Tập hợp và phần tử trong Toán lớp 6

Tập hợp và tập hợp số tự nhiên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-01-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nêu được tập hợp và phần tử trong một tình huống rõ ràng.
• Nhận ra điều kiện chọn rõ, phần tử lặp và thứ tự kể.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Một hộp có hai bút đỏ và một bút xanh. Nếu xét các màu xuất hiện, ta chỉ kể màu đỏ và màu xanh; hai chiếc bút đỏ không tạo hai màu đỏ khác nhau. Nếu xét từng chiếc bút, ta phải phân biệt từng chiếc. Em đang chọn màu hay chọn chiếc bút?

Một tập hợp gồm những đối tượng được xác định rõ; mỗi đối tượng được chọn là một phần tử. Khi làm việc với số tự nhiên, ta dùng $0,1,2,3,\ldots$.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Chọn màu hay chọn bút?

Cốt lõi

Em thử trước:

Hộp có hai bút đỏ và một bút xanh. Tập hợp các màu xuất hiện có ba phần tử không?

Bắt đầu từ đâu?

Xác định đối tượng đang được chọn.

Gợi ý để em tự tìm

Đề chọn màu, không chọn từng chiếc bút.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các màu có mặt là đỏ và xanh; màu đỏ được kể một lần dù có hai bút đỏ.

2. Tập hợp các màu có hai phần tử, không phải ba.

Tự kiểm

Nếu đổi sang tập hợp từng chiếc bút thì có ba đối tượng; đó là câu hỏi khác.

Ví dụ 2. Chọn theo một điều kiện số

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong các số $0,1,2,3,4,5$, chọn những số tự nhiên nhỏ hơn $3$. Số $3$ có được chọn không?

Bắt đầu từ đâu?

Thử điều kiện nhỏ hơn cho từng số.

Gợi ý để em tự tìm

Nhỏ hơn không bao gồm bằng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $0<3$, $1<3$, $2<3$ nên chọn $0,1,2$.

2. $3$ không nhỏ hơn $3$; $4,5$ lớn hơn $3$. Tập hợp cần chọn gồm $0,1,2$.

Tự kiểm

Đã kiểm cả số bằng mốc, không chỉ các số ở xa mốc.

Ví dụ 3. Thứ tự không đổi phần tử

Cốt lõi

Em thử trước:

Hai bạn kể các số $2;4;6$ và $6;2;4$. Có phải hai tập hợp khác nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

So đối tượng được kể, không so vị trí viết.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi số của danh sách đầu có xuất hiện trong danh sách sau không?

Lời giải và cách tự kiểm

1. Danh sách thứ nhất có đúng ba số $2,4,6$. Danh sách thứ hai cũng có đúng ba số ấy.

2. Vì không thiếu hoặc thêm phần tử, hai cách kể xác định cùng một tập hợp.

Tự kiểm

Đổi thứ tự không giống đổi một phần tử: thay 6 bằng 8 sẽ làm tập hợp khác.

Ví dụ 4. Điều kiện phải kiểm được

Cốt lõi

Em thử trước:

Mô tả “các bạn chạy nhanh” đã xác định rõ một tập hợp chưa? Hãy sửa thành một tiêu chí có thể kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Hỏi hai người có chắc chọn cùng danh sách không.

Gợi ý để em tự tìm

Cần nói rõ nhóm người và tiêu chí, thay cho cảm nhận.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Từ “nhanh” chưa có ngưỡng và chưa nói xét những ai, nên chưa bảo đảm hai người chọn cùng nhóm.

2. Có thể sửa thành “các bạn trong danh sách lớp 6A có thời gian chạy 50 m dưới 10 giây theo bảng kết quả đã cho”. Khi có bảng, tiêu chí kiểm được.

Tự kiểm

Đây là ví dụ về tiêu chí; chưa có bảng thì không tự nhận đã biết tên các bạn được chọn.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Trước khi kể phần tử, xác định loại đối tượng và điều kiện chọn. Kiểm từng đối tượng theo điều kiện ấy. Đổi thứ tự kể không đổi tập hợp; kể lặp một đối tượng không tạo phần tử mới. Hai tập hợp bằng nhau khi có đúng cùng các phần tử.

Ví dụ 5. Kể lặp không tăng số phần tử

Cốt lõi

Em thử trước:

Một bạn kể $1;3;1;5;3$. Tập hợp các số được kể có năm phần tử không?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt số lượt kể và số đối tượng khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Gạch những lần xuất hiện lặp, không gạch cả số đó.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các số khác nhau là $1,3,5$; $1$ và $3$ đều bị kể lặp.

2. Tập hợp có ba phần tử. Năm là số lượt kể, không phải số phần tử khác nhau.

Tự kiểm

Mỗi số của danh sách cũ vẫn được giữ đại diện một lần.

Ví dụ 6. Không bỏ sót số không

Cốt lõi

Em thử trước:

Tập hợp các số tự nhiên không vượt quá $2$ có những phần tử nào?

Bắt đầu từ đâu?

Giải thích “không vượt quá” trước khi kể.

Gợi ý để em tự tìm

Số tự nhiên bắt đầu từ 0 và cho phép bằng 2.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các số tự nhiên từ $0$ đến $2$ là $0,1,2$.

2. Cả ba đều không lớn hơn $2$; các số tự nhiên tiếp theo đều lớn hơn $2$.

Tự kiểm

Số 0 không bị loại chỉ vì không phải số đếm đầu tiên trong một số tình huống.

Ví dụ 7. Một phần tử vẫn là tập hợp

Cốt lõi

Em thử trước:

Tập hợp các số tự nhiên bằng $4$ có bao nhiêu phần tử?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt tập hợp với phần tử nằm trong nó.

Gợi ý để em tự tìm

Điều kiện yêu cầu bằng 4, không phải nhỏ hơn 4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chỉ số $4$ thỏa điều kiện bằng $4$.

2. Vì vậy đây là tập hợp có một phần tử, chính là số 4.

Tự kiểm

Không đưa thêm 0,1,2,3 vì đề không hỏi các số nhỏ hơn 4.

Ví dụ 8. Một phần tử thay đổi

Cốt lõi

Em thử trước:

Tập hợp thứ nhất gồm $1,2,4$; tập hợp thứ hai gồm $1,2,5$. Cùng có ba phần tử thì có bằng nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm một đối tượng chỉ xuất hiện ở một bên.

Gợi ý để em tự tìm

Số 4 có nằm trong tập hợp thứ hai không?

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số $4$ thuộc danh sách thứ nhất nhưng không có trong danh sách thứ hai.

2. Do các phần tử không hoàn toàn giống nhau, hai tập hợp khác nhau dù cùng có ba phần tử.

Tự kiểm

Cùng số phần tử là chưa đủ để kết luận hai tập hợp bằng nhau.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Đếm sau khi gộp danh sách

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Mai kể $0,2,4$; Nam kể $2,4,6$. Gộp các số được hai bạn kể, mỗi số một lần. Có phải cộng $3+3$ để được sáu phần tử không?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm những số xuất hiện ở cả hai danh sách.

Gợi ý để em tự tìm

Hai số 2 và 4 không tạo phần tử mới ở lần kể thứ hai.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gộp rồi bỏ lặp được $0,2,4,6$.

2. Có bốn phần tử; phép cộng $3+3$ đã đếm hai lần số $2$ và hai lần số $4$.

Tự kiểm

Mỗi danh sách ban đầu đều được chứa đủ trong danh sách gộp, nhưng mỗi số chỉ xuất hiện một lần.

Ví dụ 10. Tìm mọi tập hợp thỏa hai điều kiện

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Chỉ được chọn từ ba số $1,2,3$. Hãy tìm mọi tập hợp có đúng hai phần tử và bắt buộc có số $2$.

Bắt đầu từ đâu?

Cố định phần tử 2 rồi tìm phần tử còn lại.

Gợi ý để em tự tìm

Phần tử còn lại phải khác 2 và chỉ có thể là 1 hoặc 3.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu chọn thêm $1$, tập hợp gồm $1,2$. Nếu chọn thêm $3$, tập hợp gồm $2,3$.

2. Không có lựa chọn khác: chọn thêm $2$ vẫn chỉ có một phần tử; chọn số ngoài $1,2,3$ trái điều kiện.

Tự kiểm

Đã chứng minh đủ hai khả năng, không chỉ nêu hai ví dụ tình cờ.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên nhỏ hơn $4$. Kể các phần tử của $A$.

Gợi ý bài 1

Bắt đầu từ số 0; kiểm riêng mốc 4.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Các số $0,1,2,3$ đều là số tự nhiên và nhỏ hơn $4$.

2. Số $4$ bằng mốc, còn các số sau lớn hơn mốc; vậy $A$ gồm $0,1,2,3$.

Tự kiểm

Đủ bốn số và không có số bằng 4.

Bài 2

Cốt lõi

Gọi $B$ là tập hợp các ngày cuối tuần, gồm thứ Bảy và Chủ nhật. Thứ Hai có là phần tử của $B$ không?

Gợi ý bài 2

Dùng đúng hai ngày đã được đề quy định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Danh sách phần tử của $B$ chỉ có thứ Bảy và Chủ nhật.

2. Thứ Hai không có trong danh sách, nên không là phần tử của $B$.

Tự kiểm

Không thay định nghĩa cuối tuần của đề bằng lịch riêng của một người.

Bài 3

Cốt lõi

Hai cách kể $1;3;5$ và $5;1;3$ có xác định cùng một tập hợp số không?

Gợi ý bài 3

Đối chiếu các số khác nhau ở hai bên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Mỗi bên đều có đúng $1,3,5$.

2. Chỉ thứ tự kể thay đổi, không có phần tử được thêm hoặc bớt; hai tập hợp bằng nhau.

Tự kiểm

Không cần hai danh sách viết cùng thứ tự.

Bài 4

Cốt lõi

Mô tả “tập hợp các số đẹp” đã đủ rõ để hai người cùng xác định phần tử chưa? Hãy sửa bằng một điều kiện toán học cụ thể.

Gợi ý bài 4

Thay cảm nhận bằng một tiêu chí kiểm được.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Từ “đẹp” chưa được định nghĩa, nên hai người có thể chọn khác nhau.

2. Có thể sửa thành “các số tự nhiên nhỏ hơn $5$”, gồm $0,1,2,3,4$. Tiêu chí rõ ràng khác cũng được chấp nhận.

Tự kiểm

Câu sửa phải cho phép quyết định một số cụ thể có được chọn hay không.

Bài 5

Cốt lõi

Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn $2$ và nhỏ hơn $6$ gồm những số nào?

Gợi ý bài 5

Kiểm cả hai điều kiện với cùng một số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Trong các số tự nhiên, những số sau $2$ và trước $6$ là $3,4,5$.

2. Các số $2$ và $6$ không thỏa dấu nhỏ hơn nghiêm ngặt; không đưa vào.

Tự kiểm

Cả ba số đều lớn hơn 2 đồng thời nhỏ hơn 6.

Bài 6

Cốt lõi

Một hộp có ba viên bi trắng và hai viên bi đen. Tập hợp các màu bi trong hộp có bao nhiêu phần tử?

Gợi ý bài 6

Đối tượng được chọn là màu, không phải từng viên bi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Các màu xuất hiện là trắng và đen.

2. Mỗi màu chỉ kể một lần, nên tập hợp có hai phần tử.

Tự kiểm

Năm là số viên bi; không phải số màu khác nhau.

Bài 7

Cốt lõi

Danh sách $2;2;4;6;6;6$ xác định tập hợp gồm những số nào và có bao nhiêu phần tử?

Gợi ý bài 7

Giữ một đại diện cho mỗi số khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Sau khi bỏ các lần kể lặp, còn $2,4,6$.

2. Có ba phần tử; số lần xuất hiện của từng số không làm tăng số phần tử.

Tự kiểm

Không bỏ hẳn số 2 hoặc 6 khi bỏ những lần lặp.

Bài 8

Cốt lõi

Một bạn đổi danh sách $0;1;3$ thành $3;1;0$. Một bạn khác đổi thành $0;1;4$. Cách nào giữ nguyên tập hợp?

Gợi ý bài 8

So phần tử, không so thứ tự.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $3;1;0$ vẫn có đúng các số của danh sách đầu nên giữ nguyên tập hợp.

2. $0;1;4$ bỏ số $3$ và thêm số $4$, nên thay đổi tập hợp.

Tự kiểm

Chỉ một phần tử thay đổi cũng đủ làm tập hợp khác.

Bài 9

Cốt lõi

Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn $1$ có rỗng không? Nêu các phần tử nếu có.

Gợi ý bài 9

Kiểm số tự nhiên nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Số $0$ là số tự nhiên và $0<1$.

2. Không có số tự nhiên nào khác nhỏ hơn $1$, nên tập hợp có đúng một phần tử là $0$, không rỗng.

Tự kiểm

Không nhầm “không có số tự nhiên dương” với “không có số tự nhiên”.

Bài 10

Cốt lõi

Một bạn mô tả “các sách trên bàn”, nhưng hai bạn đang đứng ở hai bàn khác nhau. Cần bổ sung gì để chắc chọn cùng tập hợp?

Gợi ý bài 10

Đối tượng và phạm vi phải được xác định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Cần chỉ đúng một chiếc bàn, chẳng hạn “các cuốn sách đang nằm trên bàn giáo viên lúc bắt đầu tiết học”.

2. Khi bàn và thời điểm được thống nhất, hai người kiểm cùng một phạm vi, thay vì tùy chọn bàn riêng.

Tự kiểm

Không tự bịa danh sách tên sách khi đề chưa cung cấp quan sát.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Chỉ chọn từ các số $0,1,2,3$. Tìm mọi tập hợp gồm đúng hai phần tử, có số $0$ và không có số $3$.

Gợi ý bài 11

Cố định 0; loại 3 trước khi chọn số còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Phần tử còn lại khác $0$ và không là $3$, nên chỉ có thể là $1$ hoặc $2$.

2. Hai tập hợp cần tìm gồm $0,1$ và gồm $0,2$; không có lựa chọn thứ ba.

Tự kiểm

Mỗi tập hợp có đúng hai số khác nhau và đáp ứng cả hai điều kiện.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Hai danh sách $1;2;3$ và $2;3;4$ được gộp. Một bạn nói có sáu phần tử; bạn khác nói có ba. Hãy tìm số đúng và giải thích cả hai lỗi.

Gợi ý bài 12

Đếm các số khác nhau sau khi gộp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Các số xuất hiện ở ít nhất một danh sách là $1,2,3,4$, nên có bốn phần tử.

2. Sáu đã đếm lặp 2 và 3; ba chỉ là số phần tử của mỗi danh sách riêng, chưa tính số được thêm từ danh sách kia.

Tự kiểm

Mỗi số 1 đến 4 đều có nguồn trong ít nhất một danh sách, không có số nào khác.

6. Tự kiểm sau khi học

Nếu còn nhầm đối tượng với số lượt kể, quay lại ví dụ hộp bút. Khi đã xác định đúng phần tử, học cách viết thuộc và không thuộc.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tập hợp và tập hợp số tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.