Kiểm trục đối xứng của đa giác quen thuộc

Trục đối xứng của hình phẳng · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-32-B2

Sau bài này, em có thể:

• Nhận và gọi trục của vuông, chữ nhật không vuông, thoi không vuông và tam giác đều.
• Phân biệt đã tìm hai trục với chỉ có hai trục; đếm riêng hình khác với trục của một hình ghép.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hình nguồn là vuông ABCD; bốn đường đánh dấu gồm hai đường chứa đường chéo và hai đường giữa qua trung điểm các cặp cạnh đối. Chúng là bốn đường khác nhau, đều làm hình chồng khít khi gấp đúng.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Bốn trục của hình vuông

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Vuông ABCD trong nguồn có bốn đường đánh dấu. Kể hai loại đường và số trục.

Bắt đầu từ đâu?

Chia thành đường chéo và đường giữa.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi loại có hai đường khác nhau.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai đường chứa AC,BD là trục. Hai đường qua trung điểm AB,CD và qua trung điểm AD,BC cũng là trục.

2. Tổng $2+2=4$ trục, đều làm hai nửa vuông chồng khít khi gấp lý tưởng.

Tự kiểm

Không kể AC và CA hai lần vì chúng nằm trên cùng một đường.

Ví dụ 2. Chữ nhật không vuông

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Chữ nhật có hai cạnh kề $6$ cm, $4$ cm. Có bao nhiêu trục, có tính đường chéo không?

Bắt đầu từ đâu?

Cạnh kề khác nhau xác nhận không vuông.

Gợi ý để em tự tìm

Giữ hai đường giữa.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $6\ne4$ nên đây là chữ nhật không vuông, có đúng hai đường giữa qua trung điểm các cặp cạnh đối làm trục.

2. Không kể hai đường chéo: gấp theo chéo sẽ đòi hai cạnh kề bằng nhau để đỉnh ngoài đường đổi cho nhau, trái $6\ne4$.

Tự kiểm

Chỉ dùng số hai cho trường hợp không vuông, không cho mọi chữ nhật.

Ví dụ 3. Trục của thoi qua đường chéo

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi không vuông ABCD có hai đường chéo cắt tại O. Vì sao đường chứa AC làm B,D đổi cho nhau; có mấy trục của hình thoi này?

Bắt đầu từ đâu?

BD vuông góc AC và O chia đôi BD.

Gợi ý để em tự tìm

$OB=OD$, O nằm giữa B,D.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gấp qua AC giữ A,C; vì $BD\perp AC$ và $OB=OD$ ở hai phía AC, B tới D. Các cạnh AB,BC tới AD,DC, hai nửa thoi chồng khít.

2. Đường chứa BD cũng là trục với A,C đổi cho nhau. Thoi không vuông có đúng hai trục là hai đường chéo.

Tự kiểm

Không suy hai đường chéo phải bằng nhau để có trục; điều dùng ở đây là vuông góc và chia đôi.

Ví dụ 4. Ba trục của tam giác đều

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Tam giác đều ABC. M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. Kể ba trục theo một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.

Bắt đầu từ đâu?

Mỗi đỉnh ứng một cạnh không chứa đỉnh ấy.

Gợi ý để em tự tìm

A đi với M, B với N, C với P.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các đường chứa AM,BN,CP là ba trục của tam giác đều; gấp theo mỗi đường làm hai đỉnh còn lại đổi cho nhau.

2. Có ba đường khác nhau, không đếm thêm MA vì vẫn cùng AM.

Tự kiểm

Không nối đỉnh với trung điểm một cạnh chứa chính đỉnh ấy rồi gọi là cùng loại trục.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Hình vuông có bốn trục: hai đường chéo và hai đường giữa qua trung điểm các cặp cạnh đối. Chữ nhật không vuông có đúng hai đường giữa, không có đường chéo làm trục. Thoi không vuông có đúng hai đường chéo làm trục. Với đường chéo thoi, đường kia vuông góc và chia đôi tại giao điểm nên hai đầu của nó phản chiếu nhau.

Tam giác đều có ba trục, mỗi đường từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Khi nói đường chéo là trục, hiểu là đường thẳng chứa đường chéo ấy. Các số đếm này theo hình lý tưởng đã xác định loại; một nếp gấp lệch trên giấy thật cần được ghi riêng.

Ví dụ 5. Chữ nhật đặc biệt có thêm trục

Vận dụng

Em thử trước:

Chữ nhật có hai cạnh kề đều $5$ cm. Có luôn chỉ hai trục như mọi chữ nhật không vuông không?

Bắt đầu từ đâu?

Cạnh kề bằng nhau làm hình thành vuông.

Gợi ý để em tự tìm

Không bỏ trường hợp đặc biệt.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chữ nhật có cạnh đối bằng nhau; hai cạnh kề $5$ cm cho cả bốn cạnh $5$ cm, nên là vuông.

2. Vì vậy có bốn trục, gồm cả hai đường chéo; không áp kết quả đúng hai trục của chữ nhật không vuông.

Tự kiểm

Tên chữ nhật vẫn đúng nhưng cần xét điều kiện thêm bằng cạnh.

Ví dụ 6. Thoi có thêm bốn góc vuông

Vận dụng

Em thử trước:

Một hình thoi được cho có bốn góc vuông. Có mấy trục?

Bắt đầu từ đâu?

Thỏa cả cạnh bằng nhau và góc vuông.

Gợi ý để em tự tìm

Đó là hình vuông.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Thoi có bốn cạnh bằng nhau, thêm bốn góc vuông nên là hình vuông.

2. Có bốn trục; hai đường chéo vẫn là trục, thêm hai đường giữa.

Tự kiểm

Không nói mọi thoi luôn chỉ hai khi hình đang xét là trường hợp vuông.

Ví dụ 7. Quay hình mang trục đi cùng

Vận dụng

Em thử trước:

Một hình vuông trên giấy được quay nghiêng. Số trục có đổi vì hai đường giữa không còn dọc/ngang theo tờ giấy không?

Bắt đầu từ đâu?

Quay toàn hình cùng các đường trục.

Gợi ý để em tự tìm

Phép quay không đổi điều kiện gấp khít của mô hình.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các đường chéo và hai đường giữa quay cùng hình; qua mỗi đường mới, hai nửa vẫn phản chiếu nhau.

2. Số trục vẫn bốn, không cần hai trục nằm dọc/ngang màn hình.

Tự kiểm

Đừng giữ nguyên một đường cũ của tờ giấy rồi gọi nó là trục mới nếu hình đã đổi vị trí.

Ví dụ 8. Đi qua giữa vuông vẫn cần đúng đường

Vận dụng

Em thử trước:

Trong vuông ABCD, d đi qua giao điểm hai đường chéo và cắt trong cạnh AB tại R; R không là trung điểm AB và không là A,B. d có là một trong bốn trục không?

Bắt đầu từ đâu?

Đối chiếu bốn đường trục đã xác định.

Gợi ý để em tự tìm

Đường giữa gặp AB ở trung điểm; đường chéo gặp ở đỉnh.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai đường chéo gặp AB tại A hoặc B; đường giữa vuông góc AB gặp ở trung điểm AB. Đường giữa còn lại song song AB nên không gặp AB.

2. R không ở ba vị trí ấy, nên d không trùng một trong bốn trục. Đi qua tâm hình chưa đủ để thành trục.

Tự kiểm

Đã dùng đặc điểm vị trí R và danh sách đủ bốn trục, không chỉ nhìn d hơi nghiêng.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Đã tìm hai không có nghĩa chỉ có hai

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Một hình thoi có hai đường chéo được xác nhận là trục. Bạn kết luận nó chắc không vuông vì “có hai trục”. Dữ kiện đã đủ chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Biết hai đường là trục chưa nói không còn đường khác.

Gợi ý để em tự tìm

Hình vuông cũng có hai đường chéo là trục.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hình thoi không vuông có hai trục chéo, nhưng hình vuông cũng thỏa hai đường chéo làm trục và có thêm hai đường giữa.

2. Vậy cả hai loại đều phù hợp điều đã biết. Chưa đủ kết luận không vuông; cần biết chỉ có đúng hai trục hoặc kiểm đặc điểm khác.

Tự kiểm

Phân biệt hai trục đã chỉ ra với toàn bộ số trục của hình.

Ví dụ 10. Hình ghép không cộng số trục của miếng

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Hai hình vuông cạnh $a>0$ ghép sát cạnh, cùng hàng, phần trong không chồng, tạo chữ nhật $2a$ nhân $a$. Chỉ xét đường bao và mặt hình ghép, không tính nét chia trong. Có cộng $4+4=8$ làm số trục hình ghép không?

Bắt đầu từ đâu?

Hình ghép cần được nhận loại lại.

Gợi ý để em tự tìm

$2a\ne a$ khi $a>0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mỗi miếng vuông riêng có bốn trục, nên nếu đếm theo từng miếng có tám lượt trục.

2. Nhưng hình ghép là chữ nhật không vuông vì $2a\ne a$, chỉ có hai đường giữa làm trục. Không được cộng số trục của các miếng để trả lời toàn hình.

3. Trục của một miếng có thể đưa phần còn lại ra ngoài hình ghép; phải kiểm cả hình thống nhất.

Tự kiểm

Đề đã nói không tính nét chia trong; nếu thêm họa tiết thì còn phải kiểm họa tiết ấy.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Hình vuông có bốn đường được đánh dấu trong hình. Chúng có đều là trục đối xứng không? Kể hai loại đường.

Gợi ý bài 1

Hai đường chéo và hai đường giữa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Có, cả bốn đều là trục của vuông trong mô hình.

2. Hai loại là các đường chứa hai đường chéo và các đường đi qua trung điểm các cặp cạnh đối, mỗi loại hai đường.

Tự kiểm

Đếm bốn đường khác nhau, không đếm hai tên đảo của cùng một đường.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Hình chữ nhật $6$ cm nhân $4$ cm có bao nhiêu trục đối xứng? Có tính hai đường chéo không?

Gợi ý bài 2

Đây là chữ nhật không vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Có hai trục qua trung điểm các cặp cạnh đối.

2. Không tính đường chéo vì $6\ne4$; phản chiếu qua chéo không làm hai đỉnh ngoài đường chồng nhau.

Tự kiểm

Không áp số hai cho chữ nhật có cạnh kề bằng nhau.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Hình thoi không vuông có hai đường chéo vuông góc. Các đường đó có là trục đối xứng không?

Gợi ý bài 3

Đường chéo còn chia đôi nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Có. Gọi O là giao điểm, mỗi đường chéo vuông góc và chia đôi đường kia, nên hai đầu đường kia đổi cho nhau khi gấp.

2. Các cạnh và hai nửa thoi tương ứng chồng khít; hai đường chéo là hai trục của thoi không vuông.

Tự kiểm

Vuông góc một mình ở một tứ giác bất kì chưa phải mọi điều kiện này; đã dùng giả thiết hình thoi.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Tam giác đều có thể gấp theo đường từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Có bao nhiêu trục loại đó?

Gợi ý bài 4

Có ba đỉnh, mỗi đỉnh một đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Mỗi đỉnh ứng một đường tới trung điểm cạnh đối diện, cho ba đường khác nhau.

2. Vậy có ba trục; có thể kiểm bằng giấy sau thực hiện, chưa gấp thì chỉ nêu mô hình/kế hoạch.

Tự kiểm

Không cần tự suy số đo góc để đếm ba trục này.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Vuông cạnh $10$ cm được phóng to đều thành cạnh $20$ cm. Số trục có gấp đôi không?

Gợi ý bài 5

Đổi kích thước không đổi loại vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Cả hai đều là hình vuông, mỗi hình có bốn trục.

2. Các vị trí trục đi theo hình lớn lên, nhưng số trục không thành tám.

Tự kiểm

Đếm đường khác với đo độ dài.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Hình thoi có một góc nhọn không vuông. Có mấy trục, thuộc loại đường nào?

Gợi ý bài 6

Góc không vuông loại trường hợp vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Đây là thoi không vuông nên có đúng hai trục.

2. Chúng là hai đường chứa đường chéo, không tự thêm hai đường giữa như vuông.

Tự kiểm

Giữ giả thiết loại hình trước đếm.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Tam giác đều ABC, M,N,P lần lượt giữa BC,CA,AB và chia mỗi cạnh thành hai đoạn bằng nhau. Kể các trục bằng tên đường.

Gợi ý bài 7

A đi với trung điểm BC, không phải AB.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Ba trục là đường chứa AM,BN,CP.

2. Mỗi đường ứng với một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện; đảo MA không thêm trục.

Tự kiểm

Đã nêu đủ điều kiện trung điểm, không chỉ một điểm nằm giữa cạnh.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Chữ nhật ABCD theo vòng, AB $8$ cm, BC $5$ cm. Đường qua trung điểm AB,CD làm các cặp đỉnh nào đổi cho nhau? Đường giữa còn lại thì sao?

Gợi ý bài 8

Mỗi đường giữa ghép hai đỉnh ở hai phía của nó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Đường qua trung điểm AB,CD làm A↔B và D↔C.

2. Đường qua trung điểm AD,BC làm A↔D và B↔C. Đây là hai trục của chữ nhật không vuông.

Tự kiểm

Không dùng hai cặp đối diện A↔C như một trục chéo.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Bạn đếm đường chéo AC và CA là hai trục khác nhau của một vuông. Sửa.

Gợi ý bài 9

Hai tên cùng một đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. AC và CA xác định cùng đường thẳng, nên chỉ một trục.

2. Vuông có hai trục chéo khác nhau là AC,BD, cùng hai đường giữa, tổng bốn chứ không cộng tên đảo.

Tự kiểm

Đếm đối tượng hình học, không đếm số chuỗi kí tự.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Một hình thoi được xác định có đúng hai trục đối xứng và không còn trục nào khác. Có thể đó là vuông không?

Gợi ý bài 10

Vuông có bốn trục.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Không: nếu là vuông thì phải có bốn trục, trái dữ kiện đúng hai.

2. Với giả thiết hình thoi, trường hợp phù hợp là thoi không vuông.

Tự kiểm

Kết luận dùng từ đúng hai, khác với chỉ mới chỉ ra hai trục.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Xét riêng bốn hình không ghép: hai chữ nhật không vuông, một vuông, một tam giác đều. Đếm tổng các trục theo từng hình, một trục của hình này không trừ vì trùng hướng hình khác.

Gợi ý bài 11

Cộng các lượt đếm riêng, không gọi là trục của một hình chung.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Hai chữ nhật cho $2+2=4$, vuông cho $4$, tam giác đều cho $3$ trục.

2. Tổng theo từng hình $4+4+3=11$ lượt trục. Đây không phải phép tìm trục của một hình ghép bốn miếng.

Tự kiểm

Đã nêu đơn vị đếm và phạm vi từng hình trước cộng.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Có ba hình riêng, mỗi hình thuộc đúng một trong ba loại để đếm: chữ nhật không vuông, vuông, tam giác đều. Tổng số trục đếm riêng là $9$. Tìm mọi kiểu số lượng ba loại, không xét đổi thứ tự các hình.

Gợi ý bài 12

Gọi số hình theo ba loại là r,s,t; vuông có bốn còn chữ nhật không vuông có hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Gọi $r$, $s$, $t$ lần lượt là số chữ nhật không vuông, hình vuông và tam giác đều; đây là các số nguyên không âm. Có $r+s+t=3$ và $2r+4s+3t=9$. Lấy ba lần phương trình đầu trừ khỏi phương trình sau được $s-r=0$, nên $s=r$.

2. Vì $2r+t=3$ và các số nguyên không âm, chỉ có $r=s=0,t=3$ hoặc $r=s=1,t=1$.

3. Hai kiểu là ba tam giác đều; hoặc mỗi loại một hình. Kiểm số trục $3+3+3=9$ và $2+4+3=9$.

Tự kiểm

Không tính hình vuông đồng thời vào loại chữ nhật không vuông; ba loại ở câu này đã rời nhau.

6. Tự kiểm sau khi học

Nếu thêm chấm, màu hoặc họa tiết, cần kiểm cả phần thêm; trục của đường bao có thể không còn là trục của toàn hình trang trí.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trục đối xứng của hình phẳng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.