Dùng phân phối với phân số

Tính chất và dấu ngoặc với phân số · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-20-B2

Sau bài này, em có thể:

• Dùng phân phối theo hai chiều với tổng, hiệu của các phân số.
• Giữ đủ các số hạng và dấu; kiểm điều kiện có thừa số chung trước khi gộp.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hai phần rộng $\frac14$ và $\frac12$ ghép thành bề rộng $\frac34$ của một hình chữ nhật cao $\frac23$ đơn vị. Diện tích có thể tính một lần $\frac23(\frac14+\frac12)$, hoặc cộng hai diện tích $\frac23\times\frac14+\frac23\times\frac12$.

Cùng chiều cao xuất hiện trong cả hai tích. Đó là điều cần tìm trước khi gộp theo chiều ngược, không phải cứ thấy hai tích là gộp được mọi thừa số.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Một hình hay hai phần ghép

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac23(\frac14+\frac12)$ theo hai cách: trong ngoặc trước và phân phối.

Bắt đầu từ đâu?

Thừa số $\frac23$ nhân với toàn tổng, nên khi tách phải xuất hiện trong cả hai tích.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng trong ngoặc là $\frac34$; hai tích riêng là $\frac16$ và $\frac13$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Cách một: $\frac14+\frac12=\frac34$; nhân $\frac23\times\frac34=\frac12$.

2. Cách hai: $\frac23\times\frac14+\frac23\times\frac12=\frac16+\frac13=\frac12$.

Tự kiểm

Hai cách bằng nhau vì hai phần ghép không trùng nhau và cùng chiều cao; công thức cũng giữ từng tích riêng.

Ví dụ 2. Tổng trong ngoặc bằng 1

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac34(\frac25+\frac35)$; chọn cách ngắn và kiểm bằng phân phối.

Bắt đầu từ đâu?

Nhìn tổng trong ngoặc trước khi nhân riêng.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac25+\frac35=1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tính trong ngoặc trước: $-\frac34\times1=-\frac34$.

2. Kiểm phân phối: $-\frac34\times\frac25-\frac34\times\frac35=-\frac3{10}-\frac9{20}=-\frac6{20}-\frac9{20}=-\frac34$.

Tự kiểm

Cả hai tích riêng âm vì thừa số chung âm và các số trong ngoặc dương.

Ví dụ 3. Gộp hai tích chung thừa số

Cơ bản

Em thử trước:

Tính nhanh $\frac57\times\frac38+\frac57\times\frac58$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhận thừa số $\frac57$ lặp lại trong hai tích.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac38+\frac58=1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gộp theo phân phối: $\frac57(\frac38+\frac58)$.

2. Tổng trong ngoặc bằng $1$ nên kết quả $\frac57$.

Tự kiểm

Nhân riêng: $\frac{15}{56}+\frac{25}{56}=\frac{40}{56}=\frac57$, xác nhận kết quả.

Ví dụ 4. Phân phối với một hiệu âm

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac23(\frac35-\frac9{10})$.

Bắt đầu từ đâu?

Tính hiệu trong ngoặc trước để kiểm dấu của tích.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac35=\frac6{10}$ nên hiệu là $-\frac3{10}$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Trong ngoặc $\frac35-\frac9{10}=\frac6{10}-\frac9{10}=-\frac3{10}$.

2. Nhân $-\frac23\times(-\frac3{10})=\frac6{30}=\frac15$.

Tự kiểm

Kiểm phân phối: $-\frac25-(-\frac35)=-\frac25+\frac35=\frac15$, cùng kết quả dương.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với các giá trị phân số xác định, phép nhân phân phối đối với phép cộng và trừ: $$a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac.$$ Hệ số $a$ phải nhân cả hai số hạng, kể cả dấu của chúng.

Chiều ngược $ab+ac=a(b+c)$ dùng khi hai tích có cùng thừa số $a$. Có thể dùng giao hoán để nhìn thừa số chung ở cùng vị trí. Chọn tính trong ngoặc trước hoặc phân phối tùy cách nào thuận tiện, nhưng mọi bước đều phải giữ nguyên giá trị.

Ví dụ 5. Gộp hiệu của hai tích

Vận dụng

Em thử trước:

Dùng phân phối tính $\frac76\times\frac{13}{7}-\frac76\times\frac17$.

Bắt đầu từ đâu?

Giữ dấu trừ trong ngoặc sau khi đặt thừa số chung.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac{13}{7}-\frac17=\frac{12}{7}$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac76\times\frac{13}{7}-\frac76\times\frac17=\frac76(\frac{13}{7}-\frac17)$.

2. Tính $\frac76\times\frac{12}{7}=2$.

Tự kiểm

Nhân riêng được $\frac{13}{6}-\frac16=\frac{12}{6}=2$; không đổi hiệu trong ngoặc thành tổng.

Ví dụ 6. Thừa số chung âm vẫn giữ nguyên

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $-\frac49\times\frac7{10}+\left(-\frac49\right)\times\frac3{10}$.

Bắt đầu từ đâu?

Đặt cả giá trị âm $-\frac49$ làm thừa số chung.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng hai phân số mẫu $10$ là $1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Biểu thức bằng $-\frac49(\frac7{10}+\frac3{10})$.

2. Trong ngoặc bằng $1$ nên kết quả $-\frac49$.

Tự kiểm

Không đặt $\frac49$ dương mà quên đổi dấu các số trong ngoặc; cả hai tích ban đầu đều âm.

Ví dụ 7. Sửa một số hạng chưa nhân hệ số

Vận dụng

Em thử trước:

Bạn tính $\frac23(\frac34+\frac12)=\frac12+\frac12=1$. Chỉ số hạng sai và sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Hệ số $\frac23$ phải nhân cả $\frac34$ lẫn $\frac12$.

Gợi ý để em tự tìm

Tích thứ hai $\frac23\times\frac12=\frac13$, không phải $\frac12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tích thứ nhất $\frac23\times\frac34=\frac12$ đúng. Tích thứ hai phải là $\frac23\times\frac12=\frac13$.

2. Vì thế tổng đúng $\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56$.

Tự kiểm

Tính ngoặc trước: $\frac34+\frac12=\frac54$; $\frac23\times\frac54=\frac56$, xác nhận sửa đúng.

Ví dụ 8. Hệ số nhân cả phần sau dấu trừ

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac35(\frac56-\frac13)$ bằng phân phối và so với cách chỉ nhân số hạng đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Viết hai tích có cùng hệ số trước khi tính.

Gợi ý để em tự tìm

Đúng là $\frac35\times\frac56-\frac35\times\frac13$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phân phối đầy đủ: $\frac35\times\frac56-\frac35\times\frac13=\frac12-\frac15=\frac5{10}-\frac2{10}=\frac3{10}$.

2. Nếu chỉ nhân số đầu sẽ được $\frac12-\frac13=\frac16$, khác $\frac3{10}$; hệ số không được bỏ ở số hạng thứ hai.

Tự kiểm

Kiểm ngoặc $\frac56-\frac13=\frac12$; nhân $\frac35$ cho $\frac3{10}$.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm thừa số chung bị che

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm phân số $x$ để $\frac37x+\frac47x=-\frac56$.

Bắt đầu từ đâu?

Đưa $x$ ra làm thừa số chung, giữ tổng hai hệ số.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac37+\frac47=1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac37x+\frac47x=(\frac37+\frac47)x=1x=x$. Vì vậy $x=-\frac56$.

2. Kiểm: $(\frac37+\frac47)(-\frac56)=-\frac56$, đúng tổng hai tích ban đầu.

Tự kiểm

Không cần tìm riêng từng tích trước; chính tổng hệ số bằng $1$ quyết định.

Ví dụ 10. Khi nào tổng trong ngoặc phải bằng 0?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Biết $a(b+c)=0$ với $a,b,c$ là phân số xác định. Nếu $a\ne0$, có kết luận $b+c=0$ không? Nếu bỏ điều kiện $a\ne0$, nêu phản ví dụ.

Bắt đầu từ đâu?

Muốn loại thừa số $a$ bằng phép chia phải giữ $a\ne0$.

Gợi ý để em tự tìm

Khi $a\ne0$, nhân với nghịch đảo của $a$; khi $a=0$, tích luôn $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu $a\ne0$, nhân hai vế với nghịch đảo của $a$ được $b+c=0$, vì $a$ nhân nghịch đảo bằng $1$.

2. Nếu $a=0$, chọn $b=\frac12$, $c=\frac13$. Khi đó $a(b+c)=0$ nhưng $b+c=\frac56\ne0$; kết luận không còn đúng nếu bỏ điều kiện.

Tự kiểm

Đã tách trường hợp hợp lệ của phép chia và một phản ví dụ giữ nguyên các giả thiết còn lại.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính nhanh $\frac57\times\frac38+\frac57\times\frac58$.

Gợi ý bài 1

Gộp thừa số chung $\frac57$; tổng trong ngoặc bằng $1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $\frac57(\frac38+\frac58)=\frac57\times1$.

2. Kết quả $\frac57$.

Tự kiểm

Không cộng cả hai thừa số $\frac57$ thành $\frac{10}{7}$; một thừa số chung chỉ được đưa ra một lần.

Bài 2

Cơ bản

Tính $-\frac23(\frac35-\frac9{10})$.

Gợi ý bài 2

Trong ngoặc là $-\frac3{10}$; hai số âm nhân nhau cho dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $\frac35-\frac9{10}=\frac6{10}-\frac9{10}=-\frac3{10}$.

2. Tích $-\frac23\times(-\frac3{10})=\frac15$.

Tự kiểm

Phân phối cho $-\frac25+\frac35=\frac15$, không phải tổng hai số âm.

Bài 3

Cơ bản

Dùng phân phối tính $\frac76\times\frac{13}{7}-\frac76\times\frac17$.

Gợi ý bài 3

Giữ hiệu hai thừa số còn lại trong ngoặc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Gộp $\frac76(\frac{13}{7}-\frac17)=\frac76\times\frac{12}{7}$.

2. Rút gọn được $2$.

Tự kiểm

Nhân riêng hai tích cho $\frac{13}{6}$ và $\frac16$; hiệu đúng $2$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $\frac23(\frac34+\frac12)=\frac12+\frac12=1$. Sửa số hạng chưa được nhân đúng.

Gợi ý bài 4

Tích $\frac23\times\frac12$ chưa được tính đúng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $\frac23\times\frac34=\frac12$ đúng; $\frac23\times\frac12=\frac13$, không phải $\frac12$.

2. Tổng đúng $\frac12+\frac13=\frac56$.

Tự kiểm

Hệ số phải nhân từng số hạng; giữ nguyên phần $\frac12$ trong ngoặc mà đưa ra ngoài là sai.

Bài 5

Vận dụng

Tính $\frac35\times\frac79+\frac35\times\frac29$.

Gợi ý bài 5

Có cùng thừa số $\frac35$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Gộp $\frac35(\frac79+\frac29)=\frac35\times1$.

2. Kết quả $\frac35$.

Tự kiểm

Nhân riêng: $\frac7{15}+\frac2{15}=\frac9{15}=\frac35$.

Bài 6

Vận dụng

Tính $-\frac58(\frac47+\frac37)$.

Gợi ý bài 6

Tổng trong ngoặc bằng $1$; giữ thừa số âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $\frac47+\frac37=\frac77=1$.

2. Nhân $-\frac58\times1=-\frac58$.

Tự kiểm

Nếu phân phối, cả hai tích âm; tổng không thể dương.

Bài 7

Vận dụng

Tính nhanh $\frac43\times\frac{11}{8}-\frac43\times\frac58$.

Gợi ý bài 7

Đặt $\frac43$ chung và tính hiệu trong ngoặc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $\frac43(\frac{11}{8}-\frac58)=\frac43\times\frac68=\frac43\times\frac34$.

2. Hai thừa số nghịch đảo nên kết quả $1$.

Tự kiểm

Nhân riêng được $\frac{11}{6}-\frac56=\frac66=1$.

Bài 8

Vận dụng

Tính $\frac27(\frac73-\frac76)$.

Gợi ý bài 8

Hiệu trong ngoặc dùng mẫu $6$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $\frac73-\frac76=\frac{14}{6}-\frac76=\frac76$.

2. Nhân $\frac27\times\frac76=\frac13$.

Tự kiểm

Phân phối kiểm: $\frac23-\frac13=\frac13$.

Bài 9

Vận dụng

Tính $\frac19\times\frac54+\frac89\times\frac54$ bằng thừa số chung ở bên phải.

Gợi ý bài 9

Dùng giao hoán hoặc nhận ngay $\frac54$ lặp lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Gộp $(\frac19+\frac89)\times\frac54=1\times\frac54$.

2. Kết quả $\frac54$.

Tự kiểm

Thừa số chung không cần nằm bên trái trong cách viết ban đầu.

Bài 10

Vận dụng

Bạn tính $-\frac23(\frac14-\frac12)=-\frac16-\frac13=-\frac12$. Sửa dấu của tích thứ hai.

Gợi ý bài 10

Tích $-\frac23\times(-\frac12)$ dương; hoặc trừ tích âm $-\frac13$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Phân phối: $-\frac23\times\frac14-\bigl(-\frac23\times\frac12\bigr)=-\frac16-(-\frac13)$.

2. Đổi thành $-\frac16+\frac13=\frac16$.

Tự kiểm

Tính ngoặc trước: $\frac14-\frac12=-\frac14$; nhân $-\frac23$ cho $\frac16>0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Cho $n$ nguyên từ $-2$ đến $2$. Tìm mọi $n$ để $0\le\frac n5\times\frac37+\frac n5\times\frac47\le\frac25$.

Gợi ý bài 11

Gộp thừa số chung $\frac n5$ trước rồi xét hai mốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Biểu thức bằng $\frac n5(\frac37+\frac47)=\frac n5$. Vì mẫu $5>0$, điều kiện thành $0\le n\le2$.

2. Trong giới hạn nhận $n=0$, $1$, $2$, cho các giá trị $0$, $\frac15$, $\frac25$.

Tự kiểm

Phép gộp vẫn đúng với $n=0$ vì không chia cho $n$; khác với rút một tham số ở mẫu.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Bạn gộp $\frac25\times\frac37+\frac35\times\frac47$ thành $(\frac25+\frac35)(\frac37+\frac47)=1$. Kiểm và chỉ vì sao không thể gộp như vậy.

Gợi ý bài 12

Hai tích ban đầu không có một thừa số chung bằng nhau để đặt ra theo cách ấy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Giá trị ban đầu $\frac6{35}+\frac{12}{35}=\frac{18}{35}$, khác $1$.

2. Khai triển tích hai tổng có bốn tích; ngoài hai tích ban đầu còn $\frac25\times\frac47=\frac8{35}$ và $\frac35\times\frac37=\frac9{35}$.

3. Hai phần thêm tổng $\frac{17}{35}$ làm giá trị thành $1$, nên cách gộp đã tự thêm số hạng chứ không giữ giá trị.

Tự kiểm

Đã xác định chính xác các phần thừa, không chỉ nhận kết quả sai.

6. Tự kiểm sau khi học

Dấu trừ trước ngoặc có thể hiểu là nhân cả tổng với -1. Bài tiếp theo luyện việc đổi dấu từng số hạng khi bỏ ngoặc.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính chất và dấu ngoặc với phân số. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.