Dùng phân phối trong tính tự nhiên

Phép tính tự nhiên và các tính chất · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-03-B4

Sau bài này, em có thể:

• Dùng phân phối với tổng hoặc hiệu để tính thuận tiện.
• Giữ đủ phép nhân với từng số hạng, nhận ra thừa số chung ở hai phía.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Giả sử mỗi gói có 10 bút đỏ và 3 bút xanh. Có 3 gói giống nhau. Ta có thể đếm 13 bút mỗi gói rồi nhân 3, hoặc đếm riêng toàn bộ bút đỏ và bút xanh rồi cộng. Hai cách phải cho cùng tổng, nhưng có được chỉ nhân số bút đỏ với 3 mà giữ nguyên 3 bút xanh không?

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Đếm gói bằng hai cách

Cốt lõi

Em thử trước:

Có 3 gói, mỗi gói 10 bút đỏ và 3 bút xanh. So hai cách tính $3(10+3)$ và $3\cdot10+3$. Cách nào giữ đủ số bút?

Bắt đầu từ đâu?

Đếm riêng từng loại trong cả ba gói.

Gợi ý để em tự tìm

Số bút xanh cũng phải được lấy ba lần.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tất cả có $3\cdot10=30$ bút đỏ và $3\cdot3=9$ bút xanh, tổng $39$ bút.

2. Tính cả gói cũng được $3(10+3)=3\cdot13=39$. Cách $3\cdot10+3=33$ chỉ đếm ba bút xanh thay vì chín.

Tự kiểm

Hai cách đếm đúng phải cho cùng 39 bút; từng loại đều nhân với số gói.

Ví dụ 2. Tách một số thành chục và đơn vị

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $24\cdot12$ bằng cách tách 12. Có phải chỉ số 10 cần nhân với 24 không?

Bắt đầu từ đâu?

Tách 12 thành $10+2$ rồi giữ đủ hai tích.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai phần 10 và 2 đều tạo một phần của tích.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $24\cdot12=24(10+2)=24\cdot10+24\cdot2$.

2. Tính $240+48=288$.

Tự kiểm

Kiểm bằng cách khác: $12\cdot20+12\cdot4=240+48=288$.

Ví dụ 3. Tách bằng một hiệu

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $38\cdot99$ bằng $99=100-1$. Vì sao cần bớt 38, không bớt 1?

Bắt đầu từ đâu?

Nhân 38 với cả 100 và 1.

Gợi ý để em tự tìm

99 nhóm là ít hơn 100 nhóm đúng một nhóm 38.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $38\cdot99=38(100-1)=38\cdot100-38\cdot1$.

2. Tính $3\,800-38=3\,762$.

Tự kiểm

Lấy thêm 38 vào 3 762 được 3 800, đúng 100 nhóm.

Ví dụ 4. Đọc ngược để đặt thừa số chung

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $52\cdot23+52\cdot77$. Có cần tính riêng hai tích lớn không?

Bắt đầu từ đâu?

Nhận thừa số 52 xuất hiện ở cả hai tích.

Gợi ý để em tự tìm

Số nhóm 23 và 77 gộp thành 100.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $52\cdot23+52\cdot77=52(23+77)$.

2. $23+77=100$, nên kết quả $52\cdot100=5\,200$.

Tự kiểm

Chiều đọc ngược vẫn dùng đúng hai số nhóm 23,77 và thừa số chung 52.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a,b,c\in\mathbb N$, có $a(b+c)=ab+ac$ và $(b+c)a=ba+ca$. Khi $b\ge c$, có $a(b-c)=ab-ac$. Mọi số hạng trong ngoặc đều phải được nhân với cùng thừa số. Đọc ngược công thức cũng được: tổng hoặc hiệu hai tích có cùng thừa số có thể đưa về một tích, miễn giữ đúng dấu và các thừa số còn lại.

Ví dụ 5. Thừa số ở bên phải ngoặc

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(40+2)\cdot15$. Có được chỉ nhân 40 với 15 không?

Bắt đầu từ đâu?

Đọc mỗi số hạng trong ngoặc là một phần của tổng.

Gợi ý để em tự tìm

Hai tích là 40 nhân 15 và 2 nhân 15.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(40+2)\cdot15=40\cdot15+2\cdot15$.

2. Tính $600+30=630$.

Tự kiểm

Cách trực tiếp $42\cdot15=630$ cho cùng kết quả.

Ví dụ 6. Đặt chung trong một hiệu

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $73\cdot48-73\cdot8$. Dấu giữa các số nhóm sau khi đặt chung là gì?

Bắt đầu từ đâu?

Thừa số 73 giống nhau, dấu trừ phải được giữ.

Gợi ý để em tự tìm

48 nhóm bớt 8 nhóm còn 40 nhóm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $73\cdot48-73\cdot8=73(48-8)$.

2. $48-8=40$, nên tích bằng $73\cdot40=2\,920$.

Tự kiểm

$48\ge 8$ nên hiệu số nhóm thuộc $\mathbb N$; không đổi dấu trừ thành cộng.

Ví dụ 7. Chỉ tích bị thiếu

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn viết $8(30+4)=240+4$. Chỉ chỗ thiếu phép nhân và sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm cả hai số hạng 30 và 4.

Gợi ý để em tự tìm

Số 4 cũng phải được nhân 8.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $8\cdot30=240$ đúng, nhưng phần sau phải là $8\cdot4=32$.

2. Vậy $8(30+4)=240+32=272$, không phải 244.

Tự kiểm

Cách trực tiếp $8\cdot34=272$ khôi phục cùng giá trị.

Ví dụ 8. Thừa số chung nằm bên phải

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $32\cdot17+68\cdot17$. Có thừa số chung dù nó không đứng đầu hai tích không?

Bắt đầu từ đâu?

Nhận thừa số 17 ở cuối mỗi tích.

Gợi ý để em tự tìm

Có thể dùng dạng $(32+68)\cdot17$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phân phối đọc ngược cho $32\cdot17+68\cdot17=(32+68)\cdot17$.

2. Tính $100\cdot17=1\,700$.

Tự kiểm

Không lấy $32+68+17$ vì các nhóm vẫn là tích với thừa số chung 17.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm thừa số từ tổng hai tích

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm $x\in\mathbb N$ biết $46x+54x=700$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhóm cùng thừa số $x$ trước khi tìm nó.

Gợi ý để em tự tìm

$46+54=100$ nên tổng là 100 nhóm $x$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $46x+54x=(46+54)x=100x$, nên $100x=700$.

2. Vì $100\ne0$, $x=700:100=7$. Kiểm $46\cdot7+54\cdot7=322+378=700$.

Tự kiểm

Không lấy $700-46-54$ vì $x$ là thừa số, không phải số hạng đứng riêng.

Ví dụ 10. Một quy tắc sai có thể đúng ở trường hợp riêng

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với $b$, $c$ là số tự nhiên, so $3(b+c)$ và $3b+c$. Khi $c=0$ thì bằng nhau; tìm mọi $c$ để chúng bằng nhau và kết luận có dùng công thức sai ấy cho mọi $c$ được không.

Bắt đầu từ đâu?

Viết dạng phân phối đúng rồi so phần còn lại ngoài $3b$.

Gợi ý để em tự tìm

Dạng đúng có $3c$, còn dạng kia chỉ có $c$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $3(b+c)=3b+3c$, còn biểu thức kia là $3b+c$. Phần đầu giống nhau, chênh lệch còn $3c-c=2c$.

2. Với $c$ tự nhiên, $2c=0$ chỉ khi $c=0$; nếu $c>0$ thì chênh lệch dương. Vậy chỉ $c=0$ cho bằng nhau, không phải công thức đúng với mọi $c$.

Tự kiểm

Thử một trường hợp $c=0$ đúng chưa chứng minh được một quy tắc tổng quát.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tính nhanh $47\cdot101$.

Gợi ý bài 1

$101=100+1$; nhân 47 với cả hai phần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $47\cdot101=47(100+1)=47\cdot100+47\cdot1$.

2. Tính $4\,700+47=4\,747$.

Tự kiểm

Số hạng thêm là 47, không phải 1.

Bài 2

Cốt lõi

Tính $28\cdot99$ bằng cách viết $99=100-1$.

Gợi ý bài 2

Một nhóm 28 phải bị bớt khỏi 100 nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $28\cdot99=28(100-1)=28\cdot100-28\cdot1$.

2. Tính $2\,800-28=2\,772$.

Tự kiểm

Cộng lại 28 được 2 800, đúng với việc đã bớt một nhóm.

Bài 3

Cốt lõi

Tính thuận tiện $64\cdot23+64\cdot77$.

Gợi ý bài 3

Tìm thừa số chung rồi cộng số nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $64\cdot23+64\cdot77=64(23+77)$.

2. $23+77=100$, nên kết quả $64\cdot100=6\,400$.

Tự kiểm

Không tính 64 hai lần như một số hạng ngoài hai tích.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn viết $7(20+3)=140+3$. Chỉ phần thiếu phép nhân rồi sửa.

Gợi ý bài 4

Phần 3 trong ngoặc cũng cần nhân 7.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Phải có $7\cdot3=21$, không phải chỉ 3; tích với 20 là 140 đã đúng.

2. Sửa $7(20+3)=7\cdot20+7\cdot3=140+21=161$.

Tự kiểm

Phép $7\cdot23=161$ cho cùng kết quả, còn 143 bỏ sót sáu nhóm 3.

Bài 5

Cốt lõi

Tính $56\cdot102$ thuận tiện và nêu hai tích riêng.

Gợi ý bài 5

$102=100+2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $56\cdot102=56\cdot100+56\cdot2$.

2. Hai tích riêng là $5\,600$ và $112$; tổng $5\,712$.

Tự kiểm

Không chỉ thêm 2 vào 5 600.

Bài 6

Cốt lõi

Tính $43\cdot98$ bằng một hiệu gần 100.

Gợi ý bài 6

$98=100-2$ nên phải bớt hai nhóm 43.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $43\cdot98=43(100-2)=4\,300-86$.

2. Kết quả $4\,214$; cộng $86$ trở lại được $4\,300$.

Tự kiểm

Chênh lệch từ 100 xuống 98 là 2, nên lượng bớt là 86 chứ không phải 43.

Bài 7

Cốt lõi

Tính $35\cdot16+65\cdot16$ bằng cách đặt thừa số chung.

Gợi ý bài 7

Thừa số chung nằm bên phải hai tích.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $35\cdot16+65\cdot16=(35+65)\cdot16$.

2. $35+65=100$, nên kết quả $1\,600$.

Tự kiểm

Dấu giữa 35 và 65 vẫn là cộng.

Bài 8

Cốt lõi

Tính $92\cdot37-92\cdot7$.

Gợi ý bài 8

Đặt 92 chung, giữ dấu trừ giữa các số nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $92\cdot37-92\cdot7=92(37-7)=92\cdot30$.

2. Kết quả $2\,760$.

Tự kiểm

$37\ge 7$ nên phép trừ trong $\mathbb N$ hợp lệ.

Bài 9

Cốt lõi

Tính thuận tiện $15\cdot21+15\cdot79+40$. Có được đưa cả 40 vào ngoặc có thừa số 15 không?

Gợi ý bài 9

Chỉ hai tích đầu có thừa số chung 15.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Hai tích đầu gộp thành $15(21+79)=15\cdot100=1\,500$.

2. Còn số hạng 40 đứng riêng, nên kết quả $1\,500+40=1\,540$. Không viết $15(21+79+40)$ vì làm 40 bị nhân thêm 15.

Tự kiểm

Số hạng ngoài nhóm phải được giữ nguyên giá trị.

Bài 10

Cốt lõi

So $25(40-4)$ với $25\cdot40-4$. Bạn nói chúng bằng nhau vì chỉ bỏ ngoặc, có đúng không?

Gợi ý bài 10

Dấu nhân trước ngoặc tác động lên cả 40 và 4.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $25(40-4)=25\cdot40-25\cdot4=1\,000-100=900$.

2. Biểu thức kia bằng $1\,000-4=996$, khác 900; cần nhân cả 4 với 25.

Tự kiểm

Cộng lại 100 vào 900 được 1 000; cộng 4 không đủ để kiểm cách phân phối đúng.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số tự nhiên $x$ để $12x+8x$ lớn hơn 90 và nhỏ hơn 130.

Gợi ý bài 11

Đặt $x$ chung để biết mỗi $x$ tạo 20 đơn vị.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $12x+8x=(12+8)x=20x$. Với $x\le 4$, tích không quá 80; với $x\ge 7$, tích ít nhất 140, đều bị loại.

2. $x=5$ cho tổng 100, $x=6$ cho tổng 120, đều nằm giữa 90 và 130. Vậy chỉ có $x\in\{5;6\}$.

Tự kiểm

Đã kiểm cả hai mốc nghiêm ngặt và loại toàn bộ các giá trị bên ngoài.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số tự nhiên $a$ để $a(7+2)=7a+2$. Từ đó giải thích vì sao thử $a=1$ chưa chứng minh quy tắc phân phối sai là đúng.

Gợi ý bài 12

Khai triển vế trái đúng rồi so phần giống nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Vế trái $a(7+2)=7a+2a$. Để bằng $7a+2$, cần $2a=2$.

2. Vì $2\ne0$, chỉ có $a=1$. Thử lại $1(7+2)=9$ và $7\cdot1+2=9$.

3. Chỉ một giá trị $a=1$ thỏa, nên thử đúng tại giá trị này không chứng minh công thức cho mọi $a$. Ví dụ $a=2$ cho 18 và 16, khác nhau.

Tự kiểm

Đã giải đủ tập giá trị thỏa và nêu một phản ví dụ ngoài tập ấy.

6. Tự kiểm sau khi học

Nếu biến đổi cho kết quả nghi ngờ, tính trực tiếp từng phía để đối chiếu và chỉ số hạng thiếu. Bài cuối dùng các phép tính ấy để giải câu chuyện và kiểm đơn vị.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Phép tính tự nhiên và các tính chất. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.