Dùng giao hoán, kết hợp với số nguyên

Tính hợp lí và chia hết trong số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-13-B1

Sau bài này, em có thể:

• Chọn cặp số đối hoặc cặp thừa số tròn chục để tính.
• Giữ dấu và số lần xuất hiện khi đổi chỗ, nhóm.
• Phân biệt tính chất của cộng, nhân với giới hạn của trừ, chia.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Trong $(-14)+9+14+1$, cặp $-14$ và $14$ có thể bù nhau. Trong $(-25)\times13\times4$, cặp $-25$ và $4$ tạo $-100$. Em chọn cách nào giúp nhìn ra kết quả mà vẫn dùng đủ các số?

Đổi chỗ phải chuyển cả số có dấu; nhóm chỉ thay ngoặc của một tổng hoặc một tích. Các ví dụ sẽ kiểm giá trị theo hai đường tính.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Ghép hai số đối trong tổng

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính thuận tiện $(-14)+9+14+1$. Em muốn ghép hai số nào trước?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm cặp có tổng $0$, giữ dấu đi cùng số.

Gợi ý để em tự tìm

$-14$ và $14$ là hai số đối.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đổi chỗ và nhóm các số hạng: $[(-14)+14]+(9+1)$.

2. $(-14)+14=0$, $9+1=10$, nên tổng $0+10=10$.

Tự kiểm

Tính theo thứ tự: $-14+9=-5$, $-5+14=9$, $9+1=10$.

Ví dụ 2. Ghép thành một trăm

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính thuận tiện $(-25)\times13\times4$.

Bắt đầu từ đâu?

Ghép thừa số có độ lớn $25$ với $4$.

Gợi ý để em tự tìm

$(-25)\times4=-100$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đổi chỗ và nhóm: $[(-25)\times4]\times13$.

2. $(-25)\times4=-100$, $(-100)\times13=-1300$.

Tự kiểm

Có đúng một thừa số âm nên kết quả âm; độ lớn $25\times4\times13=1300$.

Ví dụ 3. Giữ dấu khi chuyển vị trí

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-7)+12+(-3)+7$ bằng cách ghép số đối.

Bắt đầu từ đâu?

Khi di chuyển $-3$, dấu âm phải đi cùng nó.

Gợi ý để em tự tìm

Ghép $-7$ và $7$, còn $12+(-3)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm được $[(-7)+7]+[12+(-3)]$.

2. Hai ngoặc bằng $0$ và $9$, nên tổng $9$.

Tự kiểm

Tính theo thứ tự cũ: $-7+12=5$, $5-3=2$, $2+7=9$; không biến $-3$ thành $3$.

Ví dụ 4. Nhóm ba thừa số âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-2)\times(-5)\times(-10)$ và viết hai cách nhóm.

Bắt đầu từ đâu?

Ba thừa số âm cho tích âm; mỗi cặp âm tạo dương.

Gợi ý để em tự tìm

Có thể nhóm hai thừa số đầu hoặc hai thừa số cuối.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm đầu: $[(-2)(-5)](-10)=10(-10)=-100$.

2. Nhóm cuối: $(-2)[(-5)(-10)]=(-2)50=-100$.

Tự kiểm

Hai cách có cùng ba thừa số và cùng kết quả $-100$, phù hợp với số âm lẻ.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với các số nguyên $a,b,c$: $a+b=b+a$, $(a+b)+c=a+(b+c)$; $ab=ba$, $(ab)c=a(bc)$. Vì vậy có thể đổi chỗ, nhóm số hạng trong tổng và thừa số trong tích; giữ nguyên dấu và từng lần xuất hiện.

Phép trừ và phép chia không có tính giao hoán hoặc kết hợp như vậy. Nếu đổi phép trừ thành cộng số đối, số đối phải đi cùng vị trí mới; khi có chia, luôn kiểm số chia khác $0$ và thương nguyên nếu yêu cầu chia hết.

Ví dụ 5. Giới hạn của giao hoán

Cốt lõi

Em thử trước:

So sánh $8-3$ và $3-8$. Có thể đổi chỗ hai số trong mọi phép trừ không?

Bắt đầu từ đâu?

Tính hai phép riêng để kiểm lời khẳng định chung.

Gợi ý để em tự tìm

Phép trừ có thứ tự số bị trừ và số trừ.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $8-3=5$ còn $3-8=-5$.

2. $5\ne-5$, nên phép trừ không giao hoán. Không dùng tính chất của cộng để tự đổi chỗ trong phép trừ.

Tự kiểm

Có thể viết $8-3=8+(-3)$ rồi đổi chỗ thành $(-3)+8$, chứ không thành $3-8$.

Ví dụ 6. Giới hạn của kết hợp trong chia

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(24:6):2$ và $24:(6:2)$. Đổi cách nhóm phép chia có giữ kết quả không?

Bắt đầu từ đâu?

Thực hiện ngoặc trước, kiểm các số chia đều khác $0$.

Gợi ý để em tự tìm

Ngoặc đầu cho $4$, ngoặc sau cho $3$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(24:6):2=4:2=2$.

2. $24:(6:2)=24:3=8$. Vì $2\ne8$, phép chia không có tính kết hợp như phép nhân.

Tự kiểm

Các phép đều có thương nguyên và số chia khác $0$; khác nhau do cách nhóm, không phải do phép chia không xác định.

Ví dụ 7. Không bỏ số xuất hiện hai lần

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-6)+6+6+(-6)$. Vì hai số $6$ giống nhau, có được bỏ một số không?

Bắt đầu từ đâu?

Đánh dấu bốn vị trí số hạng trước khi ghép.

Gợi ý để em tự tìm

Có hai vị trí $-6$ và hai vị trí $6$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ghép vị trí thứ nhất với thứ hai và vị trí thứ ba với thứ tư: $[(-6)+6]+[6+(-6)]$.

2. Mỗi ngoặc bằng $0$, nên tổng $0$. Không bỏ vị trí nào chỉ vì giá trị bị lặp.

Tự kiểm

Nếu bỏ một số $6$ mà vẫn giữ hai số $-6$ thì tổng thành $-6$, khác kết quả đúng.

Ví dụ 8. Nhóm tích có số không

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $5\times0\times(-12)$ bằng hai cách nhóm. Việc đổi chỗ có làm mất số $0$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Số $0$ vẫn là một thừa số được giữ nguyên.

Gợi ý để em tự tìm

Nhóm đầu hoặc cuối đều có một tích chứa $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(5\times0)\times(-12)=0\times(-12)=0$.

2. $5\times[0\times(-12)]=5\times0=0$. Đổi chỗ không được xóa thừa số $0$.

Tự kiểm

Nếu bỏ $0$ sẽ thành $5\times(-12)=-60$, không phải một cách biến đổi hợp lệ.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tổng không phụ thuộc tham số

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với mọi số nguyên $t$, tính $S=t+(-t)+11+(-4)$. Nếu bỏ số hạng $-t$ thì có còn luôn cùng kết quả không?

Bắt đầu từ đâu?

Ghép cặp số đối trước; sau đó kiểm biểu thức bị bỏ số hạng.

Gợi ý để em tự tìm

$t+(-t)=0$ cho mọi số nguyên $t$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $S=[t+(-t)]+[11+(-4)]=0+7=7$, không phụ thuộc $t$.

2. Bỏ $-t$ thì còn $t+7$, không luôn bằng $7$: chẳng hạn $t=1$ cho $8$. Chỉ khi $t=0$ mới còn bằng $7$.

Tự kiểm

Thử $t=-3$ ở tổng gốc: $-3+3+11-4=7$. Việc độc lập tham số được chứng minh bằng cặp đối, không chỉ bởi thử một giá trị.

Ví dụ 10. Khi nào hai cách nhóm phép trừ bằng nhau?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với số nguyên $a,b,c$, so sánh $A=(a-b)-c$ và $B=a-(b-c)$. Hai giá trị bằng nhau khi nào?

Bắt đầu từ đâu?

Đổi phép trừ thành cộng số đối để thấy hai biểu thức chỉ khác $c$ với $-c$.

Gợi ý để em tự tìm

$A=a+(-b)+(-c)$ còn $B=a+(-b)+c$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đặt $u=a-b$. Khi đó $A=u-c$. Số đối của $b-c$ là $-b+c$, vì $(b-c)+(-b+c)=0$ khi ghép hai cặp đối. Do đó $B=a+(-b)+c=u+c$.

2. Hiệu $B-A=(u+c)-(u-c)=c+c=2c$. Nếu $c>0$ thì $2c>0$, nếu $c<0$ thì $2c<0$; hiệu chỉ bằng $0$ khi $c=0$.

3. Vậy $A=B$ đúng khi và chỉ khi $c=0$. Ví dụ $a=8,b=3,c=1$ cho $A=4,B=6$, minh họa sự khác nhau.

Tự kiểm

Với $c=0$, cả hai cùng bằng $a-b$, nên điều kiện tìm được cũng đủ.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tính thuận tiện $(-38)+27+38+(-7)$.

Gợi ý bài 1

Ghép số đối, rồi cộng hai số còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Nhóm $[(-38)+38]+[27+(-7)]$.

2. Ngoặc thứ nhất $0$, ngoặc thứ hai $20$, nên tổng $20$.

Tự kiểm

Theo thứ tự ban đầu: $-38+27=-11$, $-11+38=27$, $27-7=20$.

Bài 2

Cốt lõi

Tính thuận tiện $(-4)\times19\times25$.

Gợi ý bài 2

Ghép $-4$ với $25$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Đổi chỗ và nhóm thành $[(-4)\times25]\times19$.

2. $(-4)\times25=-100$, $(-100)\times19=-1900$.

Tự kiểm

Tích có một thừa số âm và độ lớn $4\times25\times19=1900$.

Bài 3

Cốt lõi

Tính $(-5)\times(-7)\times2$; ghi một cách nhóm.

Gợi ý bài 3

Ghép $-5$ với $2$ nếu muốn tạo $-10$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Một cách nhóm là $[(-5)\times2]\times(-7)$.

2. $(-5)\times2=-10$; $(-10)\times(-7)=70$.

Tự kiểm

Nhóm đầu cũng được: $[(-5)(-7)]2=35\times2=70$.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn đổi $(-12)-5$ thành $5-(-12)$ vì muốn “đổi chỗ cho dễ”. Tính hai vế để kiểm.

Gợi ý bài 4

Phép trừ không tự có tính giao hoán.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $(-12)-5=-17$.

2. $5-(-12)=5+12=17$. Hai giá trị khác nhau, nên cách đổi chỗ sai.

Tự kiểm

Đổi sang tổng đúng là $(-12)+(-5)=(-5)+(-12)=-17$.

Bài 5

Cốt lõi

Tính thuận tiện $(-45)+18+45+2$.

Gợi ý bài 5

Ghép $-45$ với $45$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Nhóm $[(-45)+45]+(18+2)$.

2. $0+20=20$, nên tổng $20$.

Tự kiểm

Theo thứ tự cũ: $-45+18=-27$, $-27+45=18$, $18+2=20$.

Bài 6

Cốt lõi

Tính thuận tiện $(-8)\times23\times125$.

Gợi ý bài 6

Ghép độ lớn $8$ và $125$ thành $1000$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Đổi chỗ và nhóm $[(-8)\times125]\times23$.

2. $(-8)\times125=-1000$; $(-1000)\times23=-23000$.

Tự kiểm

Một số âm cho tích âm; độ lớn $1000\times23=23000$.

Bài 7

Cốt lõi

Tính $(-9)+9+(-9)+9+5$ mà không bỏ số hạng trùng nhau.

Gợi ý bài 7

Ghép hai cặp đối theo từng vị trí.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Nhóm $[(-9)+9]+[(-9)+9]+5$.

2. Hai cặp bằng $0$, còn $0+0+5=5$.

Tự kiểm

Có đúng hai số $-9$, hai số $9$ và một số $5$, tất cả đã được dùng một lần.

Bài 8

Cốt lõi

Kiểm câu “đổi chỗ trong chia vẫn giữ kết quả” bằng $12:(-3)$ và $(-3):12$ trong tập số nguyên.

Gợi ý bài 8

Tính phép đầu; xét phép sau có thương nguyên không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $12:(-3)=-4$ vì $(-3)(-4)=12$.

2. $(-3):12$ không có thương nguyên vì không có số nguyên $q$ thỏa $12q=-3$: nếu $q=0$ thì tích $0$, còn $q\ne0$ thì độ lớn tích ít nhất $12$.

Tự kiểm

Các số chia đều khác $0$; đổi chỗ còn có thể làm mất tính chia hết, nên không phải giao hoán.

Bài 9

Cốt lõi

Tính $(18-7)-3$ và $18-(7-3)$ để kiểm tính kết hợp của phép trừ.

Gợi ý bài 9

Tính ngoặc trước trong từng phép.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $(18-7)-3=11-3=8$.

2. $18-(7-3)=18-4=14$. Vì $8\ne14$, không tự đổi nhóm phép trừ.

Tự kiểm

Đổi cả hai thành tổng số có dấu: $18-7-3=8$ khác $18-7+3=14$.

Bài 10

Cốt lõi

Tính $(-5)\times(-2)\times0\times11$. Có cần nhân tất cả độ lớn không?

Gợi ý bài 10

Số $0$ là thừa số chứ không phải số được phép bỏ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nhóm $0$ với $11$ được $0\times11=0$.

2. Tích còn lại $(-5)\times(-2)\times0=10\times0=0$.

Tự kiểm

Không cần tính $5\times2\times11$; nhân tiếp với $0$ luôn cho $0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số nguyên $x$ trong đoạn $-4\le x\le4$ để $-1\le(-7)+x+7+(-2)\le2$.

Gợi ý bài 11

Ghép $-7$ với $7$ trước rồi xét $x-2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tổng rút thành $x-2$. Muốn nằm từ $-1$ đến $2$ thì $x$ lần lượt có thể $1;2;3;4$, bởi cộng $2$ vào hai đầu cho $1\le x\le4$.

2. Các giá trị tương ứng của tổng là $-1;0;1;2$; đều thuộc khoảng và đều trong đoạn cho $x$.

Tự kiểm

$x=0$ cho $-2<-1$, còn mọi $x<0$ còn nhỏ hơn; không bỏ sót nghiệm trong đoạn.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Dùng đủ bốn thừa số $-1;-2;3;4$, mỗi số đúng một lần. Chỉ đổi chỗ và cách nhóm có thể được tích $-24$ không?

Gợi ý bài 12

Đổi chỗ và nhóm không thay dấu hay giá trị của từng thừa số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Có đúng hai thừa số âm và không có $0$, nên mọi cách nhóm hợp lệ cho tích dương.

2. Tính $[(-1)(-2)](3\times4)=2\times12=24$. Vì đổi chỗ và kết hợp giữ tích, không thể được $-24$.

Tự kiểm

Để được $-24$ phải thay ít nhất một thừa số hoặc phép toán; điều đó không thuộc việc chỉ đổi chỗ và nhóm.

6. Tự kiểm sau khi học

Dùng phân phối để chuyển một tích với tổng thành tổng các tích, hoặc đặt thừa số chung để tính thuận tiện.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính hợp lí và chia hết trong số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.