Dùng giao hoán và kết hợp với phân số

Tính chất và dấu ngoặc với phân số · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-20-B1

Sau bài này, em có thể:

• Dùng tính giao hoán, kết hợp của phép cộng và phép nhân để tính thuận tiện.
• Giữ dấu của số hạng, phân biệt với phép trừ và phép chia.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Trong $\frac27+\frac35+\frac57$, hai số hạng mẫu $7$ có tổng $1$. Đưa chúng về cạnh nhau giúp tính trước một phần đơn giản mà không bỏ số hạng $\frac35$.

Trong tích, hai thừa số nghịch đảo có tích $1$. Em hãy thử tìm cặp ấy trong $\frac34\times\frac25\times\frac43$ rồi tự hỏi: đổi chỗ có làm đổi dấu của một thừa số không?

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Ghép hai phân số thành 1

Cơ bản

Em thử trước:

Tính thuận tiện $\frac27+\frac35+\frac57$.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm cặp cùng mẫu có tổng một đơn vị.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac27+\frac57=1$; số hạng $\frac35$ còn lại phải giữ.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đổi chỗ và nhóm: $\frac27+\frac35+\frac57=(\frac27+\frac57)+\frac35$.

2. Tính $1+\frac35=\frac85$.

Tự kiểm

Tổng có ba số dương nên lớn hơn $1$ là hợp lí; không nhận riêng kết quả $1$ của cặp đã nhóm.

Ví dụ 2. Ghép cặp số đối

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac27+\frac35+\frac27$ bằng cách nhóm thuận tiện.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm hai số cùng độ lớn, trái dấu.

Gợi ý để em tự tìm

$-\frac27+\frac27=0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm hai số đối: $(-\frac27+\frac27)+\frac35$.

2. Cặp trong ngoặc bằng $0$ nên cả tổng bằng $\frac35$.

Tự kiểm

Còn số hạng $\frac35$ sau khi cặp triệt tiêu; không bỏ luôn toàn tổng.

Ví dụ 3. Ghép hai thừa số nghịch đảo

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac34\times\frac25\times\frac43$ bằng đổi chỗ và nhóm.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm cặp có tích $1$, không chỉ cùng mẫu.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac34\times\frac43=1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đổi chỗ, nhóm: $(\frac34\times\frac43)\times\frac25$.

2. Tích trong ngoặc bằng $1$ nên kết quả $\frac25$.

Tự kiểm

Cả ba thừa số đều được dùng đúng một lần; không đổi $\frac25$ thành $\frac52$.

Ví dụ 4. Cặp cho tích âm 1

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\left(-\frac47\right)\times\left(-\frac35\right)\times\frac74$ bằng nhóm thuận tiện.

Bắt đầu từ đâu?

Cặp có độ lớn nghịch đảo nhưng trái dấu cho tích $-1$.

Gợi ý để em tự tìm

$-\frac47\times\frac74=-1$, còn thừa số $-\frac35$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm $( -\frac47\times\frac74)\times(-\frac35)=(-1)\times(-\frac35)$.

2. Hai thừa số âm cho kết quả $\frac35$.

Tự kiểm

Toàn tích ban đầu có hai thừa số âm nên dương; bỏ dấu của cặp $-1$ sẽ cho sai dấu.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Phép cộng có giao hoán $a+b=b+a$ và kết hợp $(a+b)+c=a+(b+c)$. Phép nhân có giao hoán $ab=ba$ và kết hợp $(ab)c=a(bc)$. Các chữ biểu thị những giá trị phân số xác định; đổi chỗ hoặc nhóm không đổi giá trị, không đổi dấu của từng số.

Phép trừ không giao hoán hoặc kết hợp theo cách ấy. Muốn đổi chỗ các số hạng trong biểu thức cộng, trừ, viết phép trừ thành cộng số đối rồi giữ dấu theo số hạng. Phép chia cũng không được tự đảo thứ tự hai số.

Ví dụ 5. Chọn ngoặc thuận tiện hơn

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\left(-\frac12+\frac13\right)+\frac23$ bằng cách đổi nhóm, rồi kiểm theo ngoặc ban đầu.

Bắt đầu từ đâu?

$\frac13+\frac23=1$ giúp tránh quy đồng ở bước đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Tính $-\frac12+1$ trước; sau đó đối chiếu cách đi từ trái.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Theo kết hợp: $-\frac12+(\frac13+\frac23)=-\frac12+1=\frac12$.

2. Kiểm ngoặc ban đầu: $-\frac12+\frac13=-\frac16$; cộng $\frac23=\frac46$ được $\frac36=\frac12$.

Tự kiểm

Đổi nhóm giữ thứ tự số hạng và không đổi dấu; hai cách đúng phải trùng kết quả.

Ví dụ 6. Đổi chỗ phải giữ số hạng âm

Vận dụng

Em thử trước:

Viết $\frac12-\frac23$ thành một tổng rồi đổi chỗ đúng; tính kết quả.

Bắt đầu từ đâu?

Số hạng thứ hai của tổng là $-\frac23$, không phải $\frac23$.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac12-\frac23=\frac12+(-\frac23)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Viết thành tổng rồi đổi chỗ: $\frac12+(-\frac23)=(-\frac23)+\frac12$.

2. Quy đồng được $-\frac46+\frac36=-\frac16$.

Tự kiểm

Đây không phải đảo phép trừ thành $\frac23-\frac12=\frac16$; dấu đi cùng số hạng.

Ví dụ 7. Phép chia không đổi thứ tự như tích

Vận dụng

Em thử trước:

So $\frac23:\frac45$ và $\frac45:\frac23$. Có dùng giao hoán của phép nhân để đổi thứ tự phép chia không?

Bắt đầu từ đâu?

Mỗi phép chia dùng nghịch đảo của một số chia khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Thương lần đầu $\frac56$, lần sau $\frac65$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac23:\frac45=\frac23\times\frac54=\frac56$.

2. $\frac45:\frac23=\frac45\times\frac32=\frac65$. Hai kết quả khác nhau, nên không đổi thứ tự phép chia bằng tính giao hoán của phép nhân.

Tự kiểm

Sau khi đổi một phép chia thành tích, phải giữ đúng các thừa số của chính tích ấy.

Ví dụ 8. Giữ đủ bốn số hạng

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac29-\frac38+\frac79+\frac38$ bằng nhóm.

Bắt đầu từ đâu?

Viết phép trừ thành số hạng âm rồi tìm hai cặp thích hợp.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac29+\frac79=1$ và $-\frac38+\frac38=0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Viết tổng có dấu rồi nhóm $(\frac29+\frac79)+(-\frac38+\frac38)$.

2. Tổng bằng $1+0=1$.

Tự kiểm

Đã kiểm đủ bốn số hạng, mỗi số đúng dấu và đúng một lần.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm số hạng bị che trong một tổng

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm phân số $x$ để $-\frac56+x+\frac56=\frac37$. Giải thích vì sao không cần quy đồng $x$ với mẫu $6$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhóm hai số đối đã biết trước.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng hai số mẫu $6$ bằng $0$ nên cả vế trái bằng $x$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm $(-\frac56+\frac56)+x=0+x=x$. Vì vế trái phải bằng $\frac37$, suy ra $x=\frac37$.

2. Thay lại $-\frac56+\frac37+\frac56=\frac37$, đúng yêu cầu.

Tự kiểm

Suy luận dựa vào tính chất của tổng, không đòi $x$ có mẫu $6$.

Ví dụ 10. Tìm đủ các cặp tổng 0 hoặc 1

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Từ bốn số $-\frac25$, $\frac13$, $\frac25$, $\frac23$, chọn hai số khác vị trí. Tìm mọi cặp có tổng bằng $0$ hoặc $1$, không đếm đảo thứ tự thành cặp mới.

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê sáu cặp không lặp rồi kiểm từng cặp.

Gợi ý để em tự tìm

Có một cặp số đối và một cặp bù thành $1$; cần kiểm không còn cặp khác.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Cặp $(-\frac25,\frac25)$ có tổng $0$; cặp $(\frac13,\frac23)$ có tổng $1$.

2. Bốn cặp còn lại cho $-\frac25+\frac13=-\frac1{15}$, $-\frac25+\frac23=\frac4{15}$, $\frac13+\frac25=\frac{11}{15}$, $\frac25+\frac23=\frac{16}{15}$, đều khác $0$ và $1$.

3. Đã xét đủ sáu cặp nên chỉ có hai cặp thỏa; đảo thứ tự không tạo cặp mới vì phép cộng giao hoán.

Tự kiểm

Không chỉ nhận được hai cặp quen thuộc rồi bỏ bước kiểm đầy đủ các khả năng.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính thuận tiện $-\frac38+\frac56+\frac38$.

Gợi ý bài 1

Nhóm cặp số đối trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $-\frac38+\frac56+\frac38=(-\frac38+\frac38)+\frac56$.

2. Cặp số đối bằng $0$, nên kết quả $\frac56$.

Tự kiểm

Không bỏ số hạng $\frac56$ khi thấy một cặp triệt tiêu.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\frac79+\left(-\frac25\right)+\frac29$.

Gợi ý bài 2

$\frac79+\frac29=1$; giữ số hạng âm $-\frac25$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Đổi chỗ và nhóm $(\frac79+\frac29)+(-\frac25)=1-\frac25$.

2. Kết quả $\frac55-\frac25=\frac35$.

Tự kiểm

Kết quả không phải $\frac75$: dấu âm của số hạng thứ hai vẫn giữ sau đổi chỗ.

Bài 3

Cơ bản

Dùng đổi chỗ, nhóm để tính $\left(-\frac47\right)\times\left(-\frac35\right)\times\frac74$.

Gợi ý bài 3

Nhóm thừa số thứ nhất và thứ ba cho $-1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $( -\frac47\times\frac74)\times(-\frac35)=(-1)\times(-\frac35)$.

2. Tích bằng $\frac35$.

Tự kiểm

Hai số âm trong tích ban đầu cho tích dương; phép nhóm giữ cả ba thừa số.

Bài 4

Cơ bản

Bạn đổi $\frac12-\frac23$ thành $\frac23-\frac12$ và gọi là giao hoán. Kiểm hai giá trị để sửa.

Gợi ý bài 4

Phép trừ không giao hoán; nếu muốn đổi chỗ, trước hết viết thành tổng có dấu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $\frac12-\frac23=\frac36-\frac46=-\frac16$, còn $\frac23-\frac12=\frac46-\frac36=\frac16$, không bằng nhau.

2. Cách đổi chỗ hợp lệ: $\frac12+(-\frac23)=(-\frac23)+\frac12$. Số hạng âm không đổi thành dương.

Tự kiểm

Đã tính cả hai giá trị và chỉ cách biến đổi đúng, không chỉ nói bạn sai.

Bài 5

Vận dụng

Tính thuận tiện $\frac4{11}+\frac23+\frac7{11}$.

Gợi ý bài 5

Nhóm hai phân số mẫu $11$ cho $1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $(\frac4{11}+\frac7{11})+\frac23=1+\frac23$.

2. Kết quả $\frac53$.

Tự kiểm

Hai phân số mẫu $11$ không bị bỏ đi: chúng góp đúng một đơn vị.

Bài 6

Vận dụng

Tính $-\frac5{12}+\frac37+\frac5{12}$.

Gợi ý bài 6

Nhóm số đối và giữ số còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $( -\frac5{12}+\frac5{12})+\frac37=0+\frac37$.

2. Tổng bằng $\frac37$.

Tự kiểm

Cặp đối chỉ thay bằng $0$, không làm số hạng $\frac37$ biến mất.

Bài 7

Vận dụng

Tính $\left(-\frac38\right)\times\frac59\times\left(-\frac83\right)$ bằng nhóm.

Gợi ý bài 7

Hai thừa số âm đầu và cuối là nghịch đảo của nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Nhóm $(-\frac38)\times(-\frac83)=1$.

2. Tích còn $1\times\frac59=\frac59$.

Tự kiểm

Cùng dấu của cặp làm tích $1$ dương; không lấy $-1$.

Bài 8

Vận dụng

Tính $-\frac25\times\frac73\times\frac52$ bằng nhóm thuận tiện.

Gợi ý bài 8

Cặp thứ nhất và thứ ba cho $-1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $( -\frac25\times\frac52)\times\frac73=(-1)\times\frac73$.

2. Kết quả $-\frac73$.

Tự kiểm

Chỉ một thừa số âm ban đầu nên tích âm.

Bài 9

Vận dụng

So $\frac12-(\frac13-\frac14)$ với $(\frac12-\frac13)-\frac14$. Có thể đổi nhóm phép trừ tùy ý không?

Gợi ý bài 9

Tính đúng ngoặc của từng biểu thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Biểu thức đầu: $\frac13-\frac14=\frac1{12}$; $\frac12-\frac1{12}=\frac5{12}$.

2. Biểu thức sau: $\frac12-\frac13=\frac16$; $\frac16-\frac14=-\frac1{12}$. Hai giá trị khác nhau nên không đổi nhóm phép trừ như phép cộng.

Tự kiểm

Dấu ngoặc thay điều phải trừ, vì vậy cần đọc biểu thức trước khi nhóm.

Bài 10

Vận dụng

Tính $-\frac14+\frac35+\frac14-\frac35+\frac78$ bằng nhóm và chỉ số hạng còn lại.

Gợi ý bài 10

Có hai cặp số đối nhưng còn số thứ năm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nhóm $(-\frac14+\frac14)+(\frac35-\frac35)+\frac78$.

2. Hai cặp cho $0+0$, còn tổng bằng $\frac78$.

Tự kiểm

Đếm đủ năm số hạng giúp không nhầm kết quả bằng $0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Cho $t$ là một phân số bất kì. Tổng $-\frac23+t+\frac23$ có phụ thuộc cách viết tử, mẫu của $t$ không? Nếu tổng bằng $\frac58$, tìm $t$.

Gợi ý bài 11

Nhóm hai số đối để nhận cả tổng chính là giá trị $t$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $-\frac23+t+\frac23=(-\frac23+\frac23)+t=t$. Cách viết tương đương của $t$ không đổi giá trị tổng.

2. Tổng bằng $\frac58$ buộc $t=\frac58$; mọi cách viết tương đương như $\frac{10}{16}$ đều cùng giá trị đó.

Tự kiểm

Phân biệt một giá trị xác định với nhiều cách ghi tử, mẫu; không nhận chúng là nhiều đáp số khác nhau.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Cho $n$ nguyên từ $-2$ đến $2$. Biểu thức $\frac n5\times(-\frac37)\times\frac5n$ xác định với những $n$ nào? Tính chung cho các trường hợp hợp lệ.

Gợi ý bài 12

Kiểm mẫu $n$ trước khi rút các thừa số $n$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Phải có $n\ne0$ để $\frac5n$ xác định. Trong giới hạn nhận $n=-2$, $-1$, $1$, $2$; loại $0$.

2. Với $n\ne0$, nhóm $\frac n5\times\frac5n=1$, nên toàn tích bằng $-\frac37$ ở cả bốn trường hợp hợp lệ.

Tự kiểm

Không được rút $n$ rồi nhận giá trị cho $n=0$; phép biến đổi chỉ áp dụng khi biểu thức ban đầu xác định.

6. Tự kiểm sau khi học

Khi nhiều tích có chung một thừa số, có thể gộp theo tính phân phối thay vì nhân riêng từng tích.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính chất và dấu ngoặc với phân số. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.