốt lõi

Kiểm $729$ và $735$ có chia hết cho $9$ không.

Gợi ý bài 2

Tổng chữ số cần chia hết cho đúng $9$, không chỉ cho $3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $729$: $7+2+9=18$ chia hết cho $9$, nên $729$ chia hết cho $9$.

2. $735$: $7+3+5=15$ không chia hết cho $9$, nên không nhận.

Tự kiểm

$729=9\times81$; $735=9\times81+6$ xác nhận hai trường hợp.

Bài 3

Cốt lõi

Điền mọi chữ số vào $4\ldots2$ để số chia hết cho $3$, trong đó chỗ trống là một chữ số hàng chục.

Gợi ý bài 3

Tổng chữ số là $6$ cộng chữ số cần điền.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Gọi chữ số là $a$, tổng $6+a$ nằm từ $6$ đến $15$. Các bội của $3$ là $6,9,12,15$.

2. Nhận $a=0,3,6,9$, được $402,432,462,492$.

Tự kiểm

Bốn lựa chọn đã đủ vì mỗi tổng hợp lệ xác định đúng một chữ số.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn nói chia hết cho $3$ thì luôn chia hết cho $9$. Dùng $123$ để kiểm và nêu chiều suy ra đúng.

Gợi ý bài 4

Tổng chữ số $6$ phân biệt được hai điều kiện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $123$ có tổng $1+2+3=6$, nên chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$; phát biểu đã nêu sai.

2. Chiều đúng là chia hết cho $9$ thì chia hết cho $3$: nếu $n=9q$ với $q$ tự nhiên, thì $n=3\times(3q)$.

Tự kiểm

Đã đưa phản ví dụ cho chiều sai và giải thích tổng quát chiều đúng.

Bài 5

Cốt lõi

Kiểm $816$ chia hết cho $3$ và cho $9$.

Gợi ý bài 5

Tính tổng $8+1+6$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Tổng $15$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$.

2. Vậy $816$ chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$; kiểm $816=3\times272=9\times90+6$.

Tự kiểm

Không dùng “chia hết cho $3$” thay cho điều kiện mạnh hơn “chia hết cho $9$”.

Bài 6

Cốt lõi

Kiểm $1\,008$ chia hết cho $3$ và $9$.

Gợi ý bài 6

Tổng gồm bốn chữ số, hai chữ số giữa bằng $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $1+0+0+8=9$, chia hết cho $3$ và $9$.

2. $1\,008=9\times112=3\times336$, nên nhận cả hai.

Tự kiểm

Không bỏ chữ số $1$ ở đầu hoặc xem $1\,008$ là tổng chữ số.

Bài 7

Cốt lõi

Điền mọi chữ số vào $6\square3$ để chia hết cho $9$.

Gợi ý bài 7

Tổng $9+a$ có thể bằng $9$ hoặc $18$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Với chữ số $a$ từ $0$ đến $9$, tổng $6+a+3=9+a$ nằm từ $9$ đến $18$.

2. Nhận $a=0,9$, được $603,693$.

Tự kiểm

$603=9\times67$ và $693=9\times77$, xác nhận đủ hai mốc.

Bài 8

Cốt lõi

Điền mọi chữ số vào $8\square1$ để chia hết cho $3$.

Gợi ý bài 8

Tổng $9+a$ cần là bội của $3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Tổng từ $9$ đến $18$ có các bội $9,12,15,18$.

2. Chữ số $a=0,3,6,9$, cho $801,831,861,891$.

Tự kiểm

Mỗi chữ số hợp lệ đã được liệt kê; chữ số hàng đầu $8$ luôn khác $0$.

Bài 9

Cốt lõi

Kiểm $2\,709$ chia hết cho $9$ và giải thích vì sao cũng chia hết cho $3$.

Gợi ý bài 9

Tổng chữ số là $18$; sau đó dùng $9=3\times3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $2+7+0+9=18$ chia hết cho $9$, nên $2\,709$ chia hết cho $9$.

2. $2\,709=9\times301=3\times903$ nên cũng chia hết cho $3$.

Tự kiểm

Chiều suy ra dùng từ $9$ sang $3$; chữ số $0$ không thay tổng.

Bài 10

Cốt lõi

$1\,011$ có chia hết cho $3$ và $9$ không? Kiểm bằng tổng chữ số và một đẳng thức số.

Gợi ý bài 10

Tổng là $1+0+1+1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Tổng bằng $3$, chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$.

2. $1\,011=3\times337=9\times112+3$ xác nhận hai kết luận.

Tự kiểm

Tổng bằng đúng $3$ vẫn hợp dấu hiệu cho $3$, không cần tổng lớn hơn số chia.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số dạng $\overline{2a4b}$, trong đó $a,b$ là chữ số, chia hết đồng thời cho $2$ và $9$.

Gợi ý bài 11

$b$ phải chẵn; tổng $6+a+b$ là bội của $9$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $b$ thuộc $0,2,4,6,8$. Tổng $6+a+b$ từ $6$ đến $23$ nên chỉ có thể là $9$ hoặc $18$; do đó $a+b=3$ hoặc $12$.

2. Với $b=0,2,4,6,8$, các cặp chữ số $(a;b)$ lần lượt là $(3;0),(1;2),(8;4),(6;6),(4;8)$. Các giá trị còn lại của $a$ ngoài $0$ đến $9$ bị loại.

3. Nhận đủ các số $2\,142;2\,340;2\,448;2\,646;2\,844$. Mỗi số tận cùng chẵn và tổng chữ số bằng $9$ hoặc $18$.

Tự kiểm

Đã xét đủ năm chữ số cuối và mọi bội có thể của $9$; không yêu cầu các chữ số khác nhau khi đề không nêu.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Dùng $1,2,5,9$, mỗi chữ số đúng một lần, có lập được số có bốn chữ số chia hết cho $9$ không? Giải thích để không cần thử mọi thứ tự.

Gợi ý bài 12

Mọi thứ tự đều có cùng tổng chữ số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Tổng cố định $1+2+5+9=17$, không chia hết cho $9$.

2. Dù xếp theo thứ tự nào, tổng vẫn $17$, nên không có số nào thỏa. Không cần liệt kê từng hoán đổi.

Tự kiểm

Điều quyết định là tổng bất biến; thay đổi vị trí chữ số không thể biến tổng $17$ thành bội của $9$.

6. Tự kiểm sau khi học

Viết phép chia có dư thành một đẳng thức, đồng thời kiểm giới hạn số dư thay vì chỉ kiểm phép nhân cộng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Chia hết, dấu hiệu chia hết và chia có dư. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.