Tính tổng nhiều số nguyên và tự kiểm

Cộng và trừ số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-11-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tính tổng nhiều số nguyên với các cách nhóm hợp lệ.
• Tìm số hạng chưa biết, kiểm lại, và phân biệt đáp số đúng với một bước thêm/bớt dữ liệu chưa hợp lệ.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Trong $(-18)+7+18+(-2)$, cặp $-18,18$ có thể bù nhau, nhưng vẫn còn $7,-2$. Thay cặp bằng $0$ không làm toàn tổng tự bằng $0$.

Khi đổi chỗ hoặc nhóm trong một tổng, mỗi số hạng phải giữ cả giá trị có dấu và số lần xuất hiện. Nếu muốn xuất hiện một phần chưa được viết, cần tạo nó bằng một phép biến đổi rõ ràng, chẳng hạn tách $8=5+3$.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Tính lần lượt khi chưa thấy cặp thuận tiện

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-4)+7+(-2)$ từ trái sang phải.

Bắt đầu từ đâu?

Tính hai số đầu rồi giữ nguyên số hạng còn lại có dấu.

Gợi ý để em tự tìm

$(-4)+7=3$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(-4)+7=3$ vì phần dương vượt phần âm ba đơn vị.

2. $3+(-2)=1$, nên toàn tổng bằng $1$.

Tự kiểm

Đã dùng đủ ba số hạng; kết quả trung gian $3$ chưa là kết quả cuối.

Ví dụ 2. Ghép cặp số đối ở hai vị trí xa nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính thuận tiện $(-18)+7+18+(-2)$. Sau khi ghép một cặp đối, còn phần nào?

Bắt đầu từ đâu?

Đổi chỗ giữ cả dấu và đủ từng số hạng.

Gợi ý để em tự tìm

Cặp $-18,18$ cho $0$; còn $7+(-2)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm $[(-18)+18]+[7+(-2)]=0+5=5$.

2. Kiểm theo trái sang phải: $(-18)+7=-11$, $(-11)+18=7$, $7+(-2)=5$.

Tự kiểm

Cặp đối chỉ thay bằng $0$, không xóa cả hai số hạng còn lại.

Ví dụ 3. Gộp nhóm dương và nhóm âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $25+(-8)+(-12)+5$ bằng hai nhóm dấu.

Bắt đầu từ đâu?

Gộp các lượng cùng dấu để giảm số phép cộng khác dấu.

Gợi ý để em tự tìm

Dương $25+5$, âm $(-8)+(-12)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm dương $25+5=30$; nhóm âm $(-8)+(-12)=-20$.

2. Tổng $30+(-20)=10$.

Tự kiểm

Độ lớn dương $30$ vượt âm $20$ nên kết quả dương, kiểm đúng dấu.

Ví dụ 4. Giữ số ngoài cặp đã triệt tiêu

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn nhận $(-6)+9+6=0$ vì có hai số đối $-6,6$. Sửa và chỉ phần còn lại.

Bắt đầu từ đâu?

Số $9$ chưa được dùng vào cặp đối.

Gợi ý để em tự tìm

$[(-6)+6]+9=0+9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm hai số đối cho $(-6)+6=0$.

2. Còn số hạng $9$, nên toàn tổng bằng $0+9=9$, không phải $0$.

Tự kiểm

Đếm đủ ba lần xuất hiện, không chỉ hai số dễ ghép.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Phép cộng số nguyên có giao hoán $a+b=b+a$ và kết hợp $(a+b)+c=a+(b+c)$. Có thể nhóm số đối, nhóm phần dương/âm hoặc tính từ trái sang phải. Các cách hợp lệ giữ đủ mọi số hạng và dấu.

Hai số đối có tổng $0$, kể cả $0+0=0$. Tìm số hạng chưa biết có thể đảo thao tác cộng để quay về điểm đầu, rồi phải thay vào biểu thức gốc kiểm. Một kết quả trùng đáp án không xác nhận một bước tự thêm số chưa có trong đề.

Ví dụ 5. Hai cặp đối dùng hết bốn số hạng

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $7+(-7)+5+(-5)$ và kiểm có số nào còn ngoài cặp không.

Bắt đầu từ đâu?

Chia bốn vị trí thành hai cặp, không dùng một vị trí hai lần.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi cặp là một số và số đối của nó.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $7+(-7)=0$ và $5+(-5)=0$.

2. Toàn tổng $0+0=0$; bốn số hạng đã được dùng đúng một lần, không có phần còn.

Tự kiểm

Lần này được kết quả $0$ vì cặp phủ hết danh sách, khác ví dụ còn số hạng $9$.

Ví dụ 6. Tạo cặp đối sau khi gộp

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $50+(-37)+(-13)$. Chưa có số hạng $-50$ viết sẵn, có thể xuất hiện bằng cách hợp lệ không?

Bắt đầu từ đâu?

Gộp hai số âm trước sẽ tạo một số đối với $50$.

Gợi ý để em tự tìm

$(-37)+(-13)=-50$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gộp hai số âm $(-37)+(-13)=-(37+13)=-50$.

2. Khi đó tổng $50+(-50)=0$. Số $-50$ là kết quả của hai số hạng có thật, không phải tự thêm.

Tự kiểm

Giữ đủ độ lớn $37+13=50$ khi thay hai số hạng bằng một số.

Ví dụ 7. Tìm số hạng còn thiếu rồi kiểm

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm số nguyên $x$ để $x+(-9)=5$ và thay lại kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Đi ngược thao tác cộng $-9$, tức đi phải chín bước từ kết quả.

Gợi ý để em tự tìm

$x=5+9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Từ điểm đầu $x$ đi trái chín đơn vị tới $5$; đảo lại từ $5$ đi phải chín đơn vị được $x=5+9=14$.

2. Thay vào: $14+(-9)=5$, đúng yêu cầu.

Tự kiểm

Đã kiểm giá trị có dấu trong phương trình gốc, không chỉ tính $5+9$ rồi dừng.

Ví dụ 8. Đáp số đúng chưa bảo đảm bước ghép đúng

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn tính $(-5)+8+(-3)=0$ bằng cách ghép $-5$ với $5$, nhưng đề không có số hạng $5$. Hãy kiểm bằng số hạng thực và nêu cách tách $8$ hợp lệ nếu muốn dùng cặp đó.

Bắt đầu từ đâu?

Có thể tính tuần tự, hoặc thay toàn bộ $8$ bằng $5+3$ trước khi ghép.

Gợi ý để em tự tìm

Không được tự thêm $5$ mà vẫn giữ nguyên cả số $8$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tính theo số hạng thực: $(-5)+8=3$, rồi $3+(-3)=0$. Đáp số $0$ đúng.

2. Muốn ghép với $5$, phải viết $8=5+3$, nên tổng thành $(-5)+5+3+(-3)$.

3. Nhóm $[(-5)+5]+[3+(-3)]=0+0=0$. Cách này đã thay $8$ đúng giá trị, không tạo thêm một số hạng độc lập.

Tự kiểm

Đã phân biệt đúng kết quả với một lập luận chưa đủ; không xác nhận bước tự thêm chỉ vì đáp số trùng.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm đủ giá trị nhờ nhóm trước

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Cho $x$ nguyên từ $-4$ đến $4$. Tìm mọi $x$ để $0\le(-3)+x+3+(-1)\le2$.

Bắt đầu từ đâu?

Nhóm hai số đối đã biết để thấy kết quả chỉ còn $x-1$.

Gợi ý để em tự tìm

Kết quả nguyên hợp lệ là $0,1,2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm $[(-3)+3]+[x+(-1)]=x-1$. Điều kiện yêu cầu kết quả nguyên chỉ có thể là $0,1,2$.

2. Đi ngược phép trừ $1$, các số đầu $x$ là $1,2,3$. Cả ba thuộc miền từ $-4$ đến $4$.

3. Kiểm các biểu thức còn $1-1=0$, $2-1=1$, $3-1=2$; đã bao quát mọi kết quả hợp lệ nên đủ.

Tự kiểm

Nhận cả hai mốc $0,2$ của tổng, không nhầm chúng thành mốc của $x$.

Ví dụ 10. Bỏ dấu đối làm mất tính không đổi

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với số nguyên $n$ bất kỳ, tính $S=n+(-n)+(-4)+9$. Nếu thay số hạng $-n$ bằng $n$, tổng mới có luôn bằng $S$ không? Tìm khi nào vẫn bằng.

Bắt đầu từ đâu?

Biểu thức đầu có cặp đối với mọi $n$; biểu thức sau chỉ còn hai số cùng giá trị $n$.

Gợi ý để em tự tìm

$S=5$, tổng mới là $n+n+5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm $n+(-n)=0$, được $S=0+[(-4)+9]=5$ với mọi số nguyên $n$.

2. Sau khi thay, tổng mới là $n+n+5$. Nếu $n>0$, phần $n+n>0$ nên tổng lớn hơn $5$; nếu $n<0$, phần ấy âm nên tổng nhỏ hơn $5$.

3. Chỉ khi $n=0$ thì $n+n=0$, tổng mới vẫn bằng $S=5$. Việc bỏ dấu âm của một số hạng không giữ giá trị nói chung.

Tự kiểm

Đã xét ba nhóm dấu và chỉ ra trường hợp đặc biệt, không kiểm vài số rồi suy mọi $n$.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tính $(-23)+14+23+(-4)$.

Gợi ý bài 1

Nhóm số đối $-23,23$ và giữ $14,-4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $[(-23)+23]+[14+(-4)]=0+10$.

2. Tổng bằng $10$.

Tự kiểm

Đã dùng đủ bốn số hạng, cặp đối không làm $14,-4$ biến mất.

Bài 2

Cốt lõi

Tính $35+(-18)+(-12)+5$.

Gợi ý bài 2

Gộp dương và âm thành hai tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Dương $35+5=40$; âm $(-18)+(-12)=-30$.

2. Tổng $40+(-30)=10$.

Tự kiểm

Kiểm theo thứ tự: $35+(-18)=17$, $17+(-12)=5$, $5+5=10$.

Bài 3

Cốt lõi

Tìm $x$ biết $x+(-7)=12$; thay vào kiểm.

Gợi ý bài 3

Đảo thao tác đi trái bảy bước từ điểm đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Từ kết quả $12$ đi phải bảy bước để về số đầu, được $x=12+7=19$.

2. Thay $19+(-7)=12$, đúng phương trình.

Tự kiểm

Yêu cầu thay lại đã thực hiện với chính giá trị có dấu, không bỏ phần kiểm.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn tính $(-5)+8+(-3)$ bằng $0$ sau khi ghép $-5$ với $5$, nhưng đề không có số $5$. Hãy kiểm kết quả bằng các số hạng thực.

Gợi ý bài 4

Tính tuần tự, hoặc tách đúng $8=5+3$ trước khi ghép.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Theo số hạng thực, $(-5)+8=3$, rồi $3+(-3)=0$. Kết quả $0$ đúng nhưng bước ghép ban đầu cần giải thích.

2. Có thể thay $8$ bằng $5+3$ và viết $[(-5)+5]+[3+(-3)]=0$. Không tự thêm $5$ rồi vẫn giữ nguyên $8$.

Tự kiểm

Đã kiểm giá trị và sửa lập luận, không coi đáp số đúng là đủ xác nhận mọi bước.

Bài 5

Cốt lõi

Tính $(-12)+5+12+(-1)$.

Gợi ý bài 5

Nhóm hai số đối và giữ phần còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $[(-12)+12]+[5+(-1)]=0+4$.

2. Kết quả $4$.

Tự kiểm

Các số $5,-1$ đều được dùng sau khi cặp đối triệt tiêu.

Bài 6

Cốt lõi

Tính $18+(-7)+(-11)+2$.

Gợi ý bài 6

Gộp hai số âm thành số đối của $18$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $(-7)+(-11)=-18$.

2. Tổng $18+(-18)+2=0+2=2$.

Tự kiểm

Không bỏ số hạng cuối $2$.

Bài 7

Cốt lõi

Tính $(-4)+9+(-6)+1$.

Gợi ý bài 7

Gộp phần dương và phần âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Phần dương $9+1=10$, phần âm $(-4)+(-6)=-10$.

2. Tổng $10+(-10)=0$.

Tự kiểm

Đã ghép đủ cả bốn số hạng đúng dấu.

Bài 8

Cốt lõi

Tính $100+(-35)+(-65)$.

Gợi ý bài 8

Gộp hai số âm trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $(-35)+(-65)=-(35+65)=-100$.

2. Tổng $100+(-100)=0$.

Tự kiểm

Số $-100$ được tạo từ hai số hạng đã có, không phải thêm vào ngoài đề.

Bài 9

Cốt lõi

Tìm $x$ để $x+(-5)=-3$, rồi kiểm.

Gợi ý bài 9

Đi ngược bước trái năm đơn vị từ kết quả $-3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $x=(-3)+5=2$.

2. Kiểm $2+(-5)=-3$, đúng tổng cần có.

Tự kiểm

Không tự cho rằng số đầu phải âm chỉ vì kết quả âm.

Bài 10

Cốt lõi

Tìm $x$ để $x+8=-2$, rồi kiểm.

Gợi ý bài 10

Từ kết quả đi trái tám đơn vị để về điểm đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $x=(-2)+(-8)=-10$.

2. Kiểm $(-10)+8=-2$.

Tự kiểm

Đã giữ hướng ngược thao tác cộng dương và dấu âm của kết quả đầu.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Cho $t$ nguyên từ $-3$ đến $3$. Tìm mọi $t$ để $7+t+(-7)+2>0$.

Gợi ý bài 11

Nhóm hai số đối trước để còn $t+2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $[7+(-7)]+(t+2)=t+2$. Với $t=-3,-2,-1,0,1,2,3$, các tổng lần lượt $-1,0,1,2,3,4,5$.

2. Nhận đủ $t=-1,0,1,2,3$ cho tổng dương; loại $-2$ vì chỉ cho $0$ và $-3$ vì âm.

Tự kiểm

Đã kiểm dấu nghiêm của điều kiện sau khi nhóm, không loại $t=0$ khi tổng vẫn dương.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Một danh sách gồm năm lần xuất hiện của các số nguyên. Biết bốn vị trí có thể ghép thành hai cặp số đối, mỗi vị trí dùng đúng một lần, còn số ở vị trí thứ năm là $-3$. Tính tổng và cho một ví dụ có cặp $0,0$.

Gợi ý bài 12

Hai cặp đối đều có tổng $0$, kể cả cặp tự đối $0,0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Tổng của bốn vị trí ghép cặp là $0+0=0$, nên cả danh sách có tổng $0+(-3)=-3$.

2. Ví dụ phù hợp là $0,0,2,-2,-3$: ghép hai số $0$ ở hai vị trí khác nhau và ghép $2,-2$.

3. Tổng ví dụ $0+0+2+(-2)+(-3)=-3$, giữ đủ năm lần xuất hiện. Không dùng một vị trí để tạo hai cặp khác nhau.

Tự kiểm

Đã phân biệt giá trị trùng với vị trí xuất hiện, nên cặp $0,0$ hợp lệ khi danh sách có hai lần $0$.

6. Tự kiểm sau khi học

Áp dụng phép cộng/trừ vào nhiệt độ, tầng nhà và số dư giả định, luôn phân biệt giá trị ban đầu, thay đổi và giá trị cuối.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.