Tâm đối xứng lớp 6: nhận biết qua phép quay nửa vòng

Tâm đối xứng và vai trò của đối xứng · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-33-B1

Sau bài này, em có thể:

• Mô tả ảnh điểm qua nửa vòng.
• Kiểm toàn hình để nhận tâm.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hãy tưởng tượng giữ một ghim ở O rồi xoay miếng giấy đúng nửa vòng. Một chấm bên trái O sẽ sang bên phải, vẫn cách O như trước. Nếu A khác O, ảnh A′ nằm trên đường AO ở phía kia O và $OA=OA'$. Điểm ngay O đứng yên. Với một hình, cần hỏi: chỉ một chấm trở lại vị trí của chấm khác, hay toàn hình thật sự trùng? Trong hình nguồn, ABCD là hình bình hành và O được gọi là giao hai đường chéo.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Một điểm sang phía đối diện

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Trên một đường thẳng, A bên trái O cách O ba vạch bằng nhau. Quay nửa vòng quanh O thì A tới đâu?

Bắt đầu từ đâu?

Theo dõi riêng một điểm trước xét cả hình.

Gợi ý để em tự tìm

Nửa vòng đưa hướng trái thành hướng phải và giữ khoảng cách.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ảnh A′ ở bên phải O, cách O ba vạch.

2. O nằm giữa A và A′; $OA=OA'=3$ đơn vị vạch.

Tự kiểm

Không đặt A′ cùng phía A, cũng không đổi ba vạch thành sáu vạch từ O.

Ví dụ 2. Điểm ở tâm đi đâu?

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một hình có điểm O được chọn làm tâm quay. Quay nửa vòng thì chính O có đổi vị trí không?

Bắt đầu từ đâu?

Điểm quay quanh chính nó có khoảng cách tới tâm bằng không.

Gợi ý để em tự tìm

Xét khoảng cách từ O tới chính O.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Điểm O vẫn ở O sau quay; chỉ điểm khác O đi sang phía đối diện.

2. Khi xét toàn hình phải giữ O, không tự bỏ điểm ở tâm nếu hình có điểm ấy.

Tự kiểm

Điểm ở tâm không cần ghép với một điểm khác; đây là ngoại lệ cần nhớ.

Ví dụ 3. Kiểm khoảng cách

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

A, O, A′ thẳng hàng theo thứ tự đó, $OA=2$ cm, $OA'=3$ cm. A′ có là ảnh A qua nửa vòng quanh O không?

Bắt đầu từ đâu?

Đúng phía chưa đủ, phải giữ độ xa tâm.

Gợi ý để em tự tìm

So hai khoảng cách từ O.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vị trí hai phía đúng nhưng $2\ne3$, nên không phải ảnh qua phép quay ấy.

2. Ảnh đúng phải ở phía A′ nhưng cách O hai cm, không phải ba cm.

Tự kiểm

Không chỉ kiểm O nằm giữa mà quên hai khoảng cách bằng nhau.

Ví dụ 4. Cả hình trùng lại

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Khung chữ nhật không trang trí ABCD có O ở giao hai đường chéo. Nếu quay nửa vòng quanh O, cần kiểm gì ngoài A tới C?

Bắt đầu từ đâu?

Theo dõi thêm đỉnh và cạnh để xét cả khung.

Gợi ý để em tự tìm

B phải tới D, các cạnh đổi thành cạnh đối diện.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai đường chéo chữ nhật chia đôi tại O nên A đổi C, B đổi D.

2. AB đổi CD, BC đổi DA; toàn khung trùng lại, O là tâm đối xứng.

Tự kiểm

Một cặp đỉnh riêng chưa đại diện cho mọi chi tiết của hình.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

O là tâm đối xứng khi quay toàn hình nửa vòng quanh O làm hình trùng lại. Với điểm A khác O, ảnh A′ ở phía đối diện qua O, $OA=OA'$ và O nằm giữa hai điểm. Nói O là trung điểm AA′ nghĩa là vừa nằm giữa vừa cách đều. Kiểm cả đường viền và các chi tiết được tính; một cặp điểm riêng chưa đủ.

Ví dụ 5. Ảnh rồi ảnh lần nữa

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

A khác O có ảnh A′ sau nửa vòng quanh O. Quay tiếp nửa vòng cùng tâm thì A′ tới đâu?

Bắt đầu từ đâu?

Hai nửa vòng hợp thành một vòng.

Gợi ý để em tự tìm

Theo vị trí đối nhau và cùng khoảng cách.

Lời giải và cách tự kiểm

1. A′ đang đối diện A qua O; nửa vòng tiếp đưa nó về phía A cùng khoảng cách.

2. Ảnh lần hai chính là A; mọi điểm trở lại vị trí đầu sau một vòng.

Tự kiểm

Không coi mỗi lần quay là dời thêm một đoạn thẳng theo cùng hướng.

Ví dụ 6. Một dấu màu phá đối xứng

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Khung vuông có tâm O nhưng chỉ thêm một chấm đỏ ở góc A. Cả hình có tâm O không, nếu màu được tính là chi tiết?

Bắt đầu từ đâu?

Khung và phần trang trí đều thuộc hình.

Gợi ý để em tự tìm

Theo chấm đỏ sau nửa vòng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Khung trùng, nhưng chấm đỏ ở A chuyển tới góc đối diện C chưa có chấm.

2. Cả hình không trùng, nên O không là tâm của họa tiết đầy đủ.

Tự kiểm

Không dùng đối xứng của đường viền để bỏ qua dấu màu.

Ví dụ 7. Đoạn qua tâm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

O nằm giữa A và B, $OA=OB=4$ cm. Đoạn AB có tâm đối xứng O không?

Bắt đầu từ đâu?

Xét các điểm trên đoạn, không chỉ hai đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Quay đổi A và B, đồng thời đổi các phần hai phía O.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai đầu đổi chỗ; mỗi điểm trên đoạn cách O bao nhiêu có điểm đối diện cùng khoảng cách trên đoạn.

2. Toàn đoạn trùng lại, O là tâm; độ dài $AB=4+4=8$ cm.

Tự kiểm

O là trung điểm tức nằm giữa và cách đều hai đầu; tên gọi được giải thích bằng hai điều kiện đó.

Ví dụ 8. Chọn tâm sai

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Đoạn AB dài sáu cm, chọn đầu A làm tâm quay nửa vòng. Đoạn có trùng lại không?

Bắt đầu từ đâu?

Đầu A đứng yên, nhưng B phải sang phía khác.

Gợi ý để em tự tìm

So đoạn ảnh với đoạn ban đầu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. B sang phía đối diện tia AB và vẫn cách A sáu cm.

2. Đoạn ảnh chỉ chung A với đoạn cũ, nên không trùng; tâm đúng là điểm giữa cách mỗi đầu ba cm.

Tự kiểm

Có một điểm đứng yên không chứng minh toàn hình bất biến.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Điểm còn thiếu của mô hình

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Một họa tiết chỉ gồm ba chấm phân biệt A, B, C đều khác O. A và B đổi chỗ quanh O; ảnh của C chưa có. Muốn giữ O làm tâm cần thêm gì?

Bắt đầu từ đâu?

Ghép phần chưa có ảnh thành cặp đối diện.

Gợi ý để em tự tìm

Ảnh C′ của C khác C vì C khác O.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Thêm chấm C′ ở phía đối diện C qua O, cùng khoảng cách và cùng màu/kích thước.

2. A/B đổi chỗ, C/C′ đổi chỗ nên bốn chấm đã tạo hình có tâm O.

Tự kiểm

Chỉ thêm một chấm tùy nơi không đủ; phải đúng ảnh của C.

Ví dụ 10. Số chấm lẻ vẫn có thể có tâm?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn nói hình có số chấm lẻ thì không bao giờ có tâm. Dùng ba chấm A, O, B thẳng hàng với O giữa và $OA=OB>0$ để kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Điểm nằm ngay tâm được giữ nguyên, không cần ghép đôi.

Gợi ý để em tự tìm

Theo dõi cả ba chấm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. A đổi B, O đứng yên; ba chấm vẫn trùng sau nửa vòng quanh O.

2. Mệnh đề luôn không có tâm là sai; hình có số chấm lẻ vẫn có thể có một chấm ở tâm.

Tự kiểm

Phản ví dụ giữ đủ ba chấm, không bỏ O khi đếm.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Với hình bình hành ABCD trong hình, gọi O là giao hai đường chéo. Khi quay nửa vòng quanh O, A tới đỉnh nào, B tới đỉnh nào? Vì sao O là tâm đối xứng?

Gợi ý bài 1

Đặt O ở đúng giao hai đường chéo và theo dõi cả đỉnh lẫn cạnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Trong hình bình hành, hai đường chéo chia đôi nhau tại O; A tới C, B tới D sau nửa vòng.

2. AB tới CD và BC tới DA nên toàn hình trùng lại, O là tâm đối xứng.

Tự kiểm

Không suy O từ vị trí nhìn ở giữa ảnh; dùng giả thiết hình bình hành và giao chéo.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Nếu O là tâm đối xứng và A khác O, ảnh A′ có thể nằm cùng phía A trên đường thẳng AO không?

Gợi ý bài 2

Ảnh của điểm khác tâm phải ở phía đối diện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Không thể cùng phía: nửa vòng đổi hướng OA thành hướng đối diện.

2. A và A′ ở hai phía O và $OA=OA'$; O nằm giữa chúng.

Tự kiểm

Nếu $A=O$ thì điểm đứng yên, nhưng đề đã loại trường hợp đó.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Bạn nói “chỉ cần một cặp đỉnh đổi chỗ thì đã có tâm đối xứng”. Điều kiện còn thiếu là gì?

Gợi ý bài 3

Kiểm toàn bộ hình thay vì chỉ một cặp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Cần mọi phần của hình trùng hình cũ sau nửa vòng, kể cả cạnh và trang trí được tính.

2. Một cặp đúng nhưng có chấm màu không có chấm đối diện thì chưa có tâm.

Tự kiểm

Có thể bác bằng một chi tiết không trùng, không cần kiểm hết sau khi đã có phản ví dụ.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Một tâm đối xứng có phải là một đường thẳng để gấp hình không?

Gợi ý bài 4

Phân biệt điểm dùng để quay và đường dùng để gấp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Tâm đối xứng là một điểm O dùng cho quay nửa vòng.

2. Trục đối xứng là một đường thẳng dùng phản chiếu/gấp; không gọi một đường là tâm.

Tự kiểm

Tên gọi phải kèm đúng thao tác kiểm.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

P bên phải O năm vạch bằng nhau trên một đường thẳng. Mô tả ảnh P′ khi quay nửa vòng.

Gợi ý bài 5

Đổi phía nhưng giữ khoảng cách.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. P′ ở bên trái O và cách O năm vạch.

2. O nằm giữa P và P′; hai khoảng cách bằng nhau.

Tự kiểm

Đơn vị là vạch đã quy định, chưa tự đổi thành cm.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

M nằm trên đường thẳng AO cùng phía A so O, $OM=OA>0$. Có gọi M là ảnh A qua nửa vòng không?

Gợi ý bài 6

Ảnh điểm khác tâm phải ở phía đối diện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. M cùng phía nên không thỏa vị trí ảnh dù khoảng cách bằng.

2. Ảnh A′ cần ở phía kia O và $OA'=OA$.

Tự kiểm

Hai điều kiện cùng cần, không chọn một trong hai.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Họa tiết chỉ có hai chấm khác nhau P, Q và O ở giữa với $OP=OQ$. Kiểm tâm O.

Gợi ý bài 7

Xét cả hai điểm của hình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Nửa vòng đổi P thành Q và Q thành P.

2. Hình hai chấm trùng lại nên O là tâm.

Tự kiểm

Nếu chấm có màu khác nhau và màu được tính thì cần kiểm lại, kết luận đây cho hai chấm giống nhau.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Đường viền hình chữ nhật quay trùng nhưng một chữ viết ở góc không trùng. Có tâm cho cả hình tại giao chéo không?

Gợi ý bài 8

Xét phần chữ cũng thuộc hình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Phần khung trùng chưa đủ; chữ lệch sau quay.

2. Giao chéo không là tâm của toàn họa tiết đã mô tả.

Tự kiểm

Phải nói rõ đang xét khung riêng hay hình đầy đủ.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

O ở giữa A,A′; $OA=3{,}5$ cm và $OA'=3{,}5$ cm. Tính AA′ và giải thích quan hệ quay.

Gợi ý bài 9

Hai phần đối nhau qua O.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $AA'=3{,}5+3{,}5=7$ cm.

2. A và A′ là ảnh nhau qua nửa vòng vì khác phía và cùng độ xa O.

Tự kiểm

Đơn vị cm và vị trí O ở giữa cần được giữ khi cộng.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Một hình đã quay nửa vòng quanh O và trùng. Nếu quay nửa vòng theo chiều ngược lại có trùng không?

Gợi ý bài 10

Nửa vòng hai chiều đưa mỗi hướng tới cùng hướng đối diện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Cả hai chiều quay $180^\circ$ đều đưa mỗi điểm sang vị trí đối diện qua O cùng khoảng cách.

2. Ảnh hình giống nhau nên vẫn trùng.

Tự kiểm

Kết luận cho nửa vòng, không tự áp mọi góc quay khác.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Họa tiết có bốn chấm giống nhau A,B,C,D. O là trung điểm của AB và CD: O nằm giữa A,B và giữa C,D, có $OA=OB$, $OC=OD$. Chứng minh tâm và kiểm điều kiện còn thiếu nếu chỉ biết $OA=OB$.

Gợi ý bài 11

Dùng vị trí giữa cùng với bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. O giữa A/B và cách đều nên A đổi B; tương tự C đổi D. Cả bốn chấm trùng sau quay nên O là tâm.

2. Riêng $OA=OB$ chưa đủ nếu A,B không ở hai phía trên cùng đường thẳng; cần điều kiện vị trí.

Tự kiểm

Trung điểm nghĩa là nằm giữa và cách đều hai đầu; chỉ cách đều chưa đủ vị trí đối nhau qua tâm.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Chỉ có năm chấm giống nhau, trong đó O đứng riêng và bốn chấm chia hai cặp đối nhau qua O. Nếu xóa O thì hình còn tâm O không? Giải thích.

Gợi ý bài 12

Kiểm các điểm còn lại, tâm không nhất thiết là chấm của hình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Hai cặp bốn chấm vẫn đổi chỗ sau nửa vòng.

2. Hình còn tâm O dù bản thân O không được tô thành chấm nữa.

Tự kiểm

Tâm là điểm dùng cho phép quay, không bắt buộc là một nét hoặc phần tô của hình.

6. Tự kiểm sau khi học

Tự chỉ ảnh của một điểm khác tâm và kiểm một chi tiết dễ bị bỏ; chỉ nhận tâm khi toàn hình trùng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tâm đối xứng và vai trò của đối xứng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.