Nhận trục đối xứng qua phép gấp

Trục đối xứng của hình phẳng · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-32-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nhận trục bằng phép gấp hoặc các cặp điểm phản chiếu đầy đủ.
• Phân biệt đường giữa, đường cạnh và đường chéo; ghi đúng kế hoạch hoặc quan sát gấp giấy.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hình nguồn được cho là chữ nhật ABCD, thứ tự quanh hình A-B-C-D; nét đứt d là đường dọc qua trung điểm AB và CD. Khi gấp đúng theo d, A tới B, D tới C, hai cạnh bên trùng nhau và hai nửa mặt chữ nhật chồng khít.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Hai cặp đỉnh của đường giữa

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

ABCD là chữ nhật, d đi qua trung điểm AB và CD như nguồn. Gấp theo d thì A,D đến những đỉnh nào, và d có là trục không?

Bắt đầu từ đâu?

Theo đường giữa dọc, trái và phải đổi chỗ.

Gợi ý để em tự tìm

Không chỉ kiểm một đỉnh rồi bỏ các cạnh.

Lời giải và cách tự kiểm

1. A tới B, D tới C; hai cạnh AD,BC tương ứng, các nửa của AB,CD cũng trùng khi gấp đúng.

2. Hai nửa mặt chữ nhật chồng khít nên d là trục của mô hình chữ nhật.

Tự kiểm

Kết luận theo giả thiết đường giữa đúng, không lấy nét đứt bất kì làm trục.

Ví dụ 2. Điểm ở trên nếp gấp

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Điểm H nằm ngay trên trục d. Khi gấp/phản chiếu qua d, H tới đâu?

Bắt đầu từ đâu?

Điểm trên nếp không rời vị trí của nó.

Gợi ý để em tự tìm

Khoảng cách tới d bằng không.

Lời giải và cách tự kiểm

1. H nằm trên d nên giữ nguyên vị trí: ảnh là chính H.

2. Không tạo một điểm H′ khác ở phía kia vì vị trí tương ứng có khoảng cách không tới d vẫn chính H.

Tự kiểm

Những điểm ngoài d mới đổi sang phía đối diện; không áp quy tắc ấy cho điểm trên d.

Ví dụ 3. Đường chứa cạnh không gấp khít mặt

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Xét toàn bộ chữ nhật ABCD, cả phần trong. Đường thẳng chứa cạnh AB có là trục của nó không?

Bắt đầu từ đâu?

Phần trong chữ nhật nằm về một phía đường cạnh.

Gợi ý để em tự tìm

Phản chiếu sẽ đưa phần ấy sang phía bên kia.

Lời giải và cách tự kiểm

1. AB được giữ trên đường gấp, nhưng các điểm trong hình ở một phía AB được phản chiếu sang phía đối diện, ra ngoài chữ nhật đã cho.

2. Vì toàn hình không trở lại chính nó, đường chứa cạnh AB không là trục.

Tự kiểm

Giữ một cạnh cố định chưa đủ giữ mọi điểm của hình.

Ví dụ 4. Cặp điểm trên giấy ô vuông

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

d là đường dọc trên giấy ô vuông. P ở bên trái d ba ô, hàng ngang số $2$. Ảnh P′ ở đâu?

Bắt đầu từ đâu?

Giữ hàng ngang, đổi phía và giữ khoảng cách.

Gợi ý để em tự tìm

Ba ô sang phải không phải ba ô lên trên.

Lời giải và cách tự kiểm

1. P′ ở bên phải d ba ô và vẫn trên hàng số $2$.

2. Đoạn PP′ nằm ngang, vuông góc d, d chia đoạn thành hai phần cùng ba ô; đúng điều kiện phản chiếu.

Tự kiểm

Một điểm bên phải cách ba ô nhưng ở hàng khác chưa là ảnh của P.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Đường thẳng d là trục của hình khi phản chiếu qua d đưa toàn hình trở lại chính nó. Điểm trên d giữ nguyên. Với điểm P ngoài d, ảnh P′ ở phía đối diện: đoạn PP′ vuông góc d, giao d tại H và $HP=HP′$. Nói cùng khoảng cách chưa đủ nếu hai điểm không nằm trên cùng đường vuông góc với d.

Với d dọc trên giấy ô vuông, hai điểm tương ứng cùng hàng ngang và cách d cùng số ô. Phải xét toàn hình đã nêu, kể cả dấu/màu nếu chúng thuộc hình cần kiểm. Tên điểm, số đo, đường chú thích không tính là họa tiết trừ khi đề yêu cầu. Chia đôi diện tích hoặc đi qua giữa hình chưa đủ chứng minh đối xứng.

Ví dụ 5. Đường giữa nhưng không tự đủ

Vận dụng

Em thử trước:

Hình chữ nhật ABCD không vuông có cạnh AB $6$ cm, AD $4$ cm. Đường chéo AC đi qua giữa hình. Có vì thế mà AC là trục không?

Bắt đầu từ đâu?

Nếu là trục thì hai đỉnh ngoài đường chéo phải đổi cho nhau.

Gợi ý để em tự tìm

A,C giữ nguyên; B phải tới D, nhưng khoảng cách tới A khác.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu phản chiếu qua AC giữ chữ nhật, A,C cố định, B phải tới đỉnh D còn lại ngoài AC. Phép gấp giữ khoảng cách tới A nên phải có $AB=AD$.

2. Nhưng $AB=6\ne4=AD$ cm, mâu thuẫn. Đường chéo không là trục dù qua giữa hình.

Tự kiểm

Đang xét chữ nhật không vuông; với hình vuông, hai cạnh kề bằng nhau và kết luận về đường chéo khác.

Ví dụ 6. Bằng diện tích chưa chồng khít

Vận dụng

Em thử trước:

Chữ nhật $6$ cm nhân $4$ cm được chia theo đường chéo thành hai tam giác. Mỗi nửa có diện tích bao nhiêu; bằng diện tích có chứng minh đường chéo là trục không?

Bắt đầu từ đâu?

Tính diện tích và kiểm riêng điều kiện gấp.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi tam giác có đáy sáu, cao bốn.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mỗi nửa có $6\times4:2=12$ cm², bằng nhau; toàn mặt $24$ cm².

2. Nhưng nếu gấp qua đường chéo thì đỉnh ngoài trục phải đổi cho nhau, đòi cạnh kề $6$ cm bằng $4$ cm, không đúng. Bằng diện tích chưa đủ chồng khít.

Tự kiểm

Hai yêu cầu diện tích bằng nhau và đối xứng là hai điều kiện khác nhau.

Ví dụ 7. Gấp thật cần ghi thật

Vận dụng

Em thử trước:

Chưa gấp giấy. Nêu kế hoạch kiểm đường giữa của một tờ chữ nhật, không ghi như đã quan sát.

Bắt đầu từ đâu?

Đưa hai cạnh đối tương ứng trùng rồi tạo nếp giữa.

Gợi ý để em tự tìm

Kiểm toàn mép, không chỉ một góc.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đặt hai cạnh đối tương ứng chồng nhau, giữ các góc khớp rồi miết nếp giữa đi qua trung điểm hai cạnh còn lại; mở ra xác định đường d.

2. Gấp lại theo d và kiểm các cặp đỉnh, mép trên/dưới, phần mặt. Sau thực hiện ghi khớp/lệch thực; hiện chỉ là kế hoạch, chưa báo đã chồng khít.

Tự kiểm

Không dùng kết quả lý tưởng của chữ nhật thay bản ghi thao tác thật.

Ví dụ 8. Một cặp đúng chưa kiểm cả bộ điểm

Vận dụng

Em thử trước:

Chỉ xét bộ bốn điểm trên giấy ô vuông, d dọc: P trái hai ô hàng $1$, Q phải hai ô hàng $1$, R trái một ô hàng $3$, S phải một ô hàng $4$. d có là trục của bộ điểm không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm ảnh của từng điểm, không chỉ cặp P,Q.

Gợi ý để em tự tìm

Ảnh R phải cùng hàng ba.

Lời giải và cách tự kiểm

1. P,Q tương ứng đúng. Nhưng ảnh R phải ở phải một ô, hàng $3$; S ở hàng $4$ nên không phải ảnh R, trong bộ không có điểm cần ấy.

2. Vì còn một ảnh thiếu, d không là trục của bộ bốn điểm.

Tự kiểm

Đề chỉ xét các điểm, không tự thêm một đường bao hoặc một điểm chưa có.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Sửa ít nhất một cặp bị thiếu

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bộ điểm P,Q,R,S như ví dụ trước. Chỉ được dịch chuyển S, giữ P,Q,R và số điểm bằng bốn. Đặt S ở đâu để có trục d, và vì sao vị trí đó duy nhất?

Bắt đầu từ đâu?

R chưa có ảnh, còn P,Q đã là cặp.

Gợi ý để em tự tìm

Giữ hàng ba và khoảng cách một ô cho ảnh R.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đưa S tới bên phải d một ô, hàng $3$. Khi đó P↔Q và R↔S, mọi điểm của bộ đều có ảnh trong bộ.

2. Vì P,Q,R cố định và R cần đúng một ảnh ở vị trí vừa nêu, không vị trí khác của S bù được ảnh còn thiếu. Đây là phương án duy nhất theo quy tắc chỉ dời S.

Tự kiểm

Đã kiểm cả đủ cặp và giới hạn chỉ được đổi một điểm, không giải bằng thêm điểm thứ năm.

Ví dụ 10. Có thể giữ số chẵn hoặc lẻ điểm

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bộ điểm gồm hai cặp phản chiếu ngoài d và một điểm H trên d. Có thể có đúng năm điểm mà vẫn đối xứng qua d không? Giải thích.

Bắt đầu từ đâu?

Điểm ngoài trục ghép đôi, điểm trên trục tự giữ.

Gợi ý để em tự tìm

Không phải mọi điểm đều phải có một điểm khác làm ảnh.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai cặp ngoài d có $2+2=4$ điểm; điểm H trên d cố định, nên tổng $4+1=5$.

2. Mỗi điểm ngoài trục có ảnh theo cặp, H có ảnh chính nó; bộ năm điểm vẫn đối xứng. Số lẻ không tự bác đối xứng khi có điểm trên trục.

Tự kiểm

Nếu không có điểm nào trên trục, một bộ hữu hạn đối xứng mới có số điểm chẵn do các cặp hai điểm.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Đường nét đứt qua giữa hình chữ nhật ABCD trong hình có là trục đối xứng không? Nêu hai cặp đỉnh tương ứng.

Gợi ý bài 1

Nét đứt là đường giữa dọc đã cho.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Có: gấp theo đường ấy thì A tới B, D tới C; hai cạnh bên và hai nửa mặt chữ nhật chồng khít.

2. Hai cặp đỉnh là A↔B và D↔C, không phải A↔C.

Tự kiểm

Tên chữ chỉ để gọi đỉnh, không là họa tiết của mặt giấy.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Đường chứa một cạnh của hình chữ nhật có là trục đối xứng của toàn hình chữ nhật đó không?

Gợi ý bài 2

Phản chiếu cả phần trong, không chỉ một cạnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Không: phần trong nằm một phía đường cạnh, phản chiếu sang phía kia ra ngoài hình cũ.

2. Vì không chồng khít toàn hình, đường chứa cạnh không là trục dù các điểm trên cạnh giữ nguyên.

Tự kiểm

Không dùng một tập con giữ nguyên để suy toàn hình giữ nguyên.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Hình chữ nhật không vuông có đường chéo chia diện tích thành hai nửa bằng nhau. Có vì thế mà đường chéo là trục đối xứng không?

Gợi ý bài 3

Đối xứng cần gấp khít, không chỉ diện tích bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Gọi chữ nhật là ABCD theo thứ tự quanh hình. Nếu đường chéo AC là trục thì A,C giữ nguyên và B,D đổi nhau; phép gấp giữ khoảng cách tới A nên phải có $AB=AD$.

2. Chữ nhật không vuông có hai cạnh kề khác nhau, nên điều ấy không đúng. Hai nửa bằng diện tích chưa đủ kết luận trục.

Tự kiểm

Giả thiết không vuông là cần thiết: đường chéo của vuông có thể là trục.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Trên giấy riêng, gấp một hình chữ nhật theo đường qua trung điểm hai cạnh đối. Ghi điều quan sát về mép giấy.

Gợi ý bài 4

Gấp đúng đường giữa, kiểm toàn mép.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Chọn đường giữa qua trung điểm một cặp cạnh đối; gấp sao cho hai cạnh đối còn lại và các đỉnh tương ứng trùng nhau.

2. Sau thực hiện ghi mép nào khớp hoặc chỗ lệch thật; nếu chưa gấp ghi mới là kế hoạch. Mô hình lý tưởng gấp đúng đường giữa cho hai phần chồng khít.

Tự kiểm

Không ghi đã làm chỉ vì đã biết đáp án lý tưởng.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

d dọc, P bên phải bốn ô ở hàng $2$. Đặt ảnh của P.

Gợi ý bài 5

Giữ hàng, đổi bên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Ảnh ở bên trái d bốn ô, hàng $2$.

2. Hai điểm cùng hàng ngang và cách d cùng bốn ô nên đúng phép phản chiếu.

Tự kiểm

Không đổi hàng hai thành hàng bốn.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

H nằm trên d ở hàng $5$. Ảnh của H có phải một điểm khác ở hàng $5$ không?

Gợi ý bài 6

Điểm trên d cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Ảnh H là chính H.

2. Không tạo thêm điểm khác vì khoảng cách từ H tới d bằng không.

Tự kiểm

Số hàng không quyết định khoảng cách ngang tới trục.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

d dọc; P trái hai ô hàng $1$, Q phải hai ô hàng $2$. Hai điểm có phản chiếu nhau chỉ vì cùng cách d hai ô không?

Gợi ý bài 7

Cần cùng đường vuông góc với d.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Không: hai điểm khác hàng nên đoạn nối chưa nằm ngang vuông góc d.

2. Ảnh đúng của P ở phải hai ô hàng $1$, không là Q đã cho.

Tự kiểm

Đủ khoảng cách nhưng sai chân đường vuông góc vẫn không là cặp ảnh.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Một đường kẻ đi qua giữa hình nhưng chưa kiểm mép/dấu. Có đủ gọi là trục không?

Gợi ý bài 8

Cần kiểm toàn hình trở lại chính nó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Chưa đủ. Gấp hoặc xác định ảnh các điểm/cạnh/dấu được xét, kiểm chúng đều có phần tương ứng.

2. Chữ nhật không vuông với đường chéo qua giữa là trường hợp không có trục theo đường ấy.

Tự kiểm

Không nhận chỉ dựa vị trí trung tâm của một đường.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Chữ nhật có bốn góc vuông; gấp qua đường chứa một cạnh chỉ thấy cạnh ấy trùng. Đã kiểm đủ toàn hình chưa?

Gợi ý bài 9

Còn phần trong và các cạnh khác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Chưa đủ: giữ cạnh trên nếp chỉ kiểm được một phần của hình.

2. Phần trong bị đưa sang phía ngoài hình cũ, nên đường chứa cạnh không là trục của toàn chữ nhật.

Tự kiểm

Một phần đúng không thay điều kiện mọi điểm của hình.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Chưa có giấy để gấp nhưng biết mô hình chữ nhật có đường giữa là trục. Em ghi trạng thái thế nào?

Gợi ý bài 10

Tách kết luận lý tưởng với thao tác thật.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Có thể nêu kết luận về mô hình và kế hoạch gấp kiểm cặp đỉnh/mép.

2. Ghi chưa thực hiện thao tác, không báo đã quan sát mép chồng khít trên một tờ giấy cụ thể.

Tự kiểm

Mô hình toán học không thay bản ghi hoạt động.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Bộ hữu hạn có ba cặp điểm ngoài d phản chiếu nhau và hai điểm phân biệt trên d. Tính số điểm và giải thích vì sao không cần ghép hai điểm trên d với nhau.

Gợi ý bài 11

Điểm trên d mỗi điểm tự giữ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Ngoài d có $3\times2=6$ điểm, thêm hai trên d được $8$ điểm.

2. Mỗi điểm trên d có ảnh chính nó, không cần đổi cho nhau; ba cặp ngoài d đã đủ cho các điểm còn lại.

Tự kiểm

Đổi hai điểm khác hàng trên d cho nhau không phải phép phản chiếu qua chính d.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Một bộ hữu hạn có đúng năm điểm, không điểm nào trên d. Có thể d là trục của bộ không? Chứng minh bằng cách ghép ảnh.

Gợi ý bài 12

Ngoài trục, mỗi điểm có ảnh khác nó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nếu đối xứng, các điểm ngoài d chia thành những cặp hai điểm; phản chiếu lần nữa giữ cùng đường vuông góc, cùng khoảng cách và đổi lại phía nên trở về điểm đầu. Vì vậy một điểm không thuộc hai cặp khác.

2. Tổng phải chẵn, nhưng năm lẻ, nên không thể. Đây là kết luận cho bộ hữu hạn không có điểm trên d.

Tự kiểm

Không dùng kết luận này cho bộ năm điểm có một điểm nằm trên trục như ví dụ trước.

6. Tự kiểm sau khi học

Các hình quen thuộc có những trục xác định; đếm theo đường hình học, không đếm lặp khi đổi tên hoặc cộng trục của nhiều hình thành trục của hình ghép.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trục đối xứng của hình phẳng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.