Giải chuyện thay đổi lượng và kiểm phần trăm

Giá trị phần trăm và tìm lượng ban đầu · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-26-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tính lượng mới bằng hệ số tăng hoặc hệ số còn sau giảm.
• Giải ngược khi biết mức mới, kiểm nhiều bước và các giới hạn của lượng không âm.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Lượng $100$ tăng $20\%$ thành $120$. Giảm tiếp $20\%$ của $120$ thì bớt $24$, còn $96$. Hai số $20\%$ có cùng cách ghi nhưng hai phần được lấy từ mốc $100$ và $120$.

Viết hệ số $1{,}2$ rồi $0{,}8$ giữ rõ điều đó: $100\times1{,}2\times0{,}8=96$. Chênh cuối $4$ so mốc đầu $100$, nên toàn quá trình giảm $4\%$.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Hai lần cùng 20 phần trăm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Lượng đầu $100$ tăng $20\%$, rồi giảm $20\%$ của lượng mới. Tính cuối và tỉ lệ thay đổi so đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Mốc lần hai là $120$, không phải $100$.

Gợi ý để em tự tìm

Dùng hai hệ số $1{,}2$ và $0{,}8$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Sau tăng $100\times1{,}2=120$. Sau giảm $120\times0{,}8=96$.

2. Cuối giảm $100-96=4$ so đầu, nên giảm $4:100=4\%$.

Tự kiểm

$1{,}2\times0{,}8=0{,}96$, xác nhận mức cuối bằng $96\%$ mức đầu.

Ví dụ 2. Tăng bằng hệ số mới

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Lượng $80$ tăng $25\%$. Tính phần tăng và lượng mới.

Bắt đầu từ đâu?

Hệ số lượng mới là $1{,}25$.

Gợi ý để em tự tìm

Tăng một phần tư của $80$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phần tăng $80\times0{,}25=20$.

2. Lượng mới $80+20=100$, cũng bằng $80\times1{,}25$.

Tự kiểm

$20:80=25\%$, kiểm đúng mốc.

Ví dụ 3. Giảm dùng phần còn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Lượng $250$ giảm $12\%$. Tính lượng mới bằng hệ số còn.

Bắt đầu từ đâu?

Còn $100\%-12\%=88\%$.

Gợi ý để em tự tìm

Hệ số còn $0{,}88$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng mới $250\times0{,}88=220$.

2. Phần giảm $250-220=30$, kiểm $30:250=12\%$.

Tự kiểm

Không lấy $250\times0{,}12=30$ rồi gọi đó là lượng còn.

Ví dụ 4. Tìm đầu từ mức sau tăng

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Sau tăng $20\%$, lượng mới là $120$. Tìm lượng đầu không âm.

Bắt đầu từ đâu?

Lượng mới bằng $1{,}2$ lần lượng đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Chia $120$ cho $1{,}2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gọi lượng đầu $A$, có $1{,}2A=120$, nên $A=120:1{,}2=100$.

2. Kiểm $100+20\%\times100=120$.

Tự kiểm

Không trừ $20\%$ của $120$ vì mốc ấy không phải mốc lần tăng.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với lượng đầu không âm $A$, tăng tỉ lệ $r\ge0$ cho lượng mới $A(1+r)$. Giảm tỉ lệ $0\le r\le1$ cho lượng mới $A(1-r)$. Tỉ lệ phải đổi từ phần trăm thành số trước khi dùng.

Nhiều bước thì tính lần lượt với mốc tương ứng. Muốn tìm lượng đầu từ lượng mới, chia cho hệ số khi hệ số khác $0$. Để tính phần trăm thay đổi toàn quá trình, lấy độ chênh cuối với đầu chia lượng đầu dương; không cộng các phần trăm có mốc khác nhau.

Ví dụ 5. Tìm đầu từ mức sau giảm

Vận dụng

Em thử trước:

Sau giảm $25\%$, lượng còn $60$. Tìm lượng đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Hệ số còn $0{,}75$.

Gợi ý để em tự tìm

$0{,}75A=60$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng đầu $A=60:0{,}75=80$.

2. Kiểm phần giảm $80\times0{,}25=20$, còn $80-20=60$.

Tự kiểm

Không cộng $25\%$ của $60$ để tìm gốc vì dùng mốc khác.

Ví dụ 6. Mốc 0 và phép tăng theo hệ số

Vận dụng

Em thử trước:

Bắt đầu $0$, tăng theo hệ số $1{,}2$. Có được mức $5$ không? Nếu thực tế ghi từ $0$ thành $5$, phần trăm tăng theo mốc đầu có xác định không?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt mô hình nhân với dữ kiện độ thay đổi.

Gợi ý để em tự tìm

$0\times1{,}2=0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Theo hệ số $1{,}2$, mức mới vẫn $0$, không phải $5$.

2. Nếu ghi từ $0$ thành $5$, độ tăng $5$ có nghĩa nhưng tỉ lệ tăng đòi $5:0$, không xác định. Không mô tả nó bằng một phần trăm hữu hạn theo công thức.

Tự kiểm

Điều kiện lượng đầu dương cần khi tính ngược tỉ lệ thay đổi, dù phép nhân mức đầu $0$ vẫn có nghĩa.

Ví dụ 7. Tăng dưới một phần trăm

Vận dụng

Em thử trước:

Lượng $1000$ tăng $0{,}5\%$. Tính lượng mới.

Bắt đầu từ đâu?

Đổi $0{,}5\%$ thành $0{,}005$.

Gợi ý để em tự tìm

Hệ số mới $1{,}005$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phần tăng $1000\times0{,}005=5$.

2. Lượng mới $1000+5=1005$, hoặc $1000\times1{,}005=1005$.

Tự kiểm

$5:1000=0{,}5\%$, không nhầm với tăng $50\%$.

Ví dụ 8. Hai kiểu thay đổi tình cờ cùng số

Vận dụng

Em thử trước:

Lượng $60$ giảm $20\%$ hoặc giảm cố định $12$. Hai kết quả có trùng không? Nếu lượng đầu $100$ thì sao?

Bắt đầu từ đâu?

Phần trăm dùng mốc, số giảm cố định không đổi.

Gợi ý để em tự tìm

$20\%$ của $60$ là $12$, của $100$ là $20$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với $60$, giảm $20\%$ bớt $12$, còn $48$; giảm cố định $12$ cũng còn $48$.

2. Với $100$, giảm $20\%$ còn $80$, còn giảm $12$ còn $88$; hai kết quả khác.

3. Vì vậy sự trùng ở một mốc không biến hai quy tắc thành cùng một cách thay đổi.

Tự kiểm

Đã dùng hai mốc để kiểm giới hạn của kết luận từ một ví dụ.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Giải thích bằng hệ số tổng quát

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với lượng đầu $A>0$, tăng tỉ lệ $r$ rồi giảm cùng tỉ lệ $r$ theo lượng mới, $0\le r\le1$. Có bao giờ cuối lớn hơn đầu không?

Bắt đầu từ đâu?

Nhân hai hệ số, dùng phân phối để giải thích.

Gợi ý để em tự tìm

$r$ là tỉ lệ dạng số, như $20\%=0{,}2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng cuối $A(1+r)(1-r)$. Phân phối $(1+r)(1-r)=1-r+r-r^2=1-r^2$.

2. Vì $r^2\ge0$, hệ số $1-r^2\le1$, nên lượng cuối không lớn hơn $A$. Bằng đầu khi $r=0$; với $r>0$, cuối nhỏ hơn đầu.

3. Chẳng hạn $r=0{,}2$ cho $1-r^2=0{,}96$, phù hợp ví dụ số.

Tự kiểm

Đã nêu mốc lần hai và miền $r$; không nói cộng $r$ và $-r$ là hết thay đổi.

Ví dụ 10. Tất cả tỉ lệ nguyên theo hai cận

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Lượng đầu $50$ tăng $n\%$, với $n$ nguyên từ $0$ đến $10$. Tìm mọi $n$ để lượng mới từ $54$ đến $55$, kể cả hai đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Viết lượng mới thành $50+0{,}5n$.

Gợi ý để em tự tìm

$1\%$ của $50$ bằng $0{,}5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượng mới $50(1+\frac n{100})=50+0{,}5n$. Cần $54\le50+0{,}5n\le55$.

2. Trừ $50$ rồi nhân $2$ được $8\le n\le10$. Vì $n$ nguyên, nhận $8,9,10$.

Tự kiểm

Các mức tương ứng $54$, $54{,}5$, $55$ đều thỏa; hai cận đều được nhận.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Một lượng $80$ tăng $25\%$. Tính lượng mới.

Gợi ý bài 1

Tăng thêm một phần tư mốc đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Tăng $80\times0{,}25=20$.

2. Lượng mới $80+20=100$.

Tự kiểm

$80\times1{,}25=100$, kiểm bằng hệ số.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Một lượng $250$ giảm $12\%$. Tính lượng mới bằng hệ số còn lại.

Gợi ý bài 2

Còn $88\%$ mức đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Hệ số còn $1-0{,}12=0{,}88$.

2. Lượng mới $250\times0{,}88=220$.

Tự kiểm

Giảm $30$, đúng $12\%$ của $250$.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Lượng ban đầu $200$ tăng $10\%$, sau đó giảm $10\%$ của lượng mới. Tính kết quả cuối.

Gợi ý bài 3

Dùng mức sau tăng làm mốc giảm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Sau tăng $200\times1{,}1=220$.

2. Sau giảm $220\times0{,}9=198$.

Tự kiểm

$1{,}1\times0{,}9=0{,}99$, nên cuối bằng $99\%$ của $200$.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Lượng từ $200$ thành $198$ sau hai lần tăng, giảm ở câu trước. So với ban đầu giảm bao nhiêu phần trăm?

Gợi ý bài 4

Độ giảm cuối so đầu chia mốc đầu $200$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Giảm $200-198=2$.

2. Tỉ lệ giảm $2:200=0{,}01=1\%$. Không cộng $10\%$ với $-10\%$ vì hai lần dùng mốc khác.

Tự kiểm

$198=99\%$ của $200$, nên thiếu $1\%$ so đầu.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Lượng $120$ tăng $15\%$. Tính lượng mới.

Gợi ý bài 5

Hệ số mới $1{,}15$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Phần tăng $120\times0{,}15=18$.

2. Lượng mới $120+18=138$.

Tự kiểm

$138:120=1{,}15$, đúng hệ số.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Lượng $80$ giảm $5\%$. Tính lượng mới.

Gợi ý bài 6

Hệ số còn $0{,}95$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Giảm $80\times0{,}05=4$.

2. Còn $80-4=76$.

Tự kiểm

$80\times0{,}95=76$.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Lượng $100$ tăng $5\%$ rồi giảm $5\%$ theo lượng mới. Tính cuối.

Gợi ý bài 7

Mỗi bước có mốc riêng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Sau tăng $100\times1{,}05=105$.

2. Sau giảm $105\times0{,}95=99{,}75$, nhỏ hơn $100$.

Tự kiểm

Hệ số $1{,}05\times0{,}95=0{,}9975$; không phải $1$.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Sau tăng $25\%$, lượng mới là $90$. Tìm lượng đầu.

Gợi ý bài 8

Chia mức mới cho $1{,}25$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Lượng đầu $90:1{,}25=72$.

2. Kiểm phần tăng $72\times0{,}25=18$, nên mới $72+18=90$.

Tự kiểm

Không giảm $25\%$ của $90$ để tìm ngược.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Lượng $100$ tăng $25\%$ rồi giảm $25\%$ của lượng mới. Tính cuối và phần trăm giảm so đầu.

Gợi ý bài 9

Nhân $1{,}25$ rồi $0{,}75$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Sau tăng $125$; sau giảm $125\times0{,}75=93{,}75$.

2. Toàn quá trình giảm $100-93{,}75=6{,}25$, bằng $6{,}25\%$ mốc đầu.

Tự kiểm

$1-0{,}25^2=0{,}9375$ là hệ số cuối.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Một mô hình hàng còn lại không âm ghi giảm $120\%$ của lượng đầu $100$. Theo công thức còn được bao nhiêu, và có phù hợp ý nghĩa hàng còn không?

Gợi ý bài 10

Kiểm miền tỉ lệ giảm trước khi chấp nhận kết quả.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Công thức số học cho $100(1-1{,}2)=-20$.

2. Giá trị âm không phù hợp lượng hàng còn không âm; tỉ lệ giảm của mô hình ấy phải không vượt $100\%$. Cần xem lại điều kiện hoặc ý nghĩa của “giảm”.

Tự kiểm

Không bỏ dấu âm để ghi còn $20$; phải xử lý dữ kiện không phù hợp.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Lượng đầu $100$ tăng $20\%$ thành $120$. Cần giảm bao nhiêu phần trăm của $120$ để về $100$? Viết chính xác.

Gợi ý bài 11

Giảm $20$ trên mốc $120$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tỉ lệ cần giảm $20:120=\frac16$.

2. Dạng phần trăm $(\frac{100}{6})\%=16\frac23\%$; kiểm $120-120\times\frac16=100$.

Tự kiểm

Không dùng $20\%$ của $120$, vì nó sẽ giảm $24$.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Lượng $A>0$ tăng $10\%$ hai lần liên tiếp, mỗi lần lấy mức ngay trước. So với tăng một lần $20\%$ thì hệ số nào lớn hơn?

Gợi ý bài 12

Nhân hai hệ số $1{,}1$ rồi so với $1{,}2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Hai lần cho hệ số $1{,}1\times1{,}1=1{,}21$. Một lần $20\%$ cho hệ số $1{,}2$.

2. Vì $A>0$, chênh lệch hai lượng cuối là $1{,}21A-1{,}2A=0{,}01A>0$. Hai lần cho mức cuối lớn hơn cách một lần một lượng bằng $1\%$ mốc đầu.

Tự kiểm

Không nhầm chênh hai tỉ lệ phần trăm với $1\%$ của mức sau tăng; ở đây đã nêu mốc đầu $A$.

6. Tự kiểm sau khi học

Với thành phần hỗn hợp, hệ số phần trăm lấy trên khối lượng toàn từng phần; khi gộp phải cộng khối lượng thành phần trước.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Giá trị phần trăm và tìm lượng ban đầu. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.