Tính diện tích hình thoi từ hai đường chéo

Chu vi và diện tích các hình phẳng đặc biệt · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-30-B3

Sau bài này, em có thể:

• Tính diện tích hình thoi từ hai đường chéo cùng đơn vị.
• Tìm đường chéo thiếu, phân biệt công thức chu vi và kiểm tác động của thay đổi độ dài.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hình thoi có hai đường chéo $6$ cm và $8$ cm thì diện tích $6\times8:2=24$ cm². Không lấy nửa tích hai cạnh, không bỏ phép chia $2$.

Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chúng chia hình thành bốn tam giác vuông. Nếu gọi độ dài đường chéo là $d,e$, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông $d/2,e/2$; cộng bốn diện tích cho $4\times(d/2)(e/2):2=de/2$. Đây nối công thức với phép tính diện tích tam giác đã học.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Nửa tích hai đường chéo

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi có đường chéo 6 cm và 8 cm. Tính S.

Bắt đầu từ đâu?

Nhân hai đường chéo rồi chia 2.

Gợi ý để em tự tìm

Tích 48 cm² chưa là diện tích hình thoi.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $S=6\times8:2=48:2=24$ cm².

2. Kiểm ngược $2S=2\times24=48=6\times8$. Phép chia 2 là một phần của công thức.

Tự kiểm

Không dùng chu vi hay nửa tích hai cạnh thay hai đường chéo.

Ví dụ 2. Có thêm cạnh để tính chu vi

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi có đường chéo 10 cm và 24 cm, cạnh 13 cm. Tính S, P.

Bắt đầu từ đâu?

S dùng hai đường chéo, P dùng một cạnh.

Gợi ý để em tự tìm

Hai bộ số đo có vai trò riêng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $S=10\times24:2=120$ cm².

2. $P=4\times13=52$ cm. Không lấy $2(10+24)=68$ cm làm chu vi.

Tự kiểm

Cạnh 13 cm được đề cho, không cần dùng định lí khác để tính lại cạnh.

Ví dụ 3. Hai đường chéo khác đơn vị

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi có đường chéo 0,6 m và 40 cm. Tính S bằng m².

Bắt đầu từ đâu?

Đổi 40 cm thành 0,4 m.

Gợi ý để em tự tìm

Phải dùng cùng đơn vị trong tích.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $40$ cm $=0{,}4$ m, do đó $S=0{,}6\times0{,}4:2=0{,}24:2=0{,}12$ m².

2. Kiểm theo cm: $60\times40:2=1200$ cm² $=0{,}12$ m².

Tự kiểm

Không ghi 12 m² từ phép $0{,}6\times 40:2$ với hai đơn vị chưa đổi.

Ví dụ 4. Sửa phép tính thiếu chia 2

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi đường chéo 12 cm và 16 cm, bạn ghi $S=192$ cm². Sửa và nêu lỗi.

Bắt đầu từ đâu?

192 là tích hai đường chéo.

Gợi ý để em tự tìm

Còn cần chia 2.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $12\times16=192$, nhưng công thức yêu cầu $S=192:2=96$ cm².

2. Giá trị 192 cm² gấp đôi đáp số đúng; không sửa một chữ số tùy ý mà bổ sung phép chia 2 đã thiếu.

Tự kiểm

Kiểm $2\times 96=192$ khớp tích đường chéo.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với hai đường chéo $d,e>0$ cùng đơn vị, diện tích $S=de:2$. Nếu biết S và d, tìm $e=2S:d$. Chu vi cần độ dài cạnh $a$, dùng $P=4a$; không tự lấy $2(d+e)$ làm chu vi.

Đổi cùng đơn vị trước nhân; đơn vị diện tích là đơn vị vuông. Trong các bài này, không cần tìm cạnh từ hai đường chéo bằng một định lí chưa học. Nếu đề chưa cho thông tin đủ cho cách tính đã học, ghi rõ phần thiếu thay vì tự gán độ dài.

Ví dụ 5. Tìm đường chéo thiếu

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi $S=30$ cm², một đường chéo 10 cm. Tìm đường chéo còn lại.

Bắt đầu từ đâu?

Nhân diện tích với 2 trước rồi chia đường chéo đã biết.

Gợi ý để em tự tìm

$10\times e=60$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Từ $10e:2=30$, suy ra $10e=60$ rồi $e=60:10=6$ cm.

2. Kiểm $10\times6:2=30$ cm²; đường chéo cần tìm dương.

Tự kiểm

Không dùng $30:10=3$ cm vì đã quên hệ số 2.

Ví dụ 6. Chỉ một đường chéo gấp đôi

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi có đường chéo 6 cm và 8 cm. Một hình thoi khác có đường chéo 12 cm và 8 cm. So S.

Bắt đầu từ đâu?

Chỉ một thừa số trong công thức được nhân 2.

Gợi ý để em tự tìm

Không đồng thời gấp đôi mọi chiều dài.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hình đầu $S_1=6\times8:2=24$ cm²; hình sau $S_2=12\times8:2=48$ cm².

2. $S_2:S_1=48:24=2$, nên S gấp đôi. Chưa được dùng kết quả này để nói chu vi cũng gấp đôi.

Tự kiểm

Câu hỏi thay một đường chéo, không phải phóng to toàn hình theo cùng hệ số.

Ví dụ 7. Mọi chiều dài cùng gấp đôi

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi đường chéo 6 cm, 8 cm, cạnh 5 cm được phóng to với mọi độ dài gấp 2. Tính S, P trước và sau.

Bắt đầu từ đâu?

Cả hai thừa số đường chéo đều gấp 2.

Gợi ý để em tự tìm

Sau đổi, hai đường chéo dài $12$ cm và $16$ cm, cạnh dài $10$ cm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ban đầu $S_1=6\times8:2=24$ cm², $P_1=4\times5=20$ cm. Sau phóng $S_2=12\times16:2=96$ cm², $P_2=4\times10=40$ cm.

2. S gấp $96:24=4$ lần, P gấp $40:20=2$ lần. Hai đại lượng không cùng hệ số thay đổi.

Tự kiểm

Diện tích có hai thừa số độ dài, chu vi là tổng độ dài.

Ví dụ 8. Đường chéo không phải cạnh đường bao

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình thoi đường chéo $6$ cm, $8$ cm, cạnh $5$ cm. Bạn tính $P=2(6+8)$. Sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Đường bao gồm bốn cạnh 5 cm.

Gợi ý để em tự tìm

Hai đường chéo nằm trong hình.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chu vi đúng $P=4\times5=20$ cm.

2. Phép $2(6+8)=28$ cm đã dùng độ dài đường chéo như hai cạnh kề. Diện tích mới dùng $6\times8:2=24$ cm².

Tự kiểm

Có đủ dữ kiện cạnh thì tính P trực tiếp, không thay bằng tổng đường chéo.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm mọi kích thước theo cận

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Hình thoi có hai đường chéo 2n cm và 6 cm, n nguyên từ 1 đến 5. Tìm mọi n để S lớn hơn 12 và không quá 24 cm².

Bắt đầu từ đâu?

Diện tích bằng 6n.

Gợi ý để em tự tìm

Hai cận cho $2<n\le4$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $S=(2n)\times6:2=6n$. Điều kiện $12<6n\le24$ tương đương $2<n\le4$.

2. Nhận $n=3;4$, cho $S=18;24$ cm². $n=2$ chỉ cho đúng 12 nên loại.

Tự kiểm

Không bỏ phép chia 2 khi đưa diện tích về biểu thức theo n.

Ví dụ 10. Liệt kê đường chéo nguyên

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Hình thoi $S=24$ cm², hai đường chéo nguyên dương, đường thứ nhất không ngắn hơn đường thứ hai, mỗi đường không quá 12 cm. Tìm mọi cặp.

Bắt đầu từ đâu?

Tích hai đường chéo bằng 48.

Gợi ý để em tự tìm

Liệt kê các cặp ước của 48 rồi kiểm cận 12.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các cặp d, e với $d\ge e>0$, $de=48$ là $(48;1),(24;2),(16;3),(12;4),(8;6)$ cm.

2. Giữ cả hai đường không quá 12 cm, nhận $(12;4)$ và $(8;6)$. Mỗi cặp cho $S=24$ cm² theo công thức.

Tự kiểm

Đã liệt kê hết cặp ước trong miền; không đòi hai đường chéo bằng nhau.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi có hai đường chéo dài $8$ cm và $6$ cm. Tính diện tích.

Gợi ý bài 1

Lấy nửa tích 8 cm và 6 cm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $S=8\times6:2=48:2=24$ cm².

2. Kiểm $2\times24=8\times6=48$. Hai số đo đã cùng cm.

Tự kiểm

Đừng giữ 48 cm² là đáp số cuối.

Bài 2

Tự luyện có hướng dẫn

Hai đường chéo hình thoi dài $10$ cm và $24$ cm; cạnh dài $13$ cm. Tính diện tích và chu vi.

Gợi ý bài 2

Phân biệt cạnh 13 cm với hai đường chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Diện tích $S=10\times24:2=120$ cm².

2. Chu vi $P=4\times13=52$ cm. Công thức S không dùng 13 thay một đường chéo.

Tự kiểm

Ghi đủ hai đại lượng và đúng đơn vị.

Bài 3

Tự luyện có hướng dẫn

Hai đường chéo hình thoi dài $1{,}2$ m và $80$ cm. Tính diện tích bằng m².

Gợi ý bài 3

Đổi 80 cm thành 0,8 m.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $80$ cm $=0{,}8$ m.

2. $S=1{,}2\times0{,}8:2=0{,}96:2=0{,}48$ m².

Tự kiểm

Theo cm, diện tích $120\times80:2=4800$ cm², tức $4800:10000=0{,}48$ m².

Bài 4

Tự luyện có hướng dẫn

Bạn lấy $8 \times 6 = 48$ cm² làm diện tích hình thoi có hai đường chéo $8$ cm và $6$ cm. Thiếu bước nào?

Gợi ý bài 4

48 là tích, diện tích còn phải chia 2.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Công thức đúng là $S=8\times6:2=24$ cm².

2. Bạn thiếu bước chia $2$; không dùng công thức hình chữ nhật với hai đường chéo của hình thoi.

Tự kiểm

Kiểm diện tích đúng nhân 2 khôi phục tích 48.

Bài 5

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi có đường chéo 7,5 cm và 4 cm. Tính S.

Gợi ý bài 5

Nhân rồi chia 2.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $S=7{,}5\times4:2=30:2=15$ cm².

2. Kiểm $2S=30=7{,}5\times4$.

Tự kiểm

Không ghi 15 cm vì đây là diện tích.

Bài 6

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi $S=42$ cm², một đường chéo 12 cm. Tìm đường chéo kia.

Gợi ý bài 6

Tích hai đường chéo là 84.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Từ $12e:2=42$, có $12e=84$.

2. $e=84:12=7$ cm; kiểm $12\times7:2=42$ cm².

Tự kiểm

Đường chéo là độ dài nên đơn vị cm.

Bài 7

Tự luyện có hướng dẫn

Hai đường chéo hình thoi 60 mm và 80 mm. Tính S bằng cm².

Gợi ý bài 7

Đổi về 6 cm và 8 cm trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $60$ mm $=6$ cm,$80$ mm $=8$ cm.

2. $S=6\times8:2=24$ cm². Tương đương 2400 mm², mỗi cm² bằng 100 mm².

Tự kiểm

Đơn vị vuông đổi bằng bình phương hệ số độ dài.

Bài 8

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi cạnh 3 cm. Tính P; để dùng công thức S từ hai đường chéo, cần biết thêm gì?

Gợi ý bài 8

Cạnh đủ cho P nhưng không là hai đường chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $P=4\times3=12$ cm.

2. Để dùng $S=de:2$, cần biết độ dài hai đường chéo d, e hoặc dữ kiện đủ xác định tích của chúng. Chưa có các dữ kiện ấy thì không tự dùng $3\times3:2$ làm S.

Tự kiểm

Không phải mọi hình thoi cạnh 3 cm đều là hình vuông cạnh 3 cm.

Bài 9

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi có hai đường chéo năm phần hai mét và bốn phần năm mét. Tính S chính xác.

Gợi ý bài 9

Nhân hai phân số rồi chia 2.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $S=\frac52\times\frac45:2=2:2=1$ m².

2. Kiểm tích hai đường chéo bằng 2 m², nên nửa tích bằng 1 m².

Tự kiểm

Không chia một đường chéo cho đường kia; S dùng tích.

Bài 10

Tự luyện có hướng dẫn

Hình thoi có cạnh 5 cm, hai đường chéo 6 cm và 8 cm. Bạn lấy $5\times5\div2=12{,}5$ cm² làm S. Sửa.

Gợi ý bài 10

Nửa tích phải dùng hai đường chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Diện tích đúng $S=6\times8:2=24$ cm².

2. Tích $5\times5$ dùng hai cạnh, không phải hai đường chéo; phép chia 2 đúng chỗ chưa cứu được bộ số đo sai vai trò.

Tự kiểm

Cạnh $5$ cm dùng được cho chu vi $P=4\times5=20$ cm, nhưng không thay dữ kiện đường chéo trong công thức diện tích.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Hình thoi có đường chéo n cm và 8 cm, n nguyên từ 1 đến 6. Tìm mọi n cho S nhỏ hơn 20 cm².

Gợi ý bài 11

Dùng $S=4n$ và cận nghiêm ngặt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $S=n\times8:2=4n<20$, nên $n<5$.

2. Nhận $n=1;2;3;4$. $n=5$ cho đúng 20 bị loại,$n=6$ vượt cận.

Tự kiểm

Giữ hai đường chéo dương trong miền đã cho.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Với hình thoi có đường chéo d, $e>0$, so diện tích khi gấp đôi chỉ d với khi gấp đôi cả d và e.

Gợi ý bài 12

Viết hai công thức theo S ban đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Ban đầu $S=de:2$. Chỉ gấp d cho $S_1=(2d)e:2=2S$.

2. Gấp cả hai cho $S_2=(2d)(2e):2=4S$. Vì $S>0$, hai cách cho hệ số 2 và 4 khác nhau; không gọi cả hai là phóng toàn hình gấp 2.

Tự kiểm

Quan hệ được giải thích cho mọi d, e dương, không chỉ từ một ví dụ số.

6. Tự kiểm sau khi học

Hình thang dùng tổng hai đáy và chiều cao rồi chia 2; không trộn công thức ấy với nửa tích hai đường chéo hình thoi.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Chu vi và diện tích các hình phẳng đặc biệt. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.