Giải chuyện đo lường bằng số thập phân

Bốn phép tính số thập phân có dấu · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-23-B5

Sau bài này, em có thể:

• Chọn phép tính từ đại lượng và chiều thay đổi; dùng thống nhất đơn vị.
• Phân biệt độ thay đổi có dấu với khoảng cách không âm, thương với số đoạn nguyên và kết quả vật lí khả thi.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Trong một tình huống minh họa, nhiệt độ $-1{,}8\,^\circ\mathrm C$ tăng $2{,}5\,^\circ\mathrm C$ thành $0{,}7\,^\circ\mathrm C$. Dấu dương của độ tăng không cho phép bỏ nhiệt độ âm ban đầu.

Độ thay đổi bằng giá trị cuối trừ giá trị đầu. Nếu tính một lượng vật chất còn lại mà được số âm, cần kiểm lại mô hình hoặc dữ kiện; số âm có ý nghĩa cho độ thay đổi nhưng không phải khối lượng thực còn trong bình.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Tăng qua mốc 0

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Trong dữ kiện minh họa, nhiệt độ từ $-1{,}8\,^\circ\mathrm C$ tăng $2{,}5\,^\circ\mathrm C$. Tìm nhiệt độ mới.

Bắt đầu từ đâu?

Phép tăng cộng một độ thay đổi dương.

Gợi ý để em tự tìm

So $2{,}5$ với $1{,}8$ trước để dự đoán dấu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhiệt độ mới $-1{,}8+2{,}5=0{,}7\,^\circ\mathrm C$.

2. Độ tăng lớn hơn độ lớn ban đầu âm nên nhiệt độ đã vượt mốc $0$.

Tự kiểm

Hiệu cuối trừ đầu $0{,}7-(-1{,}8)=2{,}5\,^\circ\mathrm C$, đúng độ tăng.

Ví dụ 2. Giảm từ một mức âm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Độ cao theo cùng mốc đang là $-0{,}4$ m, tiếp tục hạ $0{,}65$ m. Tìm độ cao mới.

Bắt đầu từ đâu?

Hạ nghĩa là cộng độ thay đổi âm $-0{,}65$ m.

Gợi ý để em tự tìm

Không lấy dấu âm ban đầu làm dấu của chiều chuyển động.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Độ cao mới $-0{,}4+(-0{,}65)=-(0{,}40+0{,}65)=-1{,}05$ m.

2. Mức mới thấp hơn mức cũ; khoảng hạ là $0{,}65$ m nhưng độ thay đổi là $-0{,}65$ m.

Tự kiểm

$-1{,}05-(-0{,}4)=-0{,}65$ m, đúng chiều hạ.

Ví dụ 3. Độ thay đổi khác với độ chênh

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Nhiệt độ minh họa từ $1{,}25\,^\circ\mathrm C$ thành $-0{,}75\,^\circ\mathrm C$. Tìm độ thay đổi và độ chênh không âm giữa hai mức.

Bắt đầu từ đâu?

Lấy cuối trừ đầu cho độ thay đổi; độ chênh lấy độ lớn.

Gợi ý để em tự tìm

Phải trả lời hai đại lượng có thể khác dấu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Độ thay đổi $-0{,}75-1{,}25=-2\,^\circ\mathrm C$.

2. Độ chênh không âm là $2\,^\circ\mathrm C$, nghĩa là giảm $2\,^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

$1{,}25+(-2)=-0{,}75$; không ghi độ chênh không âm bằng $-2$.

Ví dụ 4. Cộng số đo sau đổi đơn vị

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một dải dài $1{,}2$ m được nối thêm $35$ cm, không chồng phần nối. Tính tổng độ dài theo mét.

Bắt đầu từ đâu?

Đổi cm về m trước khi cộng.

Gợi ý để em tự tìm

$35$ cm bằng $0{,}35$ m.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $35$ cm $=35:100=0{,}35$ m.

2. Không chồng phần nối nên tổng dài $1{,}2+0{,}35=1{,}55$ m.

Tự kiểm

Đổi về cm: $120+35=155$ cm $=1{,}55$ m; không cộng trực tiếp $1{,}2+35$.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Cùng một mốc và cùng đơn vị: giá trị mới bằng giá trị cũ cộng độ thay đổi có dấu; độ thay đổi bằng giá trị cuối trừ giá trị đầu. Khoảng cách giữa hai mức là độ lớn của hiệu, không âm. Khi cộng số đo khác đơn vị, đổi về cùng đơn vị trước.

Chia tổng độ dài cho độ dài một đoạn cho một thương; muốn lấy các đoạn nguyên phải chọn số nguyên sao cho lượng dùng không vượt lượng có. Lượng hao chỉ tính khi đề cho và phải nêu rõ mô hình. Kiểm bằng tổng lượng đã dùng với lượng còn, phép tính ngược và điều kiện đại lượng. Dữ kiện minh họa không thay kết quả em đo thật.

Ví dụ 5. Số đoạn nguyên và phần dư

Vận dụng

Em thử trước:

Dây dài $2{,}75$ m; cắt các đoạn $0{,}4$ m, bỏ qua hao hụt. Lấy được tối đa bao nhiêu đoạn nguyên, còn bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Tính thương để chọn số nguyên không vượt lượng có.

Gợi ý để em tự tìm

$2{,}75:0{,}4=6{,}875$, không phải số đoạn nguyên.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2{,}75:0{,}4=27{,}5:4=6{,}875$. Sáu đoạn dùng $6\times0{,}4=2{,}4$ m.

2. Còn $2{,}75-2{,}4=0{,}35$ m. Bảy đoạn cần $2{,}8$ m, vượt $2{,}75$ m nên tối đa sáu đoạn.

Tự kiểm

$2{,}4+0{,}35=2{,}75$ và phần dư $0{,}35<0{,}4$, chưa đủ đoạn nữa.

Ví dụ 6. Khôi phục mức đầu

Vận dụng

Em thử trước:

Một điểm được nâng $1{,}25$ m rồi có độ cao $0{,}4$ m theo cùng mốc. Độ cao đầu là bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Phép nâng đã cộng $1{,}25$, muốn trở lại phải trừ.

Gợi ý để em tự tìm

Độ cao ban đầu có thể âm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Độ cao đầu $0{,}4-1{,}25=-0{,}85$ m.

2. Đó là mức dưới mốc, không phải độ dài âm của quãng nâng.

Tự kiểm

$-0{,}85+1{,}25=0{,}40$ m, đúng mức cuối.

Ví dụ 7. Khối lượng còn lại không âm

Vận dụng

Em thử trước:

Bình có $1{,}2$ kg nước. Bạn dự định lấy $1{,}45$ kg, rồi ghi còn $-0{,}25$ kg. Giải thích ý nghĩa kết quả.

Bắt đầu từ đâu?

So lượng dự định lấy với lượng có trước khi nhận đáp số vật lí.

Gợi ý để em tự tìm

Lượng dự định vượt lượng có $0{,}25$ kg.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phép trừ $1{,}2-1{,}45=-0{,}25$ đúng về số học.

2. Nhưng không thể lấy đủ $1{,}45$ kg chỉ từ $1{,}2$ kg đang có; khối lượng còn trong bình không thể âm. Thiếu $1{,}45-1{,}2=0{,}25$ kg so với dự định.

Tự kiểm

Không đổi dấu đáp số thành $0{,}25$ kg còn lại; phải sửa dự định hoặc bổ sung dữ kiện.

Ví dụ 8. Tốc độ đều và thời gian đổi đơn vị

Vận dụng

Em thử trước:

Một người đi đều với tốc độ $4{,}8$ km/h trong $15$ phút. Tính quãng đường.

Bắt đầu từ đâu?

Đổi phút ra giờ để khớp km/h; giả thiết đi đều đã được cho.

Gợi ý để em tự tìm

$15$ phút bằng $\frac{15}{60}=0{,}25$ giờ.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $15$ phút $=0{,}25$ giờ. Quãng đường $4{,}8\times0{,}25=1{,}2$ km.

2. Đơn vị h của thời gian khớp mẫu giờ của tốc độ; không dùng trực tiếp số $15$ như số giờ.

Tự kiểm

$1{,}2:0{,}25=4{,}8$ km/h khôi phục tốc độ đã cho.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Có hao hụt cho mỗi đoạn cắt ra

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Dây $2{,}5$ m; mỗi đoạn dùng được dài $0{,}45$ m và mỗi đoạn cắt ra làm hao thêm $0{,}01$ m. Theo mô hình này, lấy tối đa bao nhiêu đoạn nguyên, còn bao nhiêu mét chưa dùng?

Bắt đầu từ đâu?

Gộp độ dài dùng và hao cho một đoạn, rồi kiểm số nguyên tối đa.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi đoạn cắt ra tiêu tốn tổng $0{,}46$ m.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mỗi đoạn tiêu tốn $0{,}45+0{,}01=0{,}46$ m. Năm đoạn tiêu tốn $5\times0{,}46=2{,}30$ m; sáu đoạn cần $6\times0{,}46=2{,}76$ m $>2{,}5$ m.

2. Vì mỗi đoạn thêm tiêu tốn $0{,}46$ m dương, năm là tối đa. Còn chưa dùng $2{,}5-2{,}30=0{,}20$ m.

3. Năm đoạn dùng được dài $2{,}25$ m, hao $0{,}05$ m; tổng $2{,}25+0{,}05+0{,}20=2{,}50$ m.

Tự kiểm

Không bỏ hao hụt hoặc tự đổi số lần hao: đề đã quy định hao cho mỗi đoạn cắt ra.

Ví dụ 10. Hai cận cho một quá trình giả định

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Mức đầu là $-0{,}8$ m theo một mốc. Nâng $0{,}5$ m rồi nâng tiếp $n$ lần, mỗi lần $0{,}1$ m. Với $n$ nguyên từ $0$ đến $9$, tìm mọi $n$ để mức cuối từ $0$ đến $0{,}4$ m, kể cả hai đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Viết mức cuối rồi kiểm cả cận dưới và cận trên.

Gợi ý để em tự tìm

Mức cuối bằng $-0{,}3+0{,}1n$ m.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Sau lần nâng đầu, mức là $-0{,}8+0{,}5=-0{,}3$ m; sau $n$ lần thêm là $-0{,}3+0{,}1n$ m.

2. Yêu cầu $0\le-0{,}3+0{,}1n\le0{,}4$ tương đương $3\le n\le7$ sau cộng $0{,}3$ rồi nhân $10$.

3. Vậy $n=3,4,5,6,7$. Hai đầu cho mức $0$ m và $0{,}4$ m nên đều được nhận.

Tự kiểm

$n=2$ cho $-0{,}1$ m dưới cận; $n=8$ cho $0{,}5$ m trên cận, nên không bỏ sót giới hạn.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Theo cùng mốc, một điểm đang ở $-1{,}75$ m rồi được nâng $0{,}8$ m. Độ cao mới bao nhiêu?

Gợi ý bài 1

Nâng là cộng độ thay đổi dương; hai mức dùng cùng mốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Độ cao mới $-1{,}75+0{,}8=-(1{,}75-0{,}80)=-0{,}95$ m.

2. Mức mới vẫn dưới mốc vì phần nâng chưa bù hết độ lớn $1{,}75$ m.

Tự kiểm

$-0{,}95-(-1{,}75)=0{,}80$ m đúng độ nâng.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Nhiệt độ minh họa thay đổi từ $2{,}4\,^\circ\mathrm C$ xuống $-0{,}6\,^\circ\mathrm C$. Độ thay đổi cuối trừ đầu là bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Lấy mức cuối trừ mức đầu, không lấy độ lớn ngay.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Độ thay đổi $-0{,}6-2{,}4=-3\,^\circ\mathrm C$.

2. Dấu âm cho biết giảm; có thể diễn đạt giảm $3\,^\circ\mathrm C$, nhưng độ thay đổi có dấu là $-3\,^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

$2{,}4+(-3)=-0{,}6\,^\circ\mathrm C$, đúng mức cuối.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Một dây dài $3{,}36$ m được chia thành các đoạn $0{,}8$ m. Bốn đoạn dùng hết bao nhiêu mét và còn bao nhiêu mét?

Gợi ý bài 3

Nhân số đoạn với độ dài một đoạn, rồi trừ khỏi tổng; xét mô hình không tính hao hụt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Bốn đoạn dùng $4\times0{,}8=3{,}2$ m.

2. Còn $3{,}36-3{,}20=0{,}16$ m. Phần còn nhỏ hơn $0{,}8$ m nên chưa đủ thêm một đoạn cùng loại.

Tự kiểm

$3{,}2+0{,}16=3{,}36$ m khôi phục tổng ban đầu.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Một phép tính cho “khối lượng nước còn lại” bằng $-0{,}25$ kg. Có thể coi đây là khối lượng nước thực trong bình không?

Gợi ý bài 4

Phân biệt số học có dấu với khối lượng vật chất còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Không thể coi $-0{,}25$ kg là khối lượng nước thực còn trong bình, vì khối lượng ấy không âm.

2. Cần kiểm lượng ban đầu, lượng đã dùng, đơn vị và thứ tự phép trừ; cũng kiểm xem lượng định dùng có vượt lượng đang có không. Chưa đủ dữ kiện để tự sửa thành một khối lượng còn cụ thể.

Tự kiểm

Không chỉ bỏ dấu âm thành $0{,}25$ kg; cách ấy chưa có căn cứ từ dữ kiện.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Nhiệt độ giả định từ $-2{,}6\,^\circ\mathrm C$ tăng $1{,}45\,^\circ\mathrm C$. Tính mức cuối và cho biết đã vượt $0$ chưa.

Gợi ý bài 5

Cộng độ tăng dương với mức đầu âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $-2{,}6+1{,}45=-1{,}15\,^\circ\mathrm C$.

2. Mức cuối vẫn âm nên chưa vượt $0$; độ tăng $1{,}45$ nhỏ hơn độ lớn $2{,}6$.

Tự kiểm

$-1{,}15-(-2{,}6)=1{,}45\,^\circ\mathrm C$.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Mức đầu $-0{,}35$ m, mức cuối $1{,}2$ m theo cùng mốc. Tìm độ thay đổi và hướng lên hay xuống.

Gợi ý bài 6

Lấy cuối trừ đầu, giữ ngoặc cho số âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Độ thay đổi $1{,}2-(-0{,}35)=1{,}55$ m.

2. Giá trị dương cho biết nâng lên $1{,}55$ m.

Tự kiểm

$-0{,}35+1{,}55=1{,}20$ m.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Dây $1{,}5$ m nối thêm $45$ cm, không chồng phần nối. Tính tổng theo mét.

Gợi ý bài 7

Đổi $45$ cm về m trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $45$ cm $=0{,}45$ m.

2. Tổng $1{,}5+0{,}45=1{,}95$ m.

Tự kiểm

$150+45=195$ cm, đúng $1{,}95$ m.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Có $2{,}1$ kg hạt; chia vào túi $0{,}4$ kg, bỏ qua hao hụt. Tối đa bao nhiêu túi đầy và còn bao nhiêu?

Gợi ý bài 8

Chọn số túi nguyên rồi kiểm phần còn nhỏ hơn một túi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $2{,}1:0{,}4=5{,}25$. Năm túi đầy dùng $5\times0{,}4=2$ kg; còn $0{,}1$ kg.

2. Sáu túi cần $2{,}4$ kg $>2{,}1$ kg, nên tối đa năm túi đầy.

Tự kiểm

$2+0{,}1=2{,}1$ kg và $0{,}1<0{,}4$.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Một xe đi đều $12{,}6$ km/h trong $10$ phút. Tính quãng đường theo mô hình này.

Gợi ý bài 9

Đổi phút sang giờ trước khi nhân tốc độ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $10$ phút $=\frac{10}{60}=\frac16$ giờ.

2. Quãng đường $12{,}6\times\frac16=2{,}1$ km; giữ phân số thời gian chính xác thay vì làm tròn $\frac16$.

Tự kiểm

$2{,}1\times6=12{,}6$; sáu khoảng mười phút ghép thành một giờ theo tốc độ đều.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Bạn lấy hiệu độ cao $1{,}2$ m và $80$ cm thành $1{,}2-80=-78{,}8$ m. Sửa để tìm phần cao hơn của mức thứ nhất theo cùng mốc.

Gợi ý bài 10

Đổi $80$ cm thành mét trước khi trừ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $80$ cm $=0{,}8$ m. Hiệu đúng $1{,}2-0{,}8=0{,}4$ m.

2. Mức thứ nhất cao hơn mức thứ hai $0{,}4$ m; phép trừ trước đã trộn hai đơn vị.

Tự kiểm

Đổi cùng sang cm: $120-80=40$ cm $=0{,}4$ m.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Mức đầu $-1{,}5$ m theo một mốc; trong mô hình tăng đều, mỗi phút nâng $0{,}4$ m. Với số phút nguyên $n$ từ $0$ đến $8$, tìm mọi $n$ để mức cuối lớn hơn $0$ m và không vượt $1$ m.

Gợi ý bài 11

Viết mức cuối, xét một cận nghiêm ngặt và một cận có bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Mức cuối $-1{,}5+0{,}4n$ m. Cần $0<-1{,}5+0{,}4n\le1$, tức $15<4n\le25$ sau nhân $10$ và chuyển vế.

2. Với $n\le3$, $4n\le12$ nên loại; với $n\ge7$, $4n\ge28$ nên loại. Các $n=4,5,6$ cho mức lần lượt $0{,}1$ m, $0{,}5$ m, $0{,}9$ m, đều thỏa.

Tự kiểm

Đã kiểm toàn miền nguyên; không nhận số phút lẻ $3{,}75$ vì đề yêu cầu số nguyên.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Dây $2{,}4$ m cắt $n$ đoạn nguyên dài $0{,}35$ m, bỏ qua hao hụt. Tìm mọi số nguyên $n\ge0$ để phần còn không âm và nhỏ hơn $0{,}5$ m.

Gợi ý bài 12

Viết phần còn rồi chặn số đoạn từ cả hai phía.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Phần còn $2{,}4-0{,}35n$ m. Nếu $n\ge7$ thì dùng ít nhất $2{,}45$ m, quá tổng nên loại. Nếu $n\le5$ thì còn ít nhất $2{,}4-1{,}75=0{,}65$ m, không nhỏ hơn $0{,}5$ m.

2. Chỉ còn $n=6$. Khi ấy dùng $6\times0{,}35=2{,}1$ m và còn $0{,}3$ m, thỏa $0\le0{,}3<0{,}5$.

Tự kiểm

Không chỉ tìm số đoạn tối đa: ở đây yêu cầu thêm một cận cho phần còn, đã kiểm cả hai điều kiện.

6. Tự kiểm sau khi học

Đợt sau học cách dùng tính chất phép tính và ước lượng; luôn giữ đẳng thức chính xác tách với kết quả làm tròn.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Bốn phép tính số thập phân có dấu. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.