Đến nội dung chính

Nhận tam giác đều qua cạnh và góc

THCSLớp 6Hình phẳng và tính đối xứngMở mô-đun

Tam giác đều, hình vuông và lục giác đều · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-27-B1

Tam giác đều được nhận bằng ba cạnh bằng nhau, không phải bằng hướng đặt hình. Em đọc giả thiết, xác định đủ ba cạnh và dùng sự bằng nhau để tính hoặc kiểm kết luận.

Sau bài này, em có thể:

  • Nêu ba cạnh và đặc điểm ba góc của tam giác đều đã cho.
  • Tính chu vi, tìm cạnh và nhận dữ kiện chưa đủ; phân biệt hình lý tưởng với số đo đã làm tròn.

Cần biết trước: Độ dài đoạn thẳng, góc vuông, chu vi, đổi đơn vị; dùng thước, ê ke, compa và đọc điều kiện hình đã cho.

Cách học: Chuẩn bị vở và bút. Bắt đầu từ tình huống, dự đoán rồi mở gợi ý trước khi xem lời giải. Hai lời giải đầu được mở sẵn để em làm quen cách trình bày. Có thể chia bài thành nhiều lượt; hai ví dụ cuối và hai bài cuối là tự chọn.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hình nguồn được cho là tam giác đều ABC. Vì vậy các cạnh AB, BC, CA bằng nhau; ba góc tại A, B, C cũng bằng nhau. Hình không ghi số đo centimet nên không lấy kích thước màn hình làm độ dài cạnh.

Hình dữ kiện của nhiệm vụ; có thể dùng vật thật để kiểm.
Mô hình ABC được cho là tam giác đều, với ba đỉnh phân biệt không thẳng hàng. Đọc giả thiết, không đo độ dài từ pixel.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Đọc ba cạnh từ giả thiết

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

ABC được cho là tam giác đều. Viết các cạnh bằng nhau và gọi ba góc bằng nhau theo đỉnh.

Bắt đầu từ đâu?

Đi theo ba cạnh quanh tam giác.

Gợi ý để em tự tìm

Không thêm một độ dài không có trong hình.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Từ giả thiết tam giác đều, $AB=BC=CA$.

  2. Ba góc tại A, B, C bằng nhau. Chưa có độ dài cụ thể nên không tự ghi cạnh bằng $3$ cm hoặc số khác.

Tự kiểm

Ba đoạn AB, BC, CA là đủ ba cạnh; BA chỉ là tên đảo của AB, không thêm cạnh thứ tư.

Ví dụ 2. Từ một cạnh sang chu vi

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Tam giác đều có cạnh $3{,}6$ cm. Tìm hai cạnh còn lại và chu vi.

Bắt đầu từ đâu?

Hai cạnh còn lại cũng dài $3{,}6$ cm.

Gợi ý để em tự tìm

Chu vi cộng đúng ba cạnh.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Mỗi cạnh đều dài $3{,}6$ cm.

  2. Chu vi $3{,}6+3{,}6+3{,}6=3\times3{,}6=10{,}8$ cm.

Tự kiểm

$10{,}8:3=3{,}6$ cm khôi phục cạnh.

Ví dụ 3. Hai cạnh bằng nhau chưa đủ

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một tam giác có ba cạnh $3$ cm, $3$ cm, $4$ cm. Có đều không?

Bắt đầu từ đâu?

So đủ ba số đo, không dừng ở cặp đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Cạnh $4$ cm khác $3$ cm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Hai cạnh đầu bằng nhau nhưng cạnh thứ ba khác chúng.

  2. Vì chưa có ba cạnh bằng nhau, tam giác này không đều.

Tự kiểm

Đây là phản ví dụ cho kết luận chỉ hai cạnh bằng nhau là đủ.

Ví dụ 4. Đổi hướng đặt không đổi điều kiện

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một tam giác đều được quay trên giấy để một đỉnh hướng xuống. Có mất tính đều chỉ vì không giống hình nguồn không?

Bắt đầu từ đâu?

Quay hình giữ độ dài các cạnh của cùng hình.

Gợi ý để em tự tìm

Hướng lên hay xuống không là điều kiện định nghĩa.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Các cạnh của cùng tam giác sau quay vẫn có cùng độ dài như trước, nên vẫn có ba cạnh bằng nhau.

  2. Tam giác vẫn đều; không dùng hướng của một đỉnh hoặc chiều dài nét ảnh để phủ nhận giả thiết.

Tự kiểm

Nếu chỉ nhìn một hình mới chưa có dữ kiện, cần đo hoặc đọc điều kiện; câu này đã cho cùng hình được quay.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau; các cạnh có độ dài dương và ba đỉnh không thẳng hàng. Tam giác đều có ba góc bằng nhau. Trong bài này dùng đặc điểm cạnh để nhận tam giác đều, không dùng riêng vẻ cân đối của hình.

Nếu độ dài mỗi cạnh là $a>0$, chu vi $P=a+a+a=3a$. Ngược lại, biết tam giác đều và chu vi $P$ thì mỗi cạnh bằng $P:3$. Chỉ hai cạnh bằng nhau chưa đủ; phải kiểm cạnh thứ ba. Số đo hiển thị hoặc đã làm tròn bằng nhau chưa chứng minh các độ dài chính xác bằng nhau.

Ví dụ 5. Chu vi tìm cạnh chưa biết

Vận dụng

Em thử trước:

ABC là tam giác có $AB=AC=5$ cm và chu vi $15$ cm. Có kết luận đều không?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm BC từ tổng ba cạnh rồi so.

Gợi ý để em tự tìm

$BC=15-5-5$.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. $BC=15-5-5=5$ cm.

  2. Vậy $AB=BC=CA=5$ cm, đủ nhận tam giác đều.

Tự kiểm

$5+5+5=15$ cm, khớp chu vi và hai cạnh đã cho.

Ví dụ 6. Biết thiếu cạnh thứ ba

Vận dụng

Em thử trước:

Tam giác ABC có $AB=BC=2{,}5$ cm, chưa biết CA. Đã đủ tính chu vi bằng $7{,}5$ cm chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Giá trị CA chưa được xác định là $2{,}5$ cm.

Gợi ý để em tự tìm

Không tự thêm giả thiết đều.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Chu vi hiện viết được $P=2{,}5+2{,}5+CA=5+CA$ cm nếu CA lấy số đo theo cm.

  2. Chưa biết CA nên chưa có chu vi duy nhất; $7{,}5$ cm chỉ đúng nếu thêm $CA=2{,}5$ cm.

Tự kiểm

Giữ câu trả lời có điều kiện thay vì nhận luôn một cạnh chưa cho.

Ví dụ 7. Đổi đơn vị trước khi so cạnh

Vận dụng

Em thử trước:

Một tam giác có cạnh $30$ mm, $3$ cm và $0{,}03$ m. Có đều không?

Bắt đầu từ đâu?

Đưa cả ba số đo về cm.

Gợi ý để em tự tìm

$30$ mm $=3$ cm; $0{,}03$ m $=3$ cm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. $30$ mm $=3$ cm và $0{,}03$ m $=3$ cm. Sau đổi cùng cm, ba cạnh đều dài $3$ cm.

  2. Vậy tam giác đều; chu vi $3+3+3=9$ cm.

Tự kiểm

Cùng giá trị độ dài có thể được viết bằng các đơn vị khác nhau.

Ví dụ 8. Tìm tham số để đủ ba cạnh

Vận dụng

Em thử trước:

Một tam giác có ba cạnh theo cm là $2x+1$, $7$, $7$, với $x$ tự nhiên từ $0$ đến $5$. Tìm $x$ để tam giác đều.

Bắt đầu từ đâu?

Cạnh theo $x$ phải bằng $7$.

Gợi ý để em tự tìm

$2x+1=7$.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Điều kiện đều đòi $2x+1=7$, nên $2x=6$ và $x=3$.

  2. $3$ thuộc miền cho phép; khi ấy ba cạnh đều $7$ cm và chu vi $21$ cm. Không có $x$ khác giải được phương trình.

Tự kiểm

Đã kiểm điều kiện và miền, không chỉ tìm một giá trị qua thử hình.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Chu vi không tự nhận loại

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Hai tam giác được cho có các cạnh lần lượt $(4;4;4)$ cm và $(3;4;5)$ cm. So chu vi và xét câu “cùng chu vi thì cùng đều”.

Bắt đầu từ đâu?

Cộng mỗi bộ rồi kiểm điều kiện ba cạnh.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai tổng bằng $12$ cm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Tam giác thứ nhất chu vi $4+4+4=12$ cm và đều do ba cạnh bằng nhau.

  2. Tam giác thứ hai chu vi $3+4+5=12$ cm nhưng không đều do các cạnh khác nhau.

  3. Cùng chu vi không đủ suy cùng tính đều; cần giữ thông tin từng cạnh.

Tự kiểm

Đề đã cho hai tam giác; không suy loại chỉ từ số tổng $12$.

Ví dụ 10. Cùng số làm tròn chưa cùng độ dài thật

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Ba độ dài chính xác của một tam giác là $3{,}01$ cm, $2{,}99$ cm, $3{,}00$ cm. Cả ba báo phần mười thành $3{,}0$ cm. Có chứng minh tam giác đều không?

Bắt đầu từ đâu?

Định nghĩa dùng độ dài chính xác, không chỉ số báo gần đúng.

Gợi ý để em tự tìm

$3{,}01\ne2{,}99$.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Ba số chính xác không bằng nhau, nên tam giác không đều theo dữ kiện.

  2. Các số báo phần mười đều $3{,}0$ cm vì đã làm tròn, nhưng việc bỏ bớt hàng đã làm mất sự khác biệt. Không dùng chúng để chứng minh ba cạnh chính xác bằng nhau.

Tự kiểm

Phân biệt số báo theo độ chia và quan hệ hình học lý tưởng; không tự sửa dữ kiện gốc cho bằng nhau.

4. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Chỉ hai cạnh bằng nhau đã kết luận đều. Kiểm đủ ba cạnh, không bỏ cạnh thứ ba.
Đo pixel hoặc hướng đỉnh để gán độ dài. Dùng giả thiết hoặc số đo thực với đơn vị, không lấy kích thước ảnh làm cm.
Các số làm tròn bằng nhau nên cạnh chính xác bằng nhau. Giữ dữ liệu gốc và phân biệt gần đúng với quan hệ hình học lý tưởng.

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Với tam giác đều ABC trong hình, nêu các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Gợi ý bài 1

Hình được cho là đều, không phải chỉ nhìn đoán.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. Từ giả thiết, $AB=BC=CA$.

  2. Ba góc tại A, B, C bằng nhau. Chưa có số đo cạnh nên không tự gán centimet.

Tự kiểm

Tên mỗi góc phải chỉ đúng một trong ba đỉnh của tam giác.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Tam giác đều có cạnh $4{,}5$ cm. Tính tổng độ dài ba cạnh.

Gợi ý bài 2

Ba cạnh cùng $4{,}5$ cm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. Tổng $4{,}5+4{,}5+4{,}5=3\times4{,}5$.

  2. Chu vi bằng $13{,}5$ cm.

Tự kiểm

$13{,}5:3=4{,}5$ cm, khớp cạnh.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Một tam giác có ba cạnh $3$ cm, $3$ cm, $4$ cm có phải tam giác đều không?

Gợi ý bài 3

Kiểm cạnh thứ ba.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. $4\ne3$, nên không có ba cạnh bằng nhau.

  2. Tam giác không đều dù có hai cạnh $3$ cm bằng nhau.

Tự kiểm

Không lấy số cạnh bằng nhau là hai để thay yêu cầu cả ba.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Một bạn chỉ biết hai cạnh của tam giác bằng nhau rồi kết luận tam giác đều. Em nêu điều còn thiếu.

Gợi ý bài 4

Cần kiểm cạnh thứ ba có cùng độ dài không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. Hai cạnh bằng nhau chưa buộc cạnh thứ ba bằng chúng.

  2. Cần thêm cạnh còn lại bằng hai cạnh ấy để có đủ ba cạnh bằng nhau; bộ $3;3;4$ cm của một tam giác cho thấy kết luận ban đầu chưa đủ.

Tự kiểm

Không tự thêm một điều kiện về hướng đặt hình để thay điều kiện độ dài.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Tam giác đều có chu vi $18$ cm. Tìm cạnh.

Gợi ý bài 5

Tổng gồm ba phần bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. Mỗi cạnh $18:3=6$ cm.

  2. Kiểm $6+6+6=18$ cm.

Tự kiểm

Không chia chu vi cho số đỉnh khác $3$ hoặc dùng diện tích.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Tam giác ABC có $AB=BC=CA=32$ mm. Tính chu vi theo cm.

Gợi ý bài 6

Có thể cộng theo mm rồi đổi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. Chu vi $3\times32=96$ mm.

  2. $96$ mm $=9{,}6$ cm.

Tự kiểm

Mỗi cạnh $3{,}2$ cm, ba lần cũng $9{,}6$ cm.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Một tam giác có cạnh $2$ cm, $20$ mm và $0{,}02$ m. Nhận loại và tính chu vi theo cm.

Gợi ý bài 7

Đổi cả ba về cm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. $20$ mm $=2$ cm, $0{,}02$ m $=2$ cm, nên ba cạnh bằng nhau: tam giác đều.

  2. Chu vi $3\times2=6$ cm.

Tự kiểm

Không so ba số $2$; $20$; $0{,}02$ khi đơn vị còn khác.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Một tam giác đều có cạnh $a>0$. Viết chu vi và kiểm nếu $a=1{,}2$ cm.

Gợi ý bài 8

Tổng ba cạnh cùng độ dài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. Chu vi $P=a+a+a=3a$.

  2. Với $a=1{,}2$ cm, $P=3\times1{,}2=3{,}6$ cm.

Tự kiểm

Kí hiệu $a$ là độ dài một cạnh; chu vi vẫn có đơn vị độ dài.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

AB và BC đều $4$ cm, chu vi tam giác ABC $13$ cm. Có đều không?

Gợi ý bài 9

Tìm CA từ chu vi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. $CA=13-4-4=5$ cm.

  2. $5\ne4$, nên tam giác không đều.

Tự kiểm

Tổng $4+4+5=13$ đúng, nhưng tổng đúng không thay điều kiện ba cạnh bằng nhau.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Một bản vẽ tam giác trông cân đối nhưng không có dữ kiện bằng cạnh. Có tự kết luận đều không? Nêu việc cần kiểm.

Gợi ý bài 10

Vẻ ngoài chỉ gợi điều cần kiểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. Chưa đủ căn cứ kết luận đều chỉ từ vẻ cân đối.

  2. Đọc giả thiết hoặc dùng thước/compa kiểm ba cạnh theo mục đích; với phép đo thật ghi số đo và giới hạn dụng cụ, không coi ảnh màn hình là số đo centimet.

Tự kiểm

Không tự gán ba cạnh bằng nhau nếu dữ kiện chưa xác nhận.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tam giác có ba cạnh theo cm là $x+1$, $4$, $4$, với $x$ nguyên từ $0$ đến $5$. Tìm mọi $x$ để đều và tính chu vi khi đó.

Gợi ý bài 11

Cạnh theo $x$ phải bằng cạnh $4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. $x+1=4$ nên $x=3$, nằm trong miền đã cho.

  2. Khi đó ba cạnh đều $4$ cm, chu vi $12$ cm. Các $x$ khác không làm cả ba cạnh bằng nhau.

Tự kiểm

Không chỉ kiểm hai cạnh cố định bằng nhau rồi nhận mọi $x$.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Có sáu que dài $3$ cm và ba que dài $6$ cm. Dùng hết để ghép ba cạnh thẳng của một tam giác đều, không chồng que, không cắt. Không tính việc đổi tên các cạnh là cách khác. Nêu mọi kiểu phân chia số que theo cạnh.

Gợi ý bài 12

Tổng dài xác định độ dài mỗi cạnh, rồi xét mỗi cạnh dùng mấy que $6$ cm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. Tổng $6\times3+3\times6=36$ cm, nên mỗi cạnh phải dài $12$ cm. Một cạnh có thể dùng: bốn que $3$; hoặc hai que $3$ và một que $6$; hoặc hai que $6$.

  2. Tổng ba que $6$ chia cho ba cạnh với mỗi cạnh nhiều nhất hai que. Không kể đổi thứ tự, chỉ có số que $6$ theo cạnh là $(1;1;1)$ hoặc $(2;1;0)$.

  3. Kiểu đầu mỗi cạnh một que $6$ và hai que $3$; kiểu sau lần lượt hai que $6$, một que $6$ với hai que $3$, và bốn que $3$. Cả hai dùng đúng ba que dài và sáu que ngắn, tạo ba cạnh $12$ cm.

Tự kiểm

Đã dùng hết mọi que và kiểm đủ mọi kiểu số que dài; không tính các mối nối thẳng giữa que là đỉnh mới của tam giác.

6. Tự kiểm sau khi học

Hình vuông thêm điều kiện bốn góc vuông; bốn cạnh bằng nhau một mình chưa đủ nhận hình vuông.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tam giác đều, hình vuông và lục giác đều. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu

Chọn bài khác trong mô-đun · Toán lớp 6 · Hướng dẫn tự học THCS