Chọn dấu hiệu tam giác bằng nhau thích hợp
Chứng minh hình học và đo qua vật cản · Toán lớp 7
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-41-B3
Dấu hiệu bằng nhau phải khớp toàn bộ cấu trúc dữ kiện. Ta đặc biệt kiểm góc xen giữa, thứ tự đỉnh và điều kiện hai tam giác vuông, rồi dùng phản ví dụ để thấy điều gì chưa đủ.
Sau bài này, em có thể:
- Lập luận bằng tam giác bằng nhau với đủ giả thiết và đối ứng.
- Kiểm quan hệ chính xác, số đo và giới hạn của một phương án.
Cần biết trước: Các dấu hiệu tam giác bằng nhau; góc đối đỉnh, kề bù, song song; số đo gần đúng cho phần thực hành.
Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Chọn dấu hiệu theo dữ kiện có thật: cạnh–cạnh–cạnh; cạnh–góc–cạnh với góc xen giữa; góc–cạnh–góc với cạnh xen giữa. Các dấu hiệu riêng của tam giác vuông cần xác nhận cả hai tam giác vuông và đúng các cặp cạnh, góc tương ứng. Hai cạnh với một góc không xen giữa không là dấu hiệu chung.
2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. Ba cạnh xác định dấu hiệu
Cơ bản
Đề bài
$AB=DE$, $BC=EF$, $CA=FD$. Chọn dấu hiệu chứng minh $ABC=DEF$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm ba cặp cạnh cùng thứ tự.
Lời giải từng bước
-
Ta có đủ ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
-
Dùng cạnh–cạnh–cạnh cho $\triangle ABC=\triangle DEF$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không cần thêm một góc nếu ba cạnh đã đủ.
Ví dụ 2. Góc xen giữa là mấu chốt
Cơ bản
Đề bài
$AB=DE$, $AC=DF$, $\angle BAC=\angle EDF$. Chọn dấu hiệu.
Nghĩ từ đâu?
Góc ở $A,D$ nằm giữa hai cạnh đã cho.
Lời giải từng bước
-
$AB,AC$ bao quanh góc $BAC$; $DE,DF$ bao quanh góc $EDF$.
-
Đủ cạnh–góc–cạnh, nên $ABC=DEF$ theo thứ tự ấy.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không đổi góc ở $A$ thành góc ở $B$ khi dùng dấu hiệu.
Ví dụ 3. Hai góc và cạnh xen giữa
Vận dụng
Đề bài
$\angle A=\angle D$, $AB=DE$, $\angle B=\angle E$. Chọn dấu hiệu.
Nghĩ từ đâu?
Cạnh $AB$ nằm giữa hai đỉnh có góc đã cho.
Lời giải từng bước
-
Hai cặp góc tương ứng bằng nhau và cạnh xen giữa $AB=DE$.
-
Dùng góc–cạnh–góc để chứng minh $ABC=DEF$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Giữ đúng cặp góc và đúng cạnh tương ứng.
Ví dụ 4. Dấu hiệu riêng của tam giác vuông
Vận dụng
Đề bài
$ABC,DEF$ vuông tại $A,D$, $BC=EF$, $AB=DE$. Chọn dấu hiệu và suy cạnh còn lại.
Nghĩ từ đâu?
Cạnh huyền không kề góc vuông ở đỉnh đã cho.
Lời giải từng bước
-
$BC,EF$ là hai cạnh huyền; $AB,DE$ là một cặp cạnh góc vuông.
-
Dùng cạnh huyền–cạnh góc vuông; suy ra $AC=DF$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cần cả hai tam giác vuông, không chỉ một tam giác.
Ví dụ 5. Góc không xen giữa
Vận dụng
Đề bài
$AB=DE$, $AC=DF$, $\angle ABC=\angle DEF$. Có đủ dùng cạnh–góc–cạnh không?
Nghĩ từ đâu?
Đánh dấu đúng hai cạnh đang xét.
Lời giải từng bước
-
Góc xen giữa $AB,AC$ là góc $BAC$, không phải $ABC$.
-
Góc đã cho không xen giữa, nên không đủ dùng dấu hiệu cạnh–góc–cạnh.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không coi mọi dữ kiện hai cạnh và một góc đều là dấu hiệu bằng nhau.
Ví dụ 6. Hai góc chưa đủ kích thước
Vận dụng
Đề bài
Hai tam giác đều có các góc bằng $60^\circ$, một tam giác cạnh $2$ cm, tam giác kia cạnh $3$ cm. Chúng có bằng nhau không?
Nghĩ từ đâu?
Góc bằng nhau chưa buộc cạnh bằng nhau.
Lời giải từng bước
-
Hai tam giác có góc tương ứng bằng nhau nhưng cạnh $2\ne3$ cm.
-
Chúng không bằng nhau; ví dụ này cho thấy chỉ dữ kiện góc không đủ xác định kích thước.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không nhầm “cùng dạng” với “bằng nhau” về mọi cạnh, góc tương ứng.
Ví dụ 7. Tìm dữ kiện bổ sung hợp lệ
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Đã có $AB=DE$ và $AC=DF$. Nêu hai cách bổ sung một dữ kiện để đủ chứng minh $ABC=DEF$.
Nghĩ từ đâu?
Một cách hoàn thành ba cạnh; cách kia hoàn thành góc xen giữa.
Lời giải từng bước
-
Bổ sung $BC=EF$ thì đủ cạnh–cạnh–cạnh.
-
Hoặc bổ sung $\angle BAC=\angle EDF$ thì đủ cạnh–góc–cạnh. Cả hai đều giữ thứ tự $A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Bổ sung một góc không xen giữa không phải cách hợp lệ thứ ba trong dấu hiệu đang dùng.
Ví dụ 8. Một phản ví dụ cho hai cạnh và góc không xen giữa
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Chọn $B,C,D$ trên một tia theo thứ tự $B,C,D$. Chọn $A$ trên trung trực $CD$ nhưng không thuộc đường thẳng $BCD$. Hai tam giác $ABC,ABD$ có hai cạnh và góc ở $B$ bằng nhau nhưng có bằng nhau không?
Nghĩ từ đâu?
Dùng $AC=AD$ từ trung trực, góc chung theo hai tia $BC,BD$ trùng nhau; kiểm cạnh còn lại.
Lời giải từng bước
-
$AB$ chung, $AC=AD$ và $\angle ABC=\angle ABD$ vì $BC,BD$ cùng một tia.
-
Nhưng $BC<BD$ do thứ tự $B,C,D$, nên hai tam giác không bằng nhau theo đối ứng $A\leftrightarrow A,B\leftrightarrow B,C\leftrightarrow D$.
-
Góc ở $B$ không xen giữa hai cạnh $AB,AC$ và $AB,AD$; cấu hình bác bỏ việc dùng hai cạnh–góc kiểu ấy như một dấu hiệu chung.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
$A$ phải không thuộc đường $BCD$ để hai tam giác không suy biến; vị trí trên trung trực bảo đảm $AC=AD$.
3. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Lấy điều cần chứng minh làm giả thiết hoặc suy chỉ từ hình trông giống nhau. | Chỉ dùng dữ kiện có trước và chỉ rõ căn cứ của từng đẳng thức. |
| Có hai cạnh bằng nhau là tự dùng cạnh–góc–cạnh. | Kiểm góc xen giữa và thứ tự các đỉnh. |
4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Cơ bản
$AB=DE$, $AC=DF$ và $\angle BAC=\angle EDF$. Dùng dấu hiệu nào để chứng minh $ABC=DEF$?
Gợi ý bài 1
Đọc góc giữa hai cạnh đã cho.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
$BAC$ xen giữa $AB,AC$; $EDF$ xen giữa $DE,DF$.
-
Vì hai cạnh và góc xen giữa tương ứng bằng nhau, dùng cạnh–góc–cạnh.
Tự kiểm
Giữ đúng thứ tự đỉnh trong kết luận.
Bài 2
Cơ bản
$AB=DE$, $AC=DF$ và $\angle ABC=\angle DEF$ nhưng không có điều kiện khác. Có thể dùng cạnh–góc–cạnh không?
Gợi ý bài 2
Góc xen giữa hai cạnh đã cho là góc ở đỉnh nào?
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
Góc xen giữa $AB,AC$ là góc $A$, giữa $DE,DF$ là góc $D$.
-
Góc ở $B,E$ đã cho không phải góc xen giữa, nên không dùng được dấu hiệu cạnh–góc–cạnh.
Tự kiểm
Trường hợp hai cạnh–góc không xen giữa không là dấu hiệu chung.
Bài 3
Cơ bản
Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. Dùng dấu hiệu nào?
Gợi ý bài 3
Cả hai giả thiết vuông đã có.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
Đã có hai tam giác vuông với cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
-
Dùng dấu hiệu cạnh huyền–cạnh góc vuông.
Tự kiểm
Không bỏ điều kiện cả hai tam giác vuông.
Bài 4
Cơ bản
Khi viết $ABC=DEF$, tại sao phải kiểm $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$, $CA\leftrightarrow FD$ trước khi suy góc hoặc cạnh?
Gợi ý bài 4
Thứ tự đỉnh xác định đối ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
Thứ tự buộc $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.
-
Ghép sai sẽ suy một cặp yếu tố không được giả thiết hoặc dấu hiệu bảo đảm; vì vậy phải kiểm toàn bộ đối ứng.
Tự kiểm
Không đổi thứ tự tùy theo vị trí các hình trên trang.
Bài 5
Vận dụng
$PQ=XY$, $QR=YZ$, $PR=XZ$. Nêu dấu hiệu và thứ tự hai tam giác bằng nhau.
Gợi ý bài 5
Ghép ba cặp cạnh để xác định đỉnh tương ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
$P\leftrightarrow X,Q\leftrightarrow Y,R\leftrightarrow Z$.
-
Dùng ba cạnh cho $\triangle PQR=\triangle XYZ$.
Tự kiểm
Đừng đổi thứ tự $XYZ$ khi suy góc hoặc cạnh.
Bài 6
Vận dụng
$AB=MN$, $AC=MP$, $\angle BAC=\angle NMP$. Có đủ chứng minh $ABC=MNP$ không?
Gợi ý bài 6
Kiểm góc xen giữa tại hai đỉnh đầu.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
Góc $BAC$ xen giữa $AB,AC$; góc $NMP$ xen giữa $MN,MP$.
-
Đủ cạnh–góc–cạnh, nên hai tam giác bằng nhau theo thứ tự đã nêu.
Tự kiểm
Khi ấy $BC$ tương ứng $NP$.
Bài 7
Vận dụng
Hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nhau nhưng chưa có dữ kiện khác. Đã đủ bằng nhau chưa?
Gợi ý bài 7
Một cạnh góc vuông không ấn định cạnh góc vuông còn lại.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
Chỉ một cạnh góc vuông bằng nhau chưa đủ dấu hiệu.
-
Cần thêm dữ kiện thích hợp như cạnh huyền bằng nhau hoặc một cặp góc nhọn tương ứng bằng nhau.
Tự kiểm
Phải nêu đủ điều kiện của dấu hiệu được chọn.
Bài 8
Vận dụng
$\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $AB=DE$. Sau khi chứng minh bằng nhau, $\angle C$ bằng góc nào?
Gợi ý bài 8
Dấu hiệu góc–cạnh–góc giữ nguyên thứ tự đỉnh.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
$ABC=DEF$ theo góc–cạnh–góc.
-
Suy ra $\angle C=\angle F$.
Tự kiểm
Không cần tính số đo nếu chỉ yêu cầu đẳng thức góc.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 9
Chuyên sâu · tự chọn
Đã có $AB=DE$ và $\angle A=\angle D$. Nếu bổ sung $AC=DF$, dùng dấu hiệu nào? Nếu bổ sung góc $B=E$, dùng dấu hiệu nào?
Gợi ý bài 9
Cùng dữ kiện đầu nhưng loại bổ sung thay đổi dấu hiệu.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
Bổ sung $AC=DF$ cho hai cạnh quanh góc $A,D$, nên dùng cạnh–góc–cạnh.
-
Bổ sung $B=E$ cho hai góc với cạnh xen giữa $AB=DE$, nên dùng góc–cạnh–góc.
Tự kiểm
Không cần dùng đồng thời cả hai dữ kiện bổ sung; mỗi trường hợp đã đủ.
Bài 10
Chuyên sâu · tự chọn
Hai tam giác đều cạnh $4$ cm và $5$ cm có thể có tất cả các góc bằng nhau mà vẫn không bằng nhau không? Giải thích.
Gợi ý bài 10
Kiểm góc rồi kiểm độ dài.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
Mọi góc của mỗi tam giác đều đều bằng $60^\circ$, nên các góc tương ứng bằng nhau.
-
Nhưng cạnh $4\ne5$ cm, nên hai tam giác không bằng nhau.
Tự kiểm
Đây là phản ví dụ cụ thể cho việc chỉ dùng các góc.
Bài 11
Chuyên sâu · tự chọn
$B,C,D$ theo thứ tự trên một tia; $A$ ngoài đường thẳng ấy và $AC=AD$. Giải thích vì sao $AB$ chung và góc ở $B$ bằng nhau chưa đủ để $ABC=ABD$.
Gợi ý bài 11
Cạnh còn lại có hai độ dài khác nhau.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
$BC<BD$; hai tam giác không có ba cạnh tương ứng bằng nhau vì cạnh này khác nhau.
-
Góc ở $B$ không xen giữa cặp $AB,AC$ hoặc $AB,AD$, nên không được dùng cạnh–góc–cạnh; dữ kiện hai cạnh và góc ấy không đủ.
Tự kiểm
Điều kiện $AC=AD$ có thể dựng bằng cách lấy $A$ trên trung trực $CD$.
Bài 12
Chuyên sâu · tự chọn
Một chứng minh dùng “cạnh huyền–cạnh góc vuông” nhưng đề chỉ cho một tam giác vuông. Hãy lập danh sách điều kiện cần bổ sung hoặc kiểm lại.
Gợi ý bài 12
Dấu hiệu chỉ áp dụng cho hai tam giác vuông.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
Cần xác nhận tam giác thứ hai cũng vuông và xác định đúng cạnh huyền của cả hai.
-
Sau đó kiểm cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. Nếu thiếu bất kỳ phần nào, chưa dùng được dấu hiệu.
Tự kiểm
Không gọi một cạnh là cạnh huyền chỉ vì nó trông dài nhất trên ảnh.
5. Tự kiểm sau khi học
Đối chiếu từng điều kiện đã dùng với dữ kiện ban đầu. Nếu sai, quay lại đúng bước chọn đường hoặc chọn tính chất, rồi giải lại bằng kí hiệu của bài.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
6. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Chứng minh hình học và đo qua vật cản. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.