Đến nội dung chính

Vẽ biểu đồ cột kép từ bảng hai nhóm lớp 6

THCSLớp 6Thu thập và biểu diễn dữ liệuMở mô-đun

Biểu đồ cột kép và so sánh hai nhóm · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-44-B3

Bảng hai nhóm và ba mục cần sáu giá trị đặt đúng ô. Em chuẩn bị bố cục theo mục, dùng chú giải theo nhóm, giữ dữ liệu lẻ/thiếu và kiểm từng cặp cùng hai tổng.

Sau bài này, em có thể:

  • Vẽ đủ cột theo bảng với một thang và chú giải nhất quán.
  • Kiểm lỗi bù dù hai tổng khớp; nhận khi chỉ có tổng chưa khôi phục được sáu ô.

Cần biết trước: Cột đơn; thang từ không; đọc hai nhãn và bảng hai nhóm.

Cách học: Chuẩn bị vở và bút. Bắt đầu từ tình huống, dự đoán rồi mở gợi ý trước khi xem lời giải. Hai lời giải đầu được mở sẵn để em làm quen cách trình bày. Có thể chia bài thành nhiều lượt; hai ví dụ cuối và hai bài cuối là tự chọn.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Khung nguồn đã có A, B, C trên trục ngang, chú giải Nhóm 1, Nhóm 2 và thang bước hai vật từ không tới mười hai, nhưng chưa có các cột dữ liệu. Mỗi mục cần hai cột theo hai nhóm, tổng sáu ô. Em dùng khung hoặc giấy riêng theo cùng cấu trúc; chỗ trống chỉ là chưa vẽ, không phải ba mục đều bằng không.

Khung cột kép có nhãn và chú giải nhưng chưa có các cột dữ liệu; trống không phải dữ liệu 0.
Khung cột kép có nhãn và chú giải nhưng chưa có các cột dữ liệu; trống không phải dữ liệu 0. Giả thiết của mô hình được nêu bằng lời; không suy số đo từ kích thước ảnh.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Sáu ô cần sáu cột tương ứng

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $4$, B $8$, C $6$ vật; II A $6$, B $4$, C $10$. Nêu bố cục cột kép và kiểm đủ dữ liệu.

Bắt đầu từ đâu?

Ba cụm mục, mỗi cụm có hai cột nhóm.

Gợi ý để em tự tìm

Không đặt hai nhóm thành chỉ hai cột tổng.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Kẻ trục ngang A, B, C; trục đứng cùng thang từ không tới ít nhất $10$, đơn vị vật. Chọn mẫu xanh I, xám II, ghi chú giải.

  2. Tại A vẽ xanh $4$, xám $6$; B xanh $8$, xám $4$; C xanh $6$, xám $10$, cùng rộng và cùng thang.

Tự kiểm

Có $3\times2=6$ cột; kiểm từng cặp nhãn–giá trị với bảng, không chỉ đếm đủ sáu.

Ví dụ 2. Tổng theo mẫu màu

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $3$, B $7$, C $5$ quyển; II A $5$, B $4$, C $9$. Tính tổng dùng để kiểm cột.

Bắt đầu từ đâu?

Cộng ba cột cùng nhóm.

Gợi ý để em tự tìm

Không cộng theo cột trái nếu thứ tự chưa được thống nhất.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Tổng I $3+7+5=15$, II $5+4+9=18$ quyển.

  2. Sau vẽ kiểm cả hai tổng và sáu ô; một tổng đúng vẫn có thể chứa các giá trị bị đổi nhãn.

Tự kiểm

Tổng hai nhóm $15;18$ không thay sáu dữ liệu gốc.

Ví dụ 3. Một ô chưa biết trong bảng

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $4$, B $6$, C $8$ chai; II A $5$, B chưa biết, C $9$. Hướng dẫn vẽ ô thiếu.

Bắt đầu từ đâu?

Giữ nhãn mục và nhóm, không tạo chiều cao giả.

Gợi ý để em tự tìm

Có năm lượng biết, một trạng thái thiếu.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Vẽ năm cột đã biết đúng thang; riêng B-II ghi chưa có dữ liệu, không vẽ chiều cao bằng không hoặc sao số sáu của nhóm I.

  2. Khi có giá trị nguồn mới điền B-II và kiểm lại; chú giải vẫn có đủ hai nhóm trong mọi mục.

Tự kiểm

Thiếu một cột dữ liệu không có nghĩa bỏ cả nhóm khỏi bảng.

Ví dụ 4. Dữ liệu không ở vạch vẫn giữ số

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $5$, B $8$; II A $7$, B $6$ quyển. Trục chung từ không bước hai quyển. Có cần làm tròn năm, bảy không?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng vị trí giữa vạch hoặc chọn bước một.

Gợi ý để em tự tìm

Năm giữa bốn/sáu, bảy giữa sáu/tám.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Đỉnh I-A đặt đúng giữa $4;6$; II-A giữa $6;8$; I-B ở $8$, II-B ở $6$.

  2. Giữ $5;8;7;6$ và chú giải nhóm, không đổi thành số chẵn; có thể dùng bước một để đơn giản hóa vẽ.

Tự kiểm

Chọn thang phải phục vụ dữ liệu chứ không làm mất dữ liệu.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Vẽ một cụm cho mỗi mục, hai cột cho hai nhóm trong cụm; giữ cùng thứ tự/mẫu theo chú giải và một thang/đơn vị chung từ không. Đặt đỉnh theo giá trị gốc, không làm tròn cho vạch. Dữ liệu thiếu ghi rõ khác không đã xác nhận. Kiểm từng ô và tổng mỗi nhóm; chỉ biết hai tổng chưa đủ vẽ chính xác các cặp theo mục.

Ví dụ 5. Dùng khung theo đúng hai vai trò nhãn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Khung nguồn có ba mục A, B, C trên trục ngang và chú giải Nhóm 1, Nhóm 2. Khi vẽ từ bảng ba mục/hai nhóm, các nhãn này đóng vai trò gì và cần bố trí bao nhiêu cột?

Bắt đầu từ đâu?

Các mục tạo cụm cột, các nhóm được nhận bằng mẫu chú giải.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi mục có hai cột, cùng thang đứng và đơn vị vật.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Giữ ba nhãn A, B, C trên trục ngang để tạo ba cụm; đọc chú giải mẫu màu Nhóm 1, Nhóm 2 để chọn đúng hai cột trong mỗi cụm.

  2. Mỗi cụm dựng hai cột theo hai ô của bảng ở mục ấy, cùng thang đứng từ không và đơn vị vật. Có $3\times2=6$ cột cần đối chiếu; không thay ba mục bằng hai tổng nhóm.

Tự kiểm

Khung nguồn đã có đủ các nhãn và chú giải nhưng chưa có cột dữ liệu; chỗ trống chưa là số không đã xác nhận.

Ví dụ 6. Giữ thứ tự cột để dễ kiểm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $2$, B $6$, C $4$ cây; II A $4$, B $5$, C $7$. Đề xuất một thứ tự cột nhất quán và bảng kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Thứ tự giúp đọc nhưng vẫn cần chú giải.

Gợi ý để em tự tìm

Dùng I trái, II phải ở cả ba cụm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Quy ước xanh I ở trái, xám II ở phải, ghi chú giải; ba cặp từ trái qua phải theo A, B, C là $(2;4),(6;5),(4;7)$.

  2. Dựng theo thang chung từ không rồi đối chiếu lại từng cặp, kiểm tổng I $2+6+4=12$, II $4+5+7=16$ cây.

Tự kiểm

Đừng đổi vị trí theo cột cao thấp làm chú giải khó theo.

Ví dụ 7. Bài vẽ cần sản phẩm thật

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Chưa có khảo sát. Nêu kế hoạch lấy số sách hai nhóm ở ba loại rời rồi lập cột kép để nộp.

Bắt đầu từ đâu?

Xác định phạm vi, đơn vị và bảng sáu ô trước.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi sách thuộc đúng một loại trong từng nhóm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Chọn hai nhóm và ba loại rời, cùng mốc thời gian; đếm thật, ghi bảng sáu ô và trạng thái thiếu, lưu tiêu chí/bản gốc.

  2. Kẻ ba cụm loại, hai mẫu nhóm, thang/đơn vị chung từ không; vẽ theo số đã thu, kiểm từng ô và tổng từng nhóm.

  3. Sau thực hiện nộp bảng gốc và biểu đồ; hiện là kế hoạch, không lấy sáu số mẫu trong ví dụ làm kết quả quan sát.

Tự kiểm

Nhóm có sách trùng qua hai thời điểm thì không tự cộng hai tổng để đếm sách riêng.

Ví dụ 8. Một giá trị không đã xác nhận

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Mô hình I A $0$, B $4$ chai; II A $3$, B $0$ đã xác nhận. Vẽ thế nào để không lẫn với thiếu dữ liệu?

Bắt đầu từ đâu?

Hai số không vẫn có nhãn ô cụ thể.

Gợi ý để em tự tìm

Ghi giá trị không tại vị trí tương ứng.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Giữ hai cụm A, B và chú giải I, II; cột I-A và II-B có độ cao không, ghi $0$ đã xác nhận.

  2. Hai cột còn lại II-A ở $3$, I-B ở $4$ theo cùng thang; không xóa ô không khỏi bảng kiểm.

Tự kiểm

Không thấy cột nổi chỉ đọc thành không vì nguồn đã xác nhận, không vì suy từ chỗ trống.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Hai tổng đúng vẫn sai bốn ô

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bảng mô hình I A $4$, B $8$, C $6$; II A $6$, B $4$, C $10$ vật. Bản vẽ I $4;4;10$, II $6;8;6$. Kiểm hai tổng, tìm lỗi và sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Tổng trong mỗi nhóm có thể bù hai sai lệch.

Gợi ý để em tự tìm

So theo nhãn B và C ở từng nhóm.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Tổng gốc nhóm I là $4+8+6=18$, nhóm II là $6+4+10=20$ vật; bản vẽ cũng có hai tổng $4+4+10=18$ và $6+8+6=20$ vật.

  2. Nhưng B-I thiếu $4$, C-I thừa $4$; B-II thừa $4$, C-II thiếu $4$. Sửa B về $(8;4)$, C về $(6;10)$, giữ A $(4;6)$.

  3. Kiểm lại đủ sáu ô và hai tổng; tổng đúng chưa chứng minh bản vẽ đúng từng cặp.

Tự kiểm

Không thay bảng gốc theo hình để che lỗi đổi dữ liệu.

Ví dụ 10. Chỉ biết hai tổng không vẽ duy nhất

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Biết mô hình có ba mục A, B, C, hai nhóm nguyên dương, tổng I $18$, II $20$ vật. Nêu hai bảng sáu ô khác nhau phù hợp để thấy chưa thể vẽ chính xác từng cột.

Bắt đầu từ đâu?

Phân bổ cùng tổng theo nhiều cách.

Gợi ý để em tự tìm

Không tự chia đều rồi coi là nguồn.

Lời giải và cách tự kiểm

  1. Bảng I: nhóm I $(4;8;6)$, II $(6;4;10)$ theo A, B, C, tổng $18;20$.

  2. Bảng II: nhóm I $(6;6;6)$, II $(8;6;6)$, tổng cũng $18;20$, mọi ô dương nhưng các cột khác.

  3. Cần thêm sáu lượng theo mục hoặc ràng buộc đủ mạnh; hai tổng chưa cho duy nhất biểu đồ.

Tự kiểm

Hai bảng là mô hình bác suy luận, chưa phải dữ liệu thực của hai nhóm.

4. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Đặt hai nhóm thành hai cột tổng, làm mất ba mục. Ba mục thành ba cụm, mỗi cụm có hai cột và chú giải nhóm.
Giữ hai tổng rồi nhận mọi cột đúng hoặc lấy số mẫu điền ô thiếu. Đối chiếu đủ sáu ô với nguồn, giữ trạng thái chưa biết khi cần.

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Nhóm 1 có số vật A $4$, B $8$, C $6$; Nhóm 2 có A $6$, B $4$, C $10$. Dùng khung hoặc giấy riêng vẽ cột kép; ghi cách dùng chú giải.

Gợi ý bài 1

Dùng ba cụm A, B, C và chú giải hai nhóm của khung nguồn, hoặc vẽ trên giấy riêng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. Giữ ba mục A, B, C trên trục ngang của khung, thang bước hai vật từ không tới $12$; chú giải hai mẫu Nhóm 1, Nhóm 2. Nếu dùng giấy riêng, kẻ lại cùng cấu trúc và đơn vị vật.

  2. Dựng A $(4;6)$, B $(8;4)$, C $(6;10)$ theo thứ tự Nhóm 1 rồi Nhóm 2 ở mỗi cụm, đủ sáu cột cùng thang.

Tự kiểm

Khung nguồn có sẵn nhãn mục và chú giải; sau vẽ kiểm đúng sáu ô. Phần trên cột cao nhất ở $10$ tới mốc trục $12$ có thể để trống, không kéo cột lên cho đầy.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Kiểm tổng số vật của mỗi nhóm từ các cột em vừa vẽ.

Gợi ý bài 2

Cộng theo từng mẫu nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. Nhóm 1 có tổng $4+8+6=18$ vật.

  2. Nhóm 2 có tổng $6+4+10=20$ vật; sau tự vẽ đối chiếu cả sáu đỉnh/nhãn và hai tổng.

Tự kiểm

Lời giải mẫu chưa xác nhận thay việc em đã vẽ đúng sản phẩm.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Theo dữ liệu nhiệm vụ 1, mục nào Nhóm 1 nhiều hơn Nhóm 2 và hơn bao nhiêu?

Gợi ý bài 3

So cùng mục B.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. Mục B Nhóm 1 $8$, Nhóm 2 $4$ vật; A và C Nhóm 1 ít hơn Nhóm 2.

  2. Vì vậy chỉ mục B Nhóm 1 nhiều hơn, chênh $8-4=4$ vật.

Tự kiểm

Không dùng hai tổng nhóm để trả lời một mục.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Nếu ô C của Nhóm 2 chưa có số, có được giữ cột cao $10$ theo ví dụ để hình đủ sáu cột không?

Gợi ý bài 4

Thiếu ô không được lấy số ví dụ bù vào.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. Nếu C-Nhóm 2 chưa có số, ghi thiếu dữ liệu/chưa vẽ chiều cao ô này.

  2. Không giữ $10$ từ ví dụ hoặc đổi thành $0$ khi nguồn không xác nhận; giữ chú giải và vị trí ô để bổ sung sau.

Tự kiểm

Đẹp đủ sáu cột không là lí do tạo dữ liệu.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Mô hình I A $6$, B $4$, C $8$ quyển; II A $8$, B $6$, C $10$. Nêu cách vẽ sáu cột với thang hai quyển mỗi khoảng.

Gợi ý bài 5

Ba cụm mục, hai mẫu nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. Kẻ A, B, C trên ngang, thang $0;2;4;6;8;10$ quyển; chú giải I xanh, II xám, giữ cùng thứ tự trong mỗi cụm.

  2. Dựng các cặp $(6;8),(4;6),(8;10)$, kiểm mỗi ô với bảng và tổng I $18$, II $24$.

Tự kiểm

Không vẽ chỉ hai cột tổng cho bài so theo từng mục.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Mô hình I A $3$, B $5$; II A $7$, B $4$ vật, trục bước hai. Nêu cách giữ các số lẻ khi vẽ.

Gợi ý bài 6

Đỉnh có thể ở giữa hai vạch.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. Đặt $3$ giữa $2;4$; $5$ giữa $4;6$; $7$ giữa $6;8$; $4$ ở vạch bốn.

  2. Giữ nhãn nhóm, mục và cùng thang, hoặc đổi bước một; không làm tròn số lẻ thành chẵn.

Tự kiểm

Hai nửa khoảng phải tương ứng một đơn vị khi bước hai.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Mô hình I A $2$, B chưa biết; II A $0$ đã kiểm, B $6$ chai. Hướng dẫn ô B-I và A-II.

Gợi ý bài 7

Một ô thiếu, một ô không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. B-I ghi chưa có dữ liệu, chưa quyết chiều cao.

  2. A-II ghi $0$ chai đã xác nhận tại đáy; giữ cả mục và mẫu nhóm trong bảng kiểm.

Tự kiểm

Không lấy số hai ở A-I sao cho B-I đủ cột.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Mô hình I A $4$, B $6$, C $8$ cây; II A $6$, B $8$, C $10$. Tính tổng cần kiểm sau vẽ.

Gợi ý bài 8

Cộng đủ ba mục từng nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. Tổng I $4+6+8=18$, II $6+8+10=24$ cây.

  2. Kiểm các cặp $(4;6),(6;8),(8;10)$ và cả hai tổng; sáu ô đúng mới nhận biểu đồ.

Tự kiểm

Tổng đúng chưa loại được lỗi bù giữa hai mục.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Một khung cột kép đã ghi A, B, C trên trục ngang, chú giải hai nhóm và đơn vị vật. Nêu cách dùng khung để không biến bảng sáu ô thành hai cột tổng nhóm.

Gợi ý bài 9

Mỗi nhãn A, B, C cần một cặp cột theo hai nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. Giữ A, B, C thành ba cụm; tại mỗi cụm dựng hai cột có mẫu theo chú giải Nhóm 1, Nhóm 2, dùng một thang đứng từ không.

  2. Đối chiếu sáu cột theo sáu ô nguồn và hai tổng kiểm. Hai cột tổng chỉ trả lời câu hỏi tổng nhóm, chưa thay được các cặp theo từng mục.

Tự kiểm

Khung đã phù hợp; nhiệm vụ là điền đúng dữ liệu và giữ hai vai trò mục–nhóm, không tự đổi nhãn để vừa một cách vẽ khác.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Chưa có dữ liệu thật. Nêu kế hoạch lập cột kép hai nhóm ở ba loại sách để nộp, không nhận số mẫu là quan sát.

Gợi ý bài 10

Cần bảng gốc sáu ô.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. Xác định cùng mốc/đơn vị, hai nhóm và ba loại rời; đếm thật, giữ bảng sáu ô và trạng thái thiếu.

  2. Vẽ ba cụm loại, hai mẫu nhóm, thang chung từ không; sau thực hiện kiểm từng ô/tổng và nộp cùng bảng gốc.

Tự kiểm

Trước thực hiện chỉ có kế hoạch, chưa có sáu giá trị khảo sát đã xác nhận.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Bảng mô hình I $(2;6;4)$, II $(4;2;8)$ vật theo A, B, C. Bản vẽ I $(2;2;8)$, II $(4;6;4)$. Hai tổng đúng có nhận bản vẽ không?

Gợi ý bài 11

So bốn ô B, C.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. Tổng gốc nhóm I là $2+6+4=12$, nhóm II là $4+2+8=14$ vật. Bản vẽ cho nhóm I $2+2+8=12$, nhóm II $4+6+4=14$ vật. Nhưng B-I thiếu $4$, C-I thừa $4$, B-II thừa $4$, C-II thiếu $4$.

  2. Không nhận; sửa B thành $(6;2)$, C thành $(4;8)$, giữ A $(2;4)$ và kiểm đủ sáu ô.

Tự kiểm

Hai tổng chỉ kiểm gộp, không giữ mọi phân bổ.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Mô hình ba mục A, B, C, hai nhóm nguyên dương có tổng I $12$, II $18$. Cho hai bảng phù hợp khác nhau và kết luận về việc vẽ từ hai tổng.

Gợi ý bài 12

Phân bổ tổng theo ba hàng nhiều cách.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. Bảng I: I $(2;4;6)$, II $(4;6;8)$; bảng II: I $(4;4;4)$, II $(6;6;6)$.

  2. Hai bảng đều tổng $12;18$ và dương nhưng các cột khác; chưa vẽ duy nhất từng cặp từ hai tổng, cần bảng theo mục.

Tự kiểm

Không coi chia đều là quy tắc nguồn nếu đề chưa nêu.

6. Tự kiểm sau khi học

Sau khi biểu diễn đúng, kiểm mẫu chênh từng mục và phân biệt quy luật trên dữ liệu với dự đoán cho mục mới.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Biểu đồ cột kép và so sánh hai nhóm. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu