Đổi chỗ và nhóm số hữu tỉ để tính

Tính hợp lí và vận dụng số hữu tỉ · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-05-B1

Sau bài này, em có thể:

• Dùng tính giao hoán, kết hợp trong tổng và tích.
• Giữ dấu của số hạng khi đổi chỗ.
• Giải thích nhóm số nào làm phép tính ngắn hơn.

1. Kiến thức và phương pháp

Phép cộng và phép nhân hữu tỉ có tính giao hoán, kết hợp. Để đổi chỗ trong biểu thức có phép trừ, trước hết hiểu mỗi số hạng kèm dấu của nó: $a-b+c=a+(-b)+c$.

Nhóm các số đối cho tổng $0$; nhóm cặp nghịch đảo khác $0$ cho tích $1$. Hai mẹo này không cho phép bỏ các số hạng hoặc thừa số còn lại.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Nhận cặp số đối

Cơ bản

Đề bài

Tính thuận tiện $(-\frac{3}{7})+(\frac{5}{12})+(\frac{3}{7})$.

Nghĩ từ đâu?

Đổi chỗ và nhóm các số hạng đã mang đúng dấu để tạo tổng đơn giản.

Lời giải từng bước

1. $(-\frac{3}{7})+(\frac{5}{12})+(\frac{3}{7})=[(-\frac{3}{7})+(\frac{3}{7})]+[(\frac{5}{12})]$.

2. Các nhóm lần lượt bằng $0$, $\frac{5}{12}$; tổng là $\frac{5}{12}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm lại mỗi số hạng ban đầu xuất hiện đúng một lần và giữ nguyên dấu; phép nhóm không được bỏ số hạng.

Ví dụ 2. Ghép cùng mẫu để được số nguyên

Cơ bản

Đề bài

Tính thuận tiện $(-\frac{2}{5})+(\frac{9}{7})+(\frac{7}{5})+(-\frac{2}{7})$.

Nghĩ từ đâu?

Đổi chỗ và nhóm các số hạng đã mang đúng dấu để tạo tổng đơn giản.

Lời giải từng bước

1. $(-\frac{2}{5})+(\frac{9}{7})+(\frac{7}{5})+(-\frac{2}{7})=[(-\frac{2}{5})+(\frac{7}{5})]+[(\frac{9}{7})+(-\frac{2}{7})]$.

2. Các nhóm lần lượt bằng $1$, $1$; tổng là $2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm lại mỗi số hạng ban đầu xuất hiện đúng một lần và giữ nguyên dấu; phép nhóm không được bỏ số hạng.

Ví dụ 3. Nhóm cặp nghịch đảo

Cơ bản

Đề bài

Tính $\left(-\dfrac58\right)\cdot\dfrac73\cdot\left(-\dfrac85\right)$.

Nghĩ từ đâu?

Đổi chỗ hai thừa số để cặp nghịch đảo đứng cạnh nhau; không thay đổi dấu.

Lời giải từng bước

1. Nhóm $\left[\left(-\dfrac58\right)\left(-\dfrac85\right)\right]\cdot\dfrac73$.

2. Cặp trong ngoặc có tích $1$, nên kết quả bằng $\dfrac73$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai thừa số âm tạo tích dương; thừa số $\dfrac73$ vẫn phải được giữ.

Ví dụ 4. Nhóm các thừa số dễ rút gọn

Cơ bản

Đề bài

Tính $\dfrac25\cdot\left(-\dfrac37\right)\cdot\dfrac{35}{6}$.

Nghĩ từ đâu?

Nhóm thừa số thứ nhất với thứ ba để rút gọn trước.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac25\cdot\dfrac{35}{6}=\dfrac73$.

2. Nhân với $-\dfrac37$ được $-1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tích có đúng một số âm nên kết quả âm; độ lớn ba thừa số nhân bằng $1$.

Ví dụ 5. Phép trừ phải viết thành tổng có dấu

Cơ bản

Đề bài

Bạn đổi $\dfrac78-\dfrac23+\dfrac18$ thành $\dfrac78+\dfrac23-\dfrac18$. Sửa và tính.

Nghĩ từ đâu?

Số hạng được đổi chỗ gồm cả dấu đứng trước nó.

Lời giải từng bước

1. Viết thành tổng $\dfrac78+\left(-\dfrac23\right)+\dfrac18$.

2. Nhóm $\dfrac78+\dfrac18=1$, rồi cộng $-\dfrac23$ được $\dfrac13$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đổi chỗ không được đổi dấu $-\dfrac23$ hoặc $+\dfrac18$.

Ví dụ 6. Nhóm hai cặp thuận tiện

Cơ bản

Đề bài

Tính thuận tiện $(-\frac{5}{4})+(\frac{7}{10})+(\frac{5}{4})+(\frac{3}{10})$.

Nghĩ từ đâu?

Đổi chỗ và nhóm các số hạng đã mang đúng dấu để tạo tổng đơn giản.

Lời giải từng bước

1. $(-\frac{5}{4})+(\frac{7}{10})+(\frac{5}{4})+(\frac{3}{10})=[(-\frac{5}{4})+(\frac{5}{4})]+[(\frac{7}{10})+(\frac{3}{10})]$.

2. Các nhóm lần lượt bằng $0$, $1$; tổng là $1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm lại mỗi số hạng ban đầu xuất hiện đúng một lần và giữ nguyên dấu; phép nhóm không được bỏ số hạng.

Ví dụ 7. Tổng không phụ thuộc biến

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Thu gọn $A=a+\dfrac57-a+\dfrac27$ với $a\in\mathbb Q$.

Nghĩ từ đâu?

Viết $-a$ là số đối của $a$, rồi nhóm các số hạng đối nhau.

Lời giải từng bước

1. $A=(a-a)+\left(\dfrac57+\dfrac27\right)$.

2. $A=0+1=1$ với mọi $a$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần chọn một giá trị cụ thể của $a$; đẳng thức tổng quát đã chứng minh tính không phụ thuộc.

Ví dụ 8. Tìm đủ các cặp số hạng

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $a,b\in\{1,2,3,4\}$. Tìm mọi cặp có thứ tự $(a,b)$ để $\dfrac a5+\dfrac b5=1$.

Nghĩ từ đâu?

Cùng mẫu nên điều kiện tương đương một tổng số nguyên; mỗi $a$ xác định một $b$.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac{a+b}{5}=1$ tương đương $a+b=5$.

2. Với $a=1,2,3,4$, lần lượt có $b=4,3,2,1$. Bốn cặp là $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã xét hết mọi giá trị của $a$; cả hai thành phần mỗi cặp đều nằm trong tập đã cho.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính thuận tiện $-\dfrac58+\dfrac7{12}+\dfrac58$.

Gợi ý bài 1

Nhóm hai số đối trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $\left(-\dfrac58+\dfrac58\right)+\dfrac7{12}$.

2. Cặp số đối có tổng $0$, nên kết quả bằng $\dfrac7{12}$.

Tự kiểm

Còn lại đúng số hạng $\dfrac7{12}$, không bỏ nó khi thấy cặp triệt tiêu.

Bài 2

Cơ bản

Tính $-\dfrac35+\dfrac{11}{7}+\dfrac85-\dfrac47$.

Gợi ý bài 2

Nhóm hai phân số mẫu $5$, rồi hai phân số mẫu $7$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Biểu thức bằng $\left(-\dfrac35+\dfrac85\right)+\left(\dfrac{11}{7}-\dfrac47\right)$.

2. Hai nhóm lần lượt bằng $1$ và $1$, nên tổng bằng $2$.

Tự kiểm

Bốn số hạng đều xuất hiện đúng một lần và giữ đúng dấu.

Bài 3

Cơ bản

Nhóm để tính $\left(-\dfrac49\right)\cdot\dfrac75\cdot\left(-\dfrac94\right)$.

Gợi ý bài 3

Nhóm hai thừa số nghịch đảo có dấu âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $\left(-\dfrac49\right)\left(-\dfrac94\right)=1$.

2. Tích cả ba số bằng $1\cdot\dfrac75=\dfrac75$.

Tự kiểm

Không bỏ thừa số giữa; tích hai số âm dương.

Bài 4

Cơ bản

Bạn đổi $\dfrac56-\dfrac23+\dfrac16$ thành $\dfrac56+\dfrac23-\dfrac16$. Sửa cách đổi chỗ và tính.

Gợi ý bài 4

Viết phép trừ thành cộng số đối để giữ dấu số hạng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Nhóm đúng là $\left(\dfrac56+\dfrac16\right)-\dfrac23$.

2. Giá trị bằng $1-\dfrac23=\dfrac13$.

Tự kiểm

Đổi chỗ giữ $-\dfrac23$ và $+\dfrac16$, không trao đổi dấu.

Bài 5

Cơ bản

Tính thuận tiện $(-\frac{7}{9})+(\frac{4}{5})+(\frac{7}{9})+(\frac{1}{5})$.

Gợi ý bài 5

Đổi chỗ và nhóm các số hạng đã mang đúng dấu để tạo tổng đơn giản.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $(-\frac{7}{9})+(\frac{4}{5})+(\frac{7}{9})+(\frac{1}{5})=[(-\frac{7}{9})+(\frac{7}{9})]+[(\frac{4}{5})+(\frac{1}{5})]$.

2. Các nhóm lần lượt bằng $0$, $1$; tổng là $1$.

Tự kiểm

Kiểm lại mỗi số hạng ban đầu xuất hiện đúng một lần và giữ nguyên dấu; phép nhóm không được bỏ số hạng.

Bài 6

Cơ bản

Tính thuận tiện $(\frac{3}{8})+(-\frac{2}{7})+(\frac{5}{8})+(\frac{9}{7})$.

Gợi ý bài 6

Đổi chỗ và nhóm các số hạng đã mang đúng dấu để tạo tổng đơn giản.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $(\frac{3}{8})+(-\frac{2}{7})+(\frac{5}{8})+(\frac{9}{7})=[(\frac{3}{8})+(\frac{5}{8})]+[(-\frac{2}{7})+(\frac{9}{7})]$.

2. Các nhóm lần lượt bằng $1$, $1$; tổng là $2$.

Tự kiểm

Kiểm lại mỗi số hạng ban đầu xuất hiện đúng một lần và giữ nguyên dấu; phép nhóm không được bỏ số hạng.

Bài 7

Cơ bản

Tính $\left(-\dfrac{11}{6}\right)\cdot\dfrac49\cdot\left(-\dfrac6{11}\right)$.

Gợi ý bài 7

Nhóm cặp nghịch đảo thứ nhất và thứ ba.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $\left(-\dfrac{11}{6}\right)\left(-\dfrac6{11}\right)=1$.

2. Tích bằng $\dfrac49$.

Tự kiểm

Kết quả dương và còn đúng thừa số $\dfrac49$.

Bài 8

Cơ bản

Tính $\dfrac3{10}-\dfrac57+\dfrac7{10}+\dfrac27$.

Gợi ý bài 8

Nhóm các số cùng mẫu, giữ dấu âm của $\dfrac57$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Biểu thức bằng $\left(\dfrac3{10}+\dfrac7{10}\right)+\left(-\dfrac57+\dfrac27\right)$.

2. Giá trị $1-\dfrac37=\dfrac47$.

Tự kiểm

Không cộng $\dfrac57$ thành số dương khi đổi chỗ.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Thu gọn $x-\dfrac34-x+\dfrac14$ với $x\in\mathbb Q$.

Gợi ý bài 9

Nhóm hai số hạng chứa $x$ và hai hằng số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $(x-x)+\left(-\dfrac34+\dfrac14\right)$.

2. Kết quả bằng $-\dfrac12$ với mọi $x$.

Tự kiểm

Phép triệt tiêu biến hợp lệ do hai số hạng đúng là đối nhau.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi cặp có thứ tự $(a,b)$ với $a,b\in\{1,2,3,4,5\}$ để $\dfrac a6+\dfrac b6=1$.

Gợi ý bài 10

Chuyển về $a+b=6$ rồi xét đủ năm giá trị $a$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Điều kiện tương đương $a+b=6$.

2. Các cặp là $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$.

Tự kiểm

Mỗi cặp thỏa tổng $6$ và không có cặp nào ngoài danh sách vì $b=6-a$ được xác định duy nhất.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Cho ba số hữu tỉ $a,b,c$. Biết $a+b=0$ và $c=\dfrac7{11}$. Có thể tìm $a+b+c$ mà không biết riêng $a,b$ không?

Gợi ý bài 11

Kết hợp phép cộng để sử dụng trực tiếp tổng đã biết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $a+b+c=(a+b)+c=0+c$.

2. Kết quả bằng $\dfrac7{11}$; không cần xác định riêng hai số đối.

Tự kiểm

Không suy $a=b=0$ từ $a+b=0$; nhiều cặp số đối khác cũng cho cùng tổng.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn nói có thể đổi chỗ các số trong $a:b:c$ như trong tích. Nêu phản ví dụ bằng số hữu tỉ khác $0$.

Gợi ý bài 12

Phép chia không có tính giao hoán hoặc kết hợp; tính hai thứ tự cụ thể.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Chọn $a=1,b=2,c=3$. Khi ấy $1:2:3=\dfrac16$.

2. Đổi $a,b$ được $2:1:3=\dfrac23$, khác $\dfrac16$. Không được dùng tính đổi chỗ của tích cho chuỗi phép chia.

Tự kiểm

Mọi số chia trong ví dụ đều khác $0$; sự khác nhau do phép đổi thứ tự không hợp lệ.

5. Tự kiểm sau khi học

Mỗi lần nhóm, chỉ rõ nhóm ấy tạo ra số đơn giản nào, thay vì chỉ ghi “tính nhanh”.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính hợp lí và vận dụng số hữu tỉ. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.