Dùng cạnh góc cạnh trong chứng minh
Trường hợp cạnh góc cạnh và góc cạnh góc · Toán lớp 7
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-32-B2
Góc đối đỉnh và góc phân giác thường cung cấp góc xen giữa. Lời giải cần ghi nguồn của góc ấy trước khi dùng CGC.
Sau bài này, em có thể:
- Chứng minh theo CGC từ góc đối đỉnh hoặc phân giác.
- Suy cạnh, góc và vuông góc đúng bảng.
Cần biết trước: Biết CGC, đối đỉnh và phân giác.
Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Trong hình nguồn, $A,O,C$ thẳng hàng theo thứ tự và $B,O,D$ thẳng hàng theo thứ tự; hai đường phân biệt. Vì vậy $\angle AOB=\angle COD$ là hai góc đối đỉnh. Cùng $OA=OC$, $OB=OD$, ta có $\triangle AOB=\triangle COD$ theo CGC.
Góc tại $A$ và góc tại $C$ không phải đối đỉnh vì khác đỉnh. Chúng chỉ được suy bằng nhau sau khi có kết quả phù hợp về hai tam giác.
2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. Góc đối đỉnh cung cấp góc giữa
Cơ bản
Đề bài
Hai đoạn $AC,BD$ cắt tại $O$ nằm trong cả hai đoạn; $OA=OC$, $OB=OD$. Chứng minh $\triangle AOB=\triangle COD$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$OA=OC$, $OB=OD$ theo giả thiết; $\angle AOB=\angle COD$ vì đối đỉnh.
-
$\triangle AOB=\triangle COD$ theo CGC vì góc đối đỉnh xen giữa hai cặp cạnh.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Các đường $AC,BD$ phân biệt và cắt nhau nên hai tam giác không suy biến.
Ví dụ 2. Suy cạnh và góc sau CGC
Cơ bản
Đề bài
Trong cấu hình trên, chứng minh $AB=CD$ và $\angle ABO=\angle CDO$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
Đã có $\triangle AOB=\triangle COD$ theo hai cặp cạnh và góc đối đỉnh.
-
Theo bảng $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow D$, suy ra $AB=CD$ và $\angle ABO=\angle CDO$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Góc tại $B$ phải ứng góc tại $D$.
Ví dụ 3. Phân giác trong tam giác cân
Cơ bản
Đề bài
Tam giác $ABC$ có $AB=AC$, $AD$ là phân giác góc $A$, $D$ trong đoạn $BC$. Chứng minh $BD=CD$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$AB=AC$, $AD$ chung, $\angle BAD=\angle CAD$ do phân giác.
-
$\triangle ABD=\triangle ACD$ theo CGC, nên $BD=CD$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Góc phân giác xen giữa cạnh bên và cạnh chung ở mỗi tam giác.
Ví dụ 4. Đổi nhãn hình đối đỉnh
Cơ bản
Đề bài
Hai đường $PR,QS$ cắt nhau tại $O$ nằm trong hai đoạn, $OP=OR$, $OQ=OS$. Chứng minh $\angle OPQ=\angle ORS$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$OP=OR$, $OQ=OS$, $\angle POQ=\angle ROS$ do đối đỉnh.
-
$\triangle POQ=\triangle ROS$ theo CGC, nên hai góc tương ứng tại $P,R$ bằng nhau.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không gọi hai góc tại $P,R$ là đối đỉnh; chúng được suy sau bằng nhau.
Ví dụ 5. Sửa góc bị gọi nhầm đối đỉnh
Cơ bản
Đề bài
Bạn gọi $\angle OAB$ và $\angle OCD$ là đối đỉnh trong hình nguồn. Hãy sửa.
Nghĩ từ đâu?
Góc đối đỉnh phải có cùng đỉnh.
Lời giải từng bước
-
$OAB$ có đỉnh $A$, $OCD$ có đỉnh $C$, nên không đối đỉnh.
-
Cặp dùng cho CGC là $\angle AOB=\angle COD$ tại $O$. Sau khi chứng minh tam giác bằng nhau mới suy các góc tại $A,C$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Đỉnh giữa tên góc xác định ngay lỗi vị trí.
Ví dụ 6. Từ phân giác suy vuông góc
Cơ bản
Đề bài
Tam giác $KLM$ có $KL=KM$, $KN$ phân giác góc $K$, $N$ trong đoạn $LM$. Chứng minh $KN\perp LM$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$KL=KM$, $KN$ chung, $\angle LKN=\angle MKN$ nên $\triangle KLN=\triangle KMN$ theo CGC.
-
Hai góc tại $N$ bằng nhau và kề bù, nên đều $90^\circ$.
-
Do đó $KN\perp LM$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Giữ vị trí $N$ trong đoạn để hai tia $NL,NM$ đối nhau.
Ví dụ 7. Phân giác vừa chia đôi vừa vuông góc
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Tam giác cân $ABC$ tại $A$ có phân giác $AD$ với $D$ trong $BC$. Chứng minh $AD$ đồng thời chia đôi cạnh đáy và vuông góc đáy.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$AB=AC$, $AD$ chung, $\angle BAD=\angle CAD$ nên $\triangle ABD=\triangle ACD$ theo CGC.
-
Suy ra $BD=CD$ và $\angle BDA=\angle CDA$; hai góc sau kề bù nên đều $90^\circ$.
-
$D$ là trung điểm $BC$ và $AD\perp BC$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Hai kết luận lần lượt dùng cặp cạnh và cặp góc tương ứng.
Ví dụ 8. Tham số của đoạn trong hình giao nhau
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Trong hình đối đỉnh nguồn, $OA=2t+1$, $OC=t+4$, $OB=OD=5$ cm. Tìm $t$ để dùng CGC rồi so $AB,CD$.
Nghĩ từ đâu?
Giải cặp cạnh chứa tham số và giữ lý do góc.
Lời giải từng bước
-
$OA=OC$ đòi $2t+1=t+4$, nên $t=3$; hai đoạn cùng $7$ cm.
-
$OB=OD$ và góc tại $O$ đối đỉnh, nên hai tam giác bằng nhau theo CGC. Do đó $AB=CD$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Các đoạn đều dương; không cần tính độ dài $AB$ để so sánh.
3. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Góc ở hai đỉnh khác nhau được gọi đối đỉnh. | Kiểm đỉnh chung và từng cặp tia đối. |
| Dùng góc kết quả làm giả thiết CGC. | Tìm góc xen giữa có lý do độc lập. |
4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Cơ bản
Dùng hình và các vạch cạnh chứng minh $\triangle AOB=\triangle COD$; ghi rõ lý do của góc xen giữa.
Gợi ý bài 1
Đọc vạch cạnh và đỉnh chung của hai góc.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
Vạch cho $OA=OC$, $OB=OD$; $\angle AOB=\angle COD$ vì đối đỉnh.
-
Hai cạnh và góc xen giữa tương ứng bằng nhau nên $\triangle AOB=\triangle COD$ theo CGC.
Tự kiểm
Hình trong phần kiến thức giữ đúng thứ tự $A,O,C$ và $B,O,D$.
Bài 2
Cơ bản
Từ $\triangle AOB=\triangle COD$, suy cạnh nào bằng $AB$ và góc nào bằng $\angle ABO$.
Gợi ý bài 2
Chuyển hai đầu cạnh và ba đỉnh góc theo cùng bảng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
$A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow D$.
-
$AB=CD$ và $\angle ABO=\angle CDO$.
Tự kiểm
Đỉnh của góc kết quả là $D$.
Bài 3
Cơ bản
Trong tam giác $ABC$, $AD$ là phân giác góc $A$, $D\in BC$, $AB=AC$. Chứng minh $\triangle ABD=\triangle ACD$ bằng CGC.
Gợi ý bài 3
Hai cạnh được chọn là cạnh bên và cạnh chung.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
$AB=AC$ theo giả thiết, $AD=AD$ chung; $\angle BAD=\angle CAD$ vì phân giác.
-
Góc tại $A$ xen giữa hai cạnh đã chọn, nên $\triangle ABD=\triangle ACD$ theo CGC.
Tự kiểm
Phân giác trong của tam giác cắt cạnh đối diện tại điểm trong đoạn, nên hai tam giác không suy biến.
Bài 4
Cơ bản
Bạn gọi $\angle OAB$ và $\angle OCD$ là đối đỉnh trong hình nguồn. Hãy sửa.
Gợi ý bài 4
Góc đối đỉnh phải có cùng đỉnh.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
$OAB$ có đỉnh $A$, $OCD$ có đỉnh $C$, nên không đối đỉnh.
-
Cặp dùng cho CGC là $\angle AOB=\angle COD$ tại $O$. Sau khi chứng minh tam giác bằng nhau mới suy các góc tại $A,C$.
Tự kiểm
Đỉnh giữa tên góc xác định ngay lỗi vị trí.
Bài 5
Cơ bản
Tam giác $PQR$ cân tại $P$, $PS$ phân giác góc $P$, $S$ trong $QR$. Chứng minh $QS=RS$.
Gợi ý bài 5
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
$PQ=PR$, $PS$ chung, $\angle QPS=\angle RPS$.
-
$\triangle PQS=\triangle PRS$ theo CGC, suy ra $QS=RS$.
Tự kiểm
Không cần biết trước trung điểm để chứng minh nó.
Bài 6
Cơ bản
Hai đường $XY,UV$ cắt tại $I$ nằm trong hai đoạn; $IX=IY$, $IU=IV$. Chứng minh $XU=YV$.
Gợi ý bài 6
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
$IX=IY$, $IU=IV$, $\angle XIU=\angle YIV$ đối đỉnh.
-
$\triangle XIU=\triangle YIV$ theo CGC, nên $XU=YV$.
Tự kiểm
Góc tại $I$ nằm giữa các đoạn được so.
Bài 7
Cơ bản
Trong hình nguồn, $OA=OC=4$ cm, $OB=OD=6$ cm. Có phải cần tính số đo góc tại $O$ để dùng CGC không?
Gợi ý bài 7
Đẳng thức góc có thể đủ mà chưa biết số đo cụ thể.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
Hai góc $AOB,COD$ đối đỉnh nên bằng nhau, dù chưa biết số đo.
-
Cùng hai cặp cạnh đã cho, đủ CGC; không cần thêm số đo góc.
Tự kiểm
Một quan hệ bằng nhau không đòi trước một giá trị số.
Bài 8
Cơ bản
Biết $\triangle AOB=\triangle COD$. Một bạn ghép $\angle BAO$ với $\angle CDO$. Sửa.
Gợi ý bài 8
Đọc vị trí đỉnh giữa theo bảng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
$BAO$ có đỉnh $A$, tương ứng $C$, không phải $D$.
-
Góc tương ứng đúng là $DCO$, nên $\angle BAO=\angle DCO$.
Tự kiểm
Góc tại $D$ ứng góc tại $B$.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 9
Chuyên sâu · tự chọn
Hai đường $AC,BD$ cắt tại $O$ nằm trong hai đoạn. Nếu chỉ $OA=OC$ và góc đối đỉnh, đã đủ CGC cho $AOB,COD$ chưa?
Gợi ý bài 9
Một cặp cạnh cộng một cặp góc chưa đủ cấu trúc.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
Góc đối đỉnh cung cấp góc xen giữa và $OA=OC$ là một cặp cạnh.
-
Còn thiếu $OB=OD$ để có hai cặp cạnh. Chưa được dùng CGC cho hai tam giác này.
Tự kiểm
Không đếm hai đoạn $OA,OC$ thành hai cặp cạnh.
Bài 10
Chuyên sâu · tự chọn
Trong hình nguồn, $OA=OC$, $OB=3t-1$, $OD=t+5$ cm, $AB=12$ cm. Tìm $t$ để áp dụng CGC và suy $CD$.
Gợi ý bài 10
Tìm tham số theo cặp đoạn còn lại rồi dùng góc đối đỉnh.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
$3t-1=t+5$ cho $t=3$; $OB=OD=8$ cm.
-
Hai cặp cạnh cùng góc đối đỉnh cho $\triangle AOB=\triangle COD$; suy ra $CD=AB=12$ cm.
Tự kiểm
Chưa biết $OA$ cụ thể nhưng giả thiết dương của các đoạn trong cấu hình đã đủ.
Bài 11
Chuyên sâu · tự chọn
Tam giác cân $ABC$ có $AB=AC=7$ cm, phân giác $AD$ với $D$ trong $BC$. Nếu $BC=10$ cm, tìm $BD,CD$ mà không tính $AD$.
Gợi ý bài 11
Chứng minh hai tam giác theo CGC rồi dùng tổng đoạn.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
$AB=AC$, $AD$ chung, góc phân giác bằng nhau nên $\triangle ABD=\triangle ACD$ theo CGC.
-
$BD=CD$ và $BD+CD=10$ cm, nên mỗi đoạn bằng $5$ cm.
Tự kiểm
Không cần định lý về bình phương độ dài để giải bài này.
Bài 12
Chuyên sâu · tự chọn
Bạn muốn dùng CGC từ hai cặp cạnh và “góc nhìn bằng nhau” trên hình. Nêu cách sửa khi hình là hai đường cắt nhau có góc đối đỉnh.
Gợi ý bài 12
Thay nhận xét bằng mắt bằng một quan hệ góc có giả thiết rõ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
Kiểm hai góc cùng đỉnh giao điểm và hai cặp cạnh của góc là các tia đối; khi ấy chúng đối đỉnh nên bằng nhau.
-
Kiểm chính hai góc ấy xen giữa hai cặp cạnh đã biết. Đủ cả hai bước mới viện CGC.
Tự kiểm
Đổi câu “nhìn bằng” thành “đối đỉnh” mà không kiểm tia đối vẫn chưa đủ.
5. Tự kiểm sau khi học
Tìm cạnh kề hai góc trước khi chuyển sang GCG.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
6. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trường hợp cạnh góc cạnh và góc cạnh góc. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.