Giải chuyện gộp và chênh lệch bằng phân số

Cộng và trừ phân số có dấu · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-18-B5

Sau bài này, em có thể:

• Chọn phép tính gộp hoặc chênh lệch dựa trên đơn vị và mốc chung.
• Giải thích dữ kiện thiếu hoặc không thể thực hiện, rồi kiểm đáp án trong câu chuyện.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Nối hai đoạn dây dài $\frac34$ m và $\frac23$ m, nếu không hao hụt, nghĩa là gộp hai độ dài cùng đơn vị mét. Ngược lại, hỏi điểm nào cao hơn bao nhiêu thì phải lấy độ cao lớn hơn trừ độ cao nhỏ hơn theo cùng mốc.

“Một nửa của dây thứ nhất” chưa phải là một số mét. Nếu dây gốc khác độ dài, phải biết các độ dài ấy hoặc một đơn vị chung trước khi cộng các phần.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Nối hai độ dài cùng đơn vị

Cơ bản

Em thử trước:

Hai đoạn dây cùng loại dài $\frac34$ m và $\frac23$ m được nối không hao hụt. Tổng chiều dài bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Gộp hai độ dài bằng phép cộng; cả hai đã có đơn vị mét.

Gợi ý để em tự tìm

BCNN của $4$ và $3$ là $12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Không hao hụt nên tổng chiều dài bằng $\frac34+\frac23$ m.

2. Quy đồng: $\frac9{12}+\frac8{12}=\frac{17}{12}$ m, cũng bằng $1\frac5{12}$ m.

Tự kiểm

Tổng lớn hơn mỗi đoạn và nhỏ hơn $2$ m vì từng đoạn đều nhỏ hơn $1$ m.

Ví dụ 2. Chênh lệch qua hai phía mốc 0

Cơ bản

Em thử trước:

Theo cùng mốc, điểm $A$ có độ cao $-\frac12$ m, điểm $B$ có độ cao $\frac14$ m. $B$ cao hơn $A$ bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Lấy độ cao $B$ trừ độ cao $A$, giữ cả dấu âm của $A$.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac14-(-\frac12)=\frac14+\frac12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $B$ cao hơn vì $\frac14>-\frac12$. Chênh lệch là $\frac14-(-\frac12)$ m.

2. Đổi thành cộng số đối: $\frac14+\frac12=\frac14+\frac24=\frac34$ m.

Tự kiểm

Từ $A$ lên mốc là $\frac12$ m, từ mốc lên $B$ thêm $\frac14$ m; tổng hai đoạn cũng là $\frac34$ m.

Ví dụ 3. Nước còn lại sau khi dùng

Cơ bản

Em thử trước:

Bình có $3\frac14$ lít nước, dùng $1\frac12$ lít và không thêm nước. Còn bao nhiêu lít?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm phần còn lại bằng lượng ban đầu trừ lượng đã dùng.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac{13}{4}-\frac32=\frac{13}{4}-\frac64$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng còn lại là $3\frac14-1\frac12=\frac{13}{4}-\frac32$ lít.

2. Quy đồng rồi trừ: $\frac{13}{4}-\frac64=\frac74=1\frac34$ lít.

Tự kiểm

Còn $\frac74$ lít cộng đã dùng $\frac64$ lít bằng $\frac{13}{4}$ lít ban đầu; kết quả không âm.

Ví dụ 4. Hai phần của hai dây gốc khác nhau

Cơ bản

Em thử trước:

Giả sử dây thứ nhất dài $2$ m, dây thứ hai dài $3$ m. Lấy một nửa dây thứ nhất và một phần ba dây thứ hai, rồi nối không hao hụt. Tìm tổng và giải thích vì sao không viết ngay thành $\frac56$ của một dây.

Bắt đầu từ đâu?

Đổi từng phần sang mét trước vì hai đơn vị toàn thể khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Một nửa của $2$ m là $1$ m; một phần ba của $3$ m cũng là $1$ m.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đoạn lấy từ dây thứ nhất dài $2:2=1$ m; đoạn lấy từ dây thứ hai dài $3:3=1$ m.

2. Tổng là $1+1=2$ m. Hai phân số $\frac12$ và $\frac13$ nói về hai dây gốc dài khác nhau, nên cộng chúng không tự tạo $\frac56$ của một dây đã xác định.

Tự kiểm

$\frac56$ của dây $2$ m là $\frac53$ m, còn của dây $3$ m là $\frac52$ m; cả hai đều khác $2$ m.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Trước khi tính, xác định đại lượng, đơn vị và một đơn vị toàn thể chung nếu dùng phân số chỉ phần. Gộp các lượng cùng loại dùng phép cộng; tìm phần còn lại dùng ban đầu trừ phần đã dùng; tìm chênh lệch lấy lượng lớn hơn trừ lượng nhỏ hơn.

Đổi về cùng đơn vị đo trước khi cộng, trừ. Với độ cao có dấu, giữ cùng mốc và đúng thứ tự. Sau phép tính, kiểm đơn vị và tính khả thi: thể tích nước còn lại không thể âm nếu không có điều kiện bổ sung.

Ví dụ 5. Đổi đơn vị trước khi cộng

Vận dụng

Em thử trước:

Ghép không hao hụt đoạn $\frac12$ m với đoạn $25$ cm. Tổng dài bao nhiêu mét?

Bắt đầu từ đâu?

Không cộng số mét với số xentimét khi chưa đổi đơn vị.

Gợi ý để em tự tìm

$25$ cm bằng $\frac{25}{100}=\frac14$ m.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vì $1$ m bằng $100$ cm, $25$ cm bằng $\frac14$ m.

2. Tổng $\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34$ m.

Tự kiểm

Kiểm theo cm: $\frac12$ m bằng $50$ cm, $50+25=75$ cm bằng $\frac34$ m.

Ví dụ 6. Vị trí cuối khác tổng quãng đường

Vận dụng

Em thử trước:

Trên đường thẳng, từ mốc $O$ đi sang trái $\frac35$ m rồi sang phải $\frac45$ m. Chọn chiều phải là dương. Vị trí cuối và tổng quãng đường đã đi là gì?

Bắt đầu từ đâu?

Vị trí dùng độ dời có dấu; quãng đường cộng hai độ dài không âm.

Gợi ý để em tự tìm

Vị trí là $-\frac35+\frac45$; quãng đường là $\frac35+\frac45$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vị trí cuối so với $O$ là $-\frac35+\frac45=\frac15$ m, tức bên phải $O$ một khoảng $\frac15$ m.

2. Tổng quãng đường đã đi là $\frac35+\frac45=\frac75$ m. Hai câu hỏi đo hai đại lượng khác nhau.

Tự kiểm

Đoạn đi phải đã quay lại qua $O$; chỉ lấy $\frac15$ m làm quãng đường sẽ bỏ phần đã đi rồi quay lại.

Ví dụ 7. Hiệu âm báo dữ kiện không thực hiện được

Vận dụng

Em thử trước:

Bình chỉ có $\frac12$ lít nước, không thêm nước. Bạn nói đã lấy ra $\frac23$ lít. Có thể thực hiện đúng dữ kiện không?

Bắt đầu từ đâu?

So lượng lấy với lượng ban đầu và kiểm số còn lại.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac12-\frac23=\frac36-\frac46=-\frac16$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu trừ theo lời kể, lượng còn lại là $\frac12-\frac23=-\frac16$ lít.

2. Nước còn lại không thể âm. Vì $\frac23>\frac12$ và không được thêm nước, không thể lấy đủ lượng đã nói theo dữ kiện.

Tự kiểm

Phép tính số có dấu vẫn đúng; sai là nhận số âm ấy làm lượng nước còn lại thực tế.

Ví dụ 8. Gộp hai phần việc không trùng nhau

Vận dụng

Em thử trước:

Hai lượt đã hoàn thành $\frac58$ và $\frac38$ của cùng một công việc, không có phần làm trùng. Đã xong công việc chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm cùng toàn thể và không trùng trước khi cộng các phần.

Gợi ý để em tự tìm

Tám phần tám đúng bằng một công việc.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai phần được tính trên cùng công việc và không trùng, nên phần đã hoàn thành là $\frac58+\frac38=\frac88=1$.

2. Vậy đã hoàn thành toàn bộ công việc theo dữ kiện.

Tự kiểm

Nếu có phần làm trùng thì không được cộng thẳng; kết luận dựa vào điều kiện không trùng đã nêu.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Hai lần cắt và kiểm phần còn lại

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Dây dài $2$ m. Cắt lần lượt $\frac34$ m và $\frac56$ m, không hao hụt thêm. Còn bao nhiêu mét? Kiểm cả khả năng cắt lần thứ hai.

Bắt đầu từ đâu?

Cộng tổng phần đã cắt, nhưng cũng kiểm phần còn sau lần đầu đủ cho lần sau.

Gợi ý để em tự tìm

Sau lần đầu còn $\frac54$ m; so với $\frac56$ m bằng mẫu $12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Sau lần đầu còn $2-\frac34=\frac54=\frac{15}{12}$ m; lần hai cần $\frac56=\frac{10}{12}$ m nên đủ.

2. Tổng đã cắt $\frac34+\frac56=\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}$ m. Còn $2-\frac{19}{12}=\frac{24-19}{12}=\frac5{12}$ m.

Tự kiểm

$\frac5{12}+\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac{24}{12}=2$ m; cả hai bước cắt đều hợp lệ.

Ví dụ 10. Tìm ngược lượng nước ban đầu

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bình có một lượng nước chưa biết. Dùng $\frac13$ lít rồi thêm $\frac12$ lít, cuối cùng có $\frac76$ lít. Tìm lượng ban đầu và kiểm lúc vừa dùng xong vẫn không âm.

Bắt đầu từ đâu?

Làm ngược theo thứ tự: bỏ lượng thêm sau cùng, rồi trả lại lượng đã dùng.

Gợi ý để em tự tìm

Trước lúc thêm có $\frac76-\frac12$ lít.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng sau khi dùng, trước khi thêm, là $\frac76-\frac12=\frac76-\frac36=\frac46=\frac23$ lít.

2. Lượng ban đầu là $\frac23+\frac13=1$ lít. Kiểm $1-\frac13+\frac12=\frac23+\frac12=\frac76$ lít.

Tự kiểm

Sau khi dùng còn $\frac23\ge0$ lít; lượng ban đầu $1$ lít đủ để dùng $\frac13$ lít như yêu cầu.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Có $\frac56$ m dây; nối thêm $\frac34$ m cùng loại, không hao hụt. Tổng chiều dài bao nhiêu?

Gợi ý bài 1

Gộp độ dài cùng đơn vị mét, chọn mẫu chung $12$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Không hao hụt nên tổng là $\frac56+\frac34$ m.

2. Quy đồng: $\frac{10}{12}+\frac9{12}=\frac{19}{12}$ m, cũng là $1\frac7{12}$ m.

Tự kiểm

$\frac{19}{12}-\frac9{12}=\frac{10}{12}=\frac56$ m, khôi phục đoạn đầu.

Bài 2

Cơ bản

Theo cùng mốc, hai điểm có độ cao $-\frac23$ m và $\frac16$ m. Điểm thứ hai cao hơn điểm thứ nhất bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Lấy độ cao thứ hai trừ độ cao thứ nhất; trừ số âm thành cộng số đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Chênh lệch là $\frac16-(-\frac23)$ m vì điểm thứ hai có độ cao lớn hơn.

2. $\frac16+\frac23=\frac16+\frac46=\frac56$ m.

Tự kiểm

Từ điểm đầu lên mốc dài $\frac23$ m, rồi lên điểm hai thêm $\frac16$ m; gộp cũng bằng $\frac56$ m.

Bài 3

Cơ bản

Một bình có $2\frac12$ lít nước, dùng $1\frac34$ lít. Còn bao nhiêu lít?

Gợi ý bài 3

Đổi về phân số rồi lấy lượng ban đầu trừ lượng dùng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $2\frac12=\frac52$ và $1\frac34=\frac74$, nên lượng còn lại là $\frac52-\frac74$ lít.

2. $\frac{10}{4}-\frac74=\frac34$ lít.

Tự kiểm

$\frac34+\frac74=\frac{10}{4}=\frac52$ lít; lượng còn lại dương và nhỏ hơn ban đầu.

Bài 4

Cơ bản

Bạn cộng $\frac12$ chiều dài dây thứ nhất với $\frac13$ chiều dài dây thứ hai rồi nói bằng $\frac56$ của một dây, dù hai dây gốc dài khác nhau. Cần biết thêm điều gì?

Gợi ý bài 4

Hỏi mỗi phân số đang nói về toàn thể nào; cần đưa cả hai phần về cùng đơn vị đo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Hai phân số chỉ các phần của hai dây gốc khác độ dài, nên chưa có một độ dài chung để nhận ngay tổng là $\frac56$ của một dây đã xác định.

2. Cần biết độ dài hai dây để tính từng phần bằng cùng đơn vị, chẳng hạn mét, hoặc nêu rõ một đơn vị độ dài chung và quy đổi các phần về đơn vị ấy trước khi cộng.

Tự kiểm

Ví dụ minh họa: hai dây $2$ m và $3$ m cho hai phần đều $1$ m, tổng $2$ m; dữ kiện phân số riêng chưa xác định số mét.

Bài 5

Vận dụng

Nối không hao hụt hai đoạn dây dài $\frac7{10}$ m và $\frac35$ m. Tổng dài bao nhiêu mét?

Gợi ý bài 5

Đưa $\frac35$ về phần mười.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Tổng là $\frac7{10}+\frac35=\frac7{10}+\frac6{10}$ m.

2. Kết quả $\frac{13}{10}=1\frac3{10}$ m.

Tự kiểm

Tổng lớn hơn $1$ m vì $13$ phần mười vượt $10$ phần mười; đơn vị vẫn là mét.

Bài 6

Vận dụng

Theo cùng mốc, điểm $A$ ở $-\frac34$ m, $B$ ở $-\frac16$ m. $B$ cao hơn $A$ bao nhiêu?

Gợi ý bài 6

Hai độ cao cùng âm nhưng $-\frac16>-\frac34$; giữ đúng thứ tự $B-A$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Chênh lệch là $-\frac16-(-\frac34)=-\frac16+\frac34$ m.

2. Quy đồng mẫu $12$: $-\frac2{12}+\frac9{12}=\frac7{12}$ m.

Tự kiểm

$-\frac34+\frac7{12}=-\frac9{12}+\frac7{12}=-\frac16$, tới đúng độ cao của $B$.

Bài 7

Vận dụng

Bình có $1\frac35$ lít nước, dùng $\frac34$ lít, không thêm nước. Tìm lượng còn lại.

Gợi ý bài 7

Đổi hỗn số thành $\frac85$ rồi trừ lượng dùng trên mẫu $20$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Lượng còn lại $1\frac35-\frac34=\frac85-\frac34$ lít.

2. Quy đồng: $\frac{32}{20}-\frac{15}{20}=\frac{17}{20}$ lít.

Tự kiểm

$\frac{17}{20}+\frac{15}{20}=\frac{32}{20}=\frac85$ lít; kết quả không âm.

Bài 8

Vận dụng

Ghép không hao hụt đoạn $\frac14$ m với đoạn $40$ cm. Viết tổng bằng mét.

Gợi ý bài 8

Đổi $40$ cm thành $\frac{40}{100}=\frac25$ m trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $40$ cm bằng $\frac25$ m, nên tổng $\frac14+\frac25$ m.

2. Quy đồng mẫu $20$: $\frac5{20}+\frac8{20}=\frac{13}{20}$ m.

Tự kiểm

Kiểm bằng cm: $\frac14$ m bằng $25$ cm; $25+40=65$ cm bằng $\frac{13}{20}$ m.

Bài 9

Vận dụng

Bình chỉ có $\frac34$ lít nước, không được thêm nước. Có thể lấy ra $\frac56$ lít không? Giải thích bằng phép tính.

Gợi ý bài 9

Trừ thử và kiểm ý nghĩa kết quả âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Nếu lấy như đã nói, phần còn lại là $\frac34-\frac56=\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}$ lít.

2. Lượng nước còn lại không thể âm, nên không thể lấy đủ $\frac56$ lít khi chỉ có $\frac34$ lít và không thêm nước.

Tự kiểm

Thiếu $\frac1{12}$ lít so với lượng muốn lấy; không ghi “còn âm một phần mười hai lít” như một thể tích thực.

Bài 10

Vận dụng

Dây thứ nhất dài $1$ m, dây thứ hai dài $2$ m. Lấy một nửa dây thứ nhất và một phần ba dây thứ hai, nối không hao hụt. Tính tổng bằng mét.

Gợi ý bài 10

Tính từng phần theo độ dài dây gốc riêng rồi mới cộng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Một nửa dây thứ nhất là $\frac12$ m. Chia dây thứ hai thành ba phần bằng nhau, mỗi phần dài $\frac23$ m.

2. Tổng $\frac12+\frac23=\frac36+\frac46=\frac76$ m.

Tự kiểm

Không lấy $\frac12+\frac13=\frac56$ m vì một phần ba ở đây là của dây $2$ m, không phải $1$ m.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Một đoạn dây dài $\frac a6$ m, với $a$ thuộc $\{1;2;3;4;5;6\}$. Nối thêm $\frac13$ m, không hao hụt. Tìm mọi $a$ để tổng từ $1$ m đến $\frac43$ m, nhận cả hai mốc.

Gợi ý bài 11

Quy đồng tổng về phần sáu rồi so với $1=\frac66$ và $\frac43=\frac86$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tổng là $\frac a6+\frac13=\frac{a+2}{6}$ m. Điều kiện $\frac66\le\frac{a+2}{6}\le\frac86$ cho $6\le a+2\le8$, tức $4\le a\le6$.

2. Trong tập cho phép, $a=4$, $5$, $6$. Các tổng tương ứng $1$ m, $\frac76$ m, $\frac43$ m đều thỏa.

Tự kiểm

Hai mốc được nhận nên $a=4$ và $a=6$ phải có trong danh sách.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Hai đoạn dây có tổng chiều dài $1\frac14$ m. Đoạn dài hơn hơn đoạn ngắn $\frac14$ m. Tìm hai độ dài và kiểm cả tổng lẫn chênh lệch.

Gợi ý bài 12

Tạm bỏ phần hơn $\frac14$ m ở đoạn dài để còn hai đoạn bằng đoạn ngắn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Bỏ phần hơn khỏi tổng: $1\frac14-\frac14=1$ m. Đây là hai lần độ dài đoạn ngắn, nên đoạn ngắn dài $1:2=\frac12$ m.

2. Đoạn dài bằng $\frac12+\frac14=\frac34$ m. Kiểm tổng $\frac12+\frac34=\frac54=1\frac14$ m và hiệu $\frac34-\frac12=\frac14$ m.

Tự kiểm

Hai điều kiện đã kiểm độc lập; không thể dùng hai độ dài chỉ có tổng đúng mà chênh lệch sai.

6. Tự kiểm sau khi học

Trước khi học nhân và chia phân số, hãy tự nêu: đang cộng số đo hay phần của một toàn thể, và phép kiểm nào xác nhận được kết quả.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ phân số có dấu. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.