Ước và bội của số tự nhiên lớp 6

Ước, bội và số nguyên tố · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-07-B1

Sau bài này, em có thể:

• Liệt kê đủ ước của một số dương và bội trong một miền, tránh đếm lặp.
• Phân biệt chiều ước/bội và vai trò của 0; phối hợp nhiều điều kiện với lý do không bỏ sót.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Với $12$ thẻ, mỗi nhóm $3$ thẻ thì có $4$ nhóm vì $12=3\times4$. Số $3$ và số $4$ đều chia vừa đủ $12$, nên đều là ước. Cũng đẳng thức ấy nói $12$ là một bội của $3$ và của $4$.

Trong bài, xét các ước của số tự nhiên dương. Ước phải khác $0$ vì làm số chia; bội được tạo bằng nhân với hệ số tự nhiên, trong đó hệ số có thể bằng $0$.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Ghép cặp để tìm ước

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm mọi ước tự nhiên của $12$. Nếu tìm được $3$ thì số nào đi cùng nó trong một tích bằng $12$?

Bắt đầu từ đâu?

Mỗi tích bằng $12$ cho hai ước; gom các cặp và bỏ lặp.

Gợi ý để em tự tìm

$12=1\times12=2\times6=3\times4$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các cặp là $1\times12$, $2\times6$, $3\times4$, nên nhận các ước $1,2,3,4,6,12$.

2. Đã đủ: trong mỗi cặp phải có một số không quá $3$, vì nếu cả hai ít nhất $4$ thì tích ít nhất $16>12$. Ba số $1,2,3$ đều đã xét.

Tự kiểm

$12$ chia hết cho từng số trong danh sách; không ghi lại cùng một ước hai lần khi đảo cặp.

Ví dụ 2. Bội bắt đầu từ hệ số 0

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết sáu bội tự nhiên đầu tiên của $4$, bắt đầu từ $0$. Vì sao có sáu số dù hệ số cuối chỉ bằng $5$?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng các hệ số liên tiếp từ $0$ đến $5$.

Gợi ý để em tự tìm

Các bội là $4\times0,4\times1,\ldots,4\times5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhân $4$ với $0,1,2,3,4,5$, được $0,4,8,12,16,20$.

2. Có sáu hệ số vì nhận cả $0$; mỗi bội sau hơn bội trước $4$.

Tự kiểm

Không bắt đầu từ $4$ khi đề yêu cầu tính cả bội $0$.

Ví dụ 3. Đọc đúng chiều ước và bội

Cốt lõi

Em thử trước:

Từ $24=8\times3$, nói đúng quan hệ giữa $8$ và $24$. $24$ có là ước của $8$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Số chia khác $0$ là ước; số được tạo bằng nhân là bội.

Gợi ý để em tự tìm

Kiểm $24:8=3$ rồi đọc đúng vai trò số bị chia và số chia, không đảo phép chia.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $24:8=3$ nên $8$ là ước của $24$ và $24$ là bội của $8$.

2. $0<8<24$, nên $8$ không chia hết cho $24$. Do đó $24$ không là ước của $8$.

Tự kiểm

Tích $24=8\times3$ không làm cả hai số thành ước của nhau.

Ví dụ 4. Số 0 ở hai vai trò khác nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $0$ có là bội tự nhiên của $9$ không và có là ước tự nhiên của $9$ không.

Bắt đầu từ đâu?

Bội dùng hệ số có thể bằng $0$, còn ước đóng vai trò số chia nên phải khác $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$0=9\times0$; không có phép chia $9:0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $0=9\times0$ nên $0$ là bội tự nhiên của $9$.

2. $0$ không là ước của $9$, vì định nghĩa ước yêu cầu số chia khác $0$; phép $9:0$ không xác định.

Tự kiểm

Không dùng việc $0$ là bội để cho phép $0$ làm số chia.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a>0$ tự nhiên, số tự nhiên $d\ne0$ là ước của $a$ khi $a$ chia hết cho $d$. Mỗi cặp $a=dq$ cho hai ước $d,q$; khi chúng bằng nhau chỉ ghi một giá trị. Có thể liệt kê theo cặp nhưng cần giải thích đã xét đủ.

Bội tự nhiên của $a$ là số dạng $ak$ với $k$ tự nhiên, gồm cả $0$. Dùng các hệ số liên tiếp để tìm bội trong một khoảng, rồi kiểm hai mốc. Cụm “bội dương” thêm điều kiện khác $0$ so với toàn bộ bội tự nhiên.

Ví dụ 5. Trường hợp số 1

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê ước tự nhiên của $1$. Có được ghi hai lần số $1$ vì tích $1\times1$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Danh sách ước là danh sách các giá trị khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Số chia dương của $1$ chỉ có thể là $1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $1=1\times1$, nên $1$ là một ước.

2. Mọi số tự nhiên khác $0$ lớn hơn $1$ đều lớn hơn số bị chia nên không chia hết $1$. Vậy tập ước chỉ có $1$; không đếm lặp.

Tự kiểm

Hai vị trí thừa số đều ghi $1$ vẫn chỉ là một giá trị ước.

Ví dụ 6. Tìm đủ các cặp tích của 27

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm mọi ước tự nhiên của $27$ bằng cặp tích và giải thích không còn cặp nào khác.

Bắt đầu từ đâu?

Chỉ cần thử một thừa số nhỏ trong mỗi cặp.

Gợi ý để em tự tìm

Ít nhất một thừa số không quá $5$, vì $6\times6>27$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Thử $1,2,3,4,5$: $27=1\times27=3\times9$; còn $27=2\times13+1=4\times6+3=5\times5+2$, nên $2,4,5$ không là ước.

2. Các ước là $1,3,9,27$. Không bỏ sót cặp vì nếu cả hai thừa số ít nhất $6$ thì tích ít nhất $36>27$.

Tự kiểm

Đã kiểm cả tính chia hết của số nhận và giới hạn bảo đảm việc liệt kê đủ.

Ví dụ 7. Bội trong một khoảng

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm mọi bội tự nhiên của $6$ từ $10$ đến $30$, nhận hai mốc.

Bắt đầu từ đâu?

Bắt đầu ở tích đầu tiên không dưới $10$, dừng sau khi vượt $30$.

Gợi ý để em tự tìm

$6\times2=12$ và $6\times5=30$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các tích cần nhận $6\times2=12$, $6\times3=18$, $6\times4=24$, $6\times5=30$.

2. Tích trước $6\times1=6<10$; tích kế $6\times6=36>30$. Vậy đủ $12,18,24,30$.

Tự kiểm

Mốc $30$ được nhận và là bội; mốc $10$ được xét nhưng không chia hết cho $6$.

Ví dụ 8. Hai bộ lọc trên cùng danh sách

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong $0;3;5;15;30;60$, số nào là ước của $30$, số nào là bội của $30$? Số nào thuộc cả hai danh sách?

Bắt đầu từ đâu?

Lập riêng hai danh sách vì chiều chia hết khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Ước phải khác $0$ và không lớn hơn $30$; bội có dạng $30k$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ta có $30=3\times10=5\times6=15\times2=30\times1$, nên trong danh sách các ước là $3,5,15,30$.

2. Các bội của $30$ là $0,30,60$, tương ứng $30\times0$, $30\times1$, $30\times2$.

3. Chỉ $30$ thuộc cả hai danh sách; $0$ bị loại khỏi ước và $60$ lớn hơn $30$ nên không là ước.

Tự kiểm

Đã giữ $0$ trong danh sách bội và không đưa các ước nhỏ vào danh sách bội tùy ý.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Vừa là ước vừa là bội trong miền giới hạn

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm mọi số tự nhiên $n$ từ $1$ đến $30$ sao cho $n$ là bội của $6$ và là ước của $36$.

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê bội trong miền trước, rồi kiểm từng số có chia hết $36$ hay không.

Gợi ý để em tự tìm

Ứng viên là $6,12,18,24,30$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các bội của $6$ trong miền $1$ đến $30$ là $6,12,18,24,30$.

2. $36=6\times6=12\times3=18\times2$, nên nhận $6,12,18$. Còn $36=24\times1+12=30\times1+6$ nên loại $24,30$.

3. Vậy đủ $n=6,12,18$; số $36$ dù thỏa hai quan hệ nhưng vượt giới hạn nên không nhận.

Tự kiểm

Đã kiểm ba điều kiện: miền, quan hệ bội và quan hệ ước; không chỉ một trong ba.

Ví dụ 10. Không có bội tự nhiên lớn nhất

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn đã viết một bội tự nhiên $M$ của $5$ và nói đó là bội lớn nhất. Hãy từ chính $M$ tạo một bội lớn hơn để phản hồi cho mọi lựa chọn của bạn.

Bắt đầu từ đâu?

Dùng dạng $M=5k$ với $k$ tự nhiên rồi tăng hệ số một đơn vị.

Gợi ý để em tự tìm

$M+5=5(k+1)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vì $M$ là bội của $5$, có số tự nhiên $k$ sao cho $M=5k$. Khi đó $M+5=5(k+1)$ cũng là bội.

2. Vì $5>0$, ta có $M+5>M$. Mọi bội được đề nghị đều có một bội khác lớn hơn, nên không có bội tự nhiên lớn nhất.

Tự kiểm

Lập luận dùng một bội bất kỳ, không chỉ thử một số lớn cụ thể; khác với danh sách bội bị chặn trong một khoảng.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Liệt kê các ước tự nhiên của $18$.

Gợi ý bài 1

Tìm các cặp có tích $18$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $18=1\times18=2\times9=3\times6$. Nhận các ước $1,2,3,6,9,18$.

2. Đủ các cặp: một thừa số phải không quá $4$ vì $5\times5>18$; $1,2,3$ đã xét còn $18=4\times4+2$ nên $4$ không là ước.

Tự kiểm

Không bỏ ước $1$ và chính số $18$.

Bài 2

Cốt lõi

Viết năm bội tự nhiên đầu tiên của $7$, bắt đầu từ $0$.

Gợi ý bài 2

Nhân $7$ với năm hệ số $0,1,2,3,4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $7\times0=0$, $7\times1=7$, $7\times2=14$, $7\times3=21$, $7\times4=28$.

2. Danh sách đủ năm số là $0,7,14,21,28$.

Tự kiểm

Không đưa thêm $35$ rồi vô tình có sáu số.

Bài 3

Cốt lõi

Trong $3;4;6;8;12$, số nào là ước của $24$?

Gợi ý bài 3

Kiểm phép chia $24$ cho từng ứng viên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $24=3\times8=4\times6=6\times4=8\times3=12\times2$.

2. Vậy cả năm số $3,4,6,8,12$ đều là ước của $24$.

Tự kiểm

Mọi số chia đều khác $0$, các thương đều tự nhiên và không dư.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn bỏ $0$ khỏi tập hợp bội tự nhiên của $5$ và bảo bội nhỏ nhất là $5$. Theo quy ước trong bài, sửa thế nào?

Gợi ý bài 4

Bội dùng hệ số tự nhiên, có cả hệ số $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $0=5\times0$ nên $0$ là bội tự nhiên của $5$, đồng thời là bội tự nhiên nhỏ nhất vì không có số tự nhiên âm.

2. Bội dương nhỏ nhất mới là $5=5\times1$. Cần phân biệt thêm điều kiện dương với toàn bộ bội tự nhiên.

Tự kiểm

Không đổi quy ước loại $0$ khi chưa có yêu cầu bội dương.

Bài 5

Cốt lõi

Liệt kê mọi ước tự nhiên của $16$.

Gợi ý bài 5

Cặp bằng nhau chỉ đóng góp một giá trị ước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $16=1\times16=2\times8=4\times4$; $3$ không là ước vì $16=3\times5+1$.

2. Mọi cặp có một thừa số không quá $4$, vì $5\times5>16$. Vậy đủ các ước $1,2,4,8,16$, không ghi hai lần $4$.

Tự kiểm

Đã có ước ứng với cặp vuông $4\times4$ nhưng chỉ đếm giá trị $4$ một lần.

Bài 6

Cốt lõi

Viết năm bội tự nhiên đầu tiên của $9$, bắt đầu từ $0$.

Gợi ý bài 6

Dùng hệ số $0$ đến $4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Các tích $9\times0,9\times1,9\times2,9\times3,9\times4$ là $0,9,18,27,36$.

2. Có đúng năm số, mỗi số sau tăng $9$ so với số trước.

Tự kiểm

Giữ cả bội $0$ theo yêu cầu.

Bài 7

Cốt lõi

Trong $2;3;5;7$, số nào là ước của $21$? Kiểm cả các số bị loại.

Gợi ý bài 7

Nhân hoặc viết phép chia có dư cho từng ứng viên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $21=3\times7=7\times3$ nên nhận $3,7$.

2. $21=2\times10+1=5\times4+1$ nên loại $2,5$.

Tự kiểm

Đã xét đủ cả bốn ứng viên; không chỉ liệt kê số nhận.

Bài 8

Cốt lõi

Tìm mọi bội tự nhiên của $8$ từ $20$ đến $45$, nhận hai mốc.

Gợi ý bài 8

Tìm hai tích đầu và cuối nằm trong khoảng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $8\times3=24$, $8\times4=32$, $8\times5=40$ nằm trong khoảng.

2. $8\times2=16<20$ và $8\times6=48>45$, nên đủ $24,32,40$.

Tự kiểm

Mỗi số nhận có dạng $8k$; khoảng không chứa thêm một bội nào khác.

Bài 9

Cốt lõi

Liệt kê ước tự nhiên của $1$ và mô tả các bội tự nhiên của $1$. Hai danh sách có giống nhau không?

Gợi ý bài 9

Ước của số dương bị giới hạn; bội nhân với mọi hệ số tự nhiên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Ước của $1$ chỉ là $1$, vì chỉ $1\times1=1$ với thừa số tự nhiên dương.

2. Các bội là $1k=k$ với mọi $k$ tự nhiên, gồm $0,1,2,3,\ldots$. Hai danh sách không giống nhau.

Tự kiểm

$0$ và $2$ là bội của $1$ nhưng không là ước của $1$.

Bài 10

Cốt lõi

Kiểm hai câu “$10$ là ước của $60$” và “$60$ là bội của $10$”. Vì sao cùng một phép nhân xác nhận được cả hai?

Gợi ý bài 10

Đọc hai vai trò của đẳng thức $60=10\times6$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $60=10\times6$ nên $60$ chia hết cho $10$, xác nhận $10$ là ước của $60$.

2. Cũng đẳng thức đó cho $60$ được tạo bằng nhân $10$ với số tự nhiên $6$, nên là bội của $10$.

Tự kiểm

Hai cách diễn đạt cùng quan hệ có thứ tự; không đảo thành $60$ là ước của $10$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi cặp số tự nhiên $(d;q)$ sao cho $28=dq$, đồng thời $d>3$ và $q>3$. Không coi đổi thứ tự là cùng cặp.

Gợi ý bài 11

Liệt kê các cặp tích của $28$ rồi kiểm cả hai thừa số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Các cặp tích không kể thứ tự của $28$ là $(1;28),(2;14),(4;7)$. Đã đủ vì một thừa số không quá $5$, do $6\times6>28$; còn $28=3\times9+1=5\times5+3$ nên $3,5$ không là ước.

2. Chỉ cặp $4,7$ có cả hai thừa số lớn hơn $3$. Vì thứ tự được phân biệt, nhận $(d;q)=(4;7)$ và $(7;4)$.

Tự kiểm

Không nhận $(2;14)$ chỉ vì một thừa số lớn; phải kiểm cả hai điều kiện.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Trong các số tự nhiên từ $0$ đến $18$, tìm mọi số là bội của $3$ nhưng không là ước của $18$.

Gợi ý bài 12

Lập danh sách bội trong miền rồi loại các ước; nhớ vai trò của $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Các bội của $3$ trong miền là $0,3,6,9,12,15,18$. Các số $3,6,9,18$ là ước của $18$ nên loại.

2. Nhận $0,12,15$. Số $0$ không là ước vì không được làm số chia; $18=12\times1+6=15\times1+3$ nên $12,15$ cũng không là ước.

Tự kiểm

Đã kiểm cả quan hệ bội lẫn phủ định quan hệ ước, không loại nhầm bội $0$.

6. Tự kiểm sau khi học

Từ số lượng ước, phân biệt số nguyên tố và hợp số; riêng 0 và 1 phải được xét theo đúng định nghĩa.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Ước, bội và số nguyên tố. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.