Dùng điểm cách đều ba đỉnh

Trung trực tam giác và điểm cách đều ba đỉnh · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-40-B3

Sau bài này, em có thể:

• Nhận và vận dụng đúng tính chất trung trực và điểm cách đều đỉnh.
• Kiểm giả thiết, vị trí và phân biệt các tâm của tam giác.

1. Kiến thức và phương pháp

Giao ba trung trực $O$ thỏa $OA=OB=OC=R>0$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ đi qua cả ba đỉnh. Cách đều ba đỉnh là yêu cầu về độ dài tới ba điểm; cách đều ba cạnh là yêu cầu khác, đo theo các đoạn vuông góc.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Bán kính qua ba đỉnh

Cơ bản

Đề bài

$O$ là giao ba trung trực của $ABC$, $OA=8$ cm. Vẽ đường tròn tâm $O$ qua $A$ có đi qua $B,C$ không?

Nghĩ từ đâu?

Mọi điểm cách tâm một bán kính thuộc đường tròn.

Lời giải từng bước

1. $OA=OB=OC=8$ cm theo tính chất trung trực.

2. Đường tròn tâm $O$, bán kính $8$ cm đi qua cả $A,B,C$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không vẽ ba đường tròn khác tâm cho ba đỉnh.

Ví dụ 2. Chọn vị trí cách đều ba trạm

Cơ bản

Đề bài

Ba trạm $A,B,C$ không thẳng hàng. Trong mô hình phẳng, chọn điểm cách đều ba trạm thế nào?

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách tới ba điểm gắn với trung trực.

Lời giải từng bước

1. Dựng trung trực hai đoạn $AB,AC$, lấy giao $O$.

2. Tính chất trung trực cho $OA=OB=OC$, nên $O$ là vị trí cần tìm trong mô hình.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không đòi $O$ nằm trong tam giác nếu đề chưa yêu cầu.

Ví dụ 3. Một đường tròn cho điều kiện đảo

Vận dụng

Đề bài

Đường tròn tâm $P$ đi qua $A,B,C$. Vì sao $P$ nằm trên cả ba trung trực?

Nghĩ từ đâu?

Dùng các bán kính bằng nhau rồi áp dụng chiều đảo.

Lời giải từng bước

1. $PA=PB=PC$ vì đều là bán kính cùng đường tròn.

2. Theo tính chất đảo, $P$ thuộc trung trực từng đoạn $AB,BC,CA$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cần ba điểm phân biệt; tam giác không suy biến cho giao duy nhất.

Ví dụ 4. Điểm cách đều đỉnh chưa cách đều cạnh

Vận dụng

Đề bài

$OA=OB=OC$. Có đủ kết luận ba khoảng cách từ $O$ tới các cạnh bằng nhau không?

Nghĩ từ đâu?

Phân biệt khoảng cách tới điểm với tới đường thẳng.

Lời giải từng bước

1. Dữ kiện bảo đảm cách đều ba đỉnh và nhận giao trung trực.

2. Chưa đủ cách đều ba cạnh; yêu cầu ấy gắn với giao phân giác trong.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tam giác đều là trường hợp đặc biệt, không đồng nhất hai yêu cầu cho mọi tam giác.

Ví dụ 5. Phát hiện đường tròn sai bán kính

Vận dụng

Đề bài

$O$ là giao trung trực và $OA=5$ cm. Bạn vẽ đường tròn tâm $O$, bán kính $4$ cm để qua ba đỉnh. Có đúng không?

Nghĩ từ đâu?

Bán kính phải bằng đúng khoảng cách tới đỉnh.

Lời giải từng bước

1. Ba đỉnh đều cách $O$ một khoảng $5$ cm.

2. Đường tròn bán kính $4$ cm không đi qua các đỉnh; phải dùng bán kính $5$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chỉ kiểm tâm đúng rồi bỏ bán kính.

Ví dụ 6. Kiểm điều kiện vị trí trong mô hình

Vận dụng

Đề bài

Một bài yêu cầu điểm trong vùng tam giác cách đều ba đỉnh, nhưng giao trung trực ở ngoài. Có thể tùy ý dịch điểm vào trong không?

Nghĩ từ đâu?

Cách đều ba đỉnh xác định điểm duy nhất.

Lời giải từng bước

1. Giao trung trực là điểm duy nhất cách đều ba đỉnh.

2. Không được dịch vào trong rồi vẫn khẳng định cách đều; cần kết luận mô hình hiện tại không có điểm trong thỏa yêu cầu hoặc xem lại điều kiện.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không sửa yêu cầu hoặc kết quả để hợp vị trí mong muốn.

Ví dụ 7. Tính duy nhất của đường tròn qua ba đỉnh

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tam giác $ABC$ có hai đường tròn tâm $O,P$ đều qua ba đỉnh. Chứng minh hai đường tròn ấy trùng nhau.

Nghĩ từ đâu?

Tâm cùng cách đều ba đỉnh nên phải là cùng giao trung trực.

Lời giải từng bước

1. $OA=OB=OC$ và $PA=PB=PC$ cho $O,P$ cùng là giao trung trực $AB,AC$. Giao ấy duy nhất, nên $O=P$.

2. Hai bán kính đều bằng khoảng cách từ tâm chung tới $A$, nên bằng nhau. Cùng tâm và cùng bán kính, hai đường tròn trùng nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Ba đỉnh không thẳng hàng là điều kiện cần để có giao trung trực duy nhất.

Ví dụ 8. Kiểm dữ kiện đường tròn có thể tồn tại

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$O$ là giao trung trực của tam giác $ABC$, $OA+OB+OC=21$ cm và $AB=15$ cm. Dữ kiện có tương thích không?

Nghĩ từ đâu?

Tìm bán kính rồi so cạnh nối hai điểm với tổng hai bán kính.

Lời giải từng bước

1. Từ $OA=OB=OC=R$ và $3R=21$ suy ra $R=7$ cm.

2. Bất đẳng thức tam giác cho $AB\le OA+OB=14$ cm (dấu bằng chỉ khi $O$ trên đoạn $AB$).

3. Giả thiết $AB=15$ cm mâu thuẫn cận trên $14$ cm; không có cấu hình như mô tả.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tổng ba bán kính không phải chu vi đường tròn; tính $R$ đúng vẫn phải kiểm cạnh đã cho.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

$O$ là giao ba trung trực tam giác $ABC$ và $OA=5$ cm. Tính $OB,OC$.

Gợi ý bài 1

Giao trung trực cách đều ba đỉnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $OA=OB=OC$.

2. Vì $OA=5$ cm, $OB=OC=5$ cm.

Tự kiểm

Không tính khoảng cách tới cạnh từ dữ kiện này.

Bài 2

Cơ bản

Muốn điểm $O$ cách đều ba trạm $A,B,C$ không thẳng hàng trên mô hình phẳng, cần dựng các đường nào?

Gợi ý bài 2

Cách đều hai điểm liên quan trung trực đoạn nối chúng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Dựng trung trực của hai đoạn nối các trạm, chẳng hạn $AB,AC$, lấy giao $O$.

2. $OA=OB=OC$; trung trực thứ ba cũng qua $O$, nên điểm ấy đáp ứng mô hình.

Tự kiểm

Ba điểm không thẳng hàng là giả thiết quan trọng.

Bài 3

Cơ bản

Bạn dùng $OA=OB=OC$ để kết luận $O$ cách đều ba cạnh. Kết luận nào được bảo đảm và kết luận nào chưa?

Gợi ý bài 3

Đọc rõ độ dài đang đo tới đâu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Được bảo đảm $O$ cách đều ba đỉnh $A,B,C$.

2. Chưa bảo đảm cách đều ba cạnh; tính chất ấy gắn với giao phân giác trong.

Tự kiểm

Đoạn tới đỉnh không tự là vuông góc tới cạnh.

Bài 4

Cơ bản

Dùng hình tự vẽ, lấy giao hai trung trực rồi vẽ đường tròn qua một đỉnh. Ghi cách kiểm hai đỉnh còn lại.

Gợi ý bài 4

Giữ một bán kính chung để so cả ba đỉnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Lấy tâm $O$, bán kính $OA$ để vẽ đường tròn; theo trung trực, $OB=OC=OA$.

2. Dùng cùng khẩu độ compa kiểm $B,C$; ghi theo bản dựng thực và độ chính xác. Nếu chưa làm, nêu kế hoạch.

Tự kiểm

Tính chất cách đều là căn cứ; nét tròn gần đi qua chưa là chứng minh.

Bài 5

Vận dụng

$O$ là giao ba trung trực, $OC=6{,}4$ cm. Tính $OA,OB$.

Gợi ý bài 5

Dùng ba khoảng cách bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $OA=OB=OC$.

2. $OA=OB=6{,}4$ cm.

Tự kiểm

Tất cả là độ dài từ cùng tâm $O$ tới ba đỉnh.

Bài 6

Vận dụng

Đường tròn tâm $K$, bán kính $3$ cm đi qua $A,B$. Nó có chắc qua điểm $C$ bất kỳ không?

Gợi ý bài 6

Muốn qua $C$ phải kiểm thêm khoảng cách tới tâm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Từ $A,B$ trên đường tròn chỉ có $KA=KB=3$ cm.

2. Cần thêm $KC=3$ cm để đi qua $C$; vì vậy chưa chắc với điểm tùy ý.

Tự kiểm

Không suy bán kính bằng nhau cho điểm chưa biết thuộc đường tròn.

Bài 7

Vận dụng

Ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng. Có thể dùng giao hai phân giác để chắc chắn cách đều ba điểm ấy không?

Gợi ý bài 7

Phân biệt hai loại tâm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Giao phân giác trong cách đều các cạnh của tam giác.

2. Để cách đều ba điểm $A,B,C$, cần giao các trung trực; phương án phân giác chưa bảo đảm yêu cầu.

Tự kiểm

Không kết luận từ một hình tam giác đều rằng hai cách luôn tương đương.

Bài 8

Vận dụng

$P$ có $PA=PB=PC=4$ cm. Nêu đường tròn qua ba điểm ấy.

Gợi ý bài 8

Tâm và bán kính đều đã có.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Ba điểm cùng cách $P$ một khoảng $4$ cm.

2. Đường tròn tâm $P$, bán kính $4$ cm đi qua cả ba điểm.

Tự kiểm

Không dùng $4$ cm làm đường kính; đó là bán kính.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ là giao trung trực của tam giác $ABC$, $OA+OB=13$ cm và $AB=14$ cm. Có thể kết luận $OC=6{,}5$ cm cho một cấu hình thực sự không?

Gợi ý bài 9

Kiểm tính tồn tại trước khi công nhận đáp số hình học.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Từ cách đều có $OA=OB=OC$; nếu cấu hình tồn tại thì $OC=6{,}5$ cm.

2. Nhưng $AB\le OA+OB=13$ cm, trái $AB=14$ cm. Do đó không tồn tại cấu hình thỏa cả hai dữ kiện.

Tự kiểm

$6{,}5$ cm chỉ là kết quả tính hình thức; mâu thuẫn cạnh khiến nó không phải đáp số của một cấu hình hợp lệ.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ là giao trung trực, $OA=(2u+3)$ cm, $OC=(5u-6)$ cm. Tính $u$ và bán kính chung.

Gợi ý bài 10

Giải đẳng thức hai bán kính rồi kiểm dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $2u+3=5u-6$, nên $3u=9$ và $u=3$.

2. Bán kính là $2\cdot3+3=9$ cm, cũng bằng $5\cdot3-6$.

Tự kiểm

Cùng tâm và bán kính $9$ cm xác định đường tròn qua ba đỉnh.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Một điểm $K$ khác giao trung trực $O$ được cho là cũng cách đều ba đỉnh. Hãy chỉ ra mâu thuẫn.

Gợi ý bài 11

Từ cách đều suy ra thuộc hai trung trực.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $KA=KB=KC$ buộc $K$ thuộc trung trực $AB,AC$.

2. Giao duy nhất của hai đường là $O$, nên $K=O$, trái giả thiết khác nhau.

Tự kiểm

Giả thiết tam giác không suy biến bảo đảm hai trung trực không trùng.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Nêu một phép kiểm độc lập khi đã dựng tâm và vẽ đường tròn qua $A$: làm sao kiểm $B,C$ mà không chỉ nhìn nét tròn?

Gợi ý bài 12

Dùng thước hoặc compa để so ba khoảng cách từ tâm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Giữ khẩu độ compa bằng $OA$; kiểm $OB,OC$ cùng khẩu độ đó, đồng thời kiểm các đường trung trực đã dựng.

2. Theo tính chất chính xác, $OA=OB=OC$; trên giấy, ghi độ chính xác và kết quả thực. Chưa dựng thì ghi kế hoạch.

Tự kiểm

Không chép bán kính từ hình trên màn hình.

5. Tự kiểm sau khi học

Đối chiếu từng điều kiện đã dùng với dữ kiện ban đầu. Nếu sai, quay lại đúng bước chọn đường hoặc chọn tính chất, rồi giải lại bằng kí hiệu của bài.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trung trực tam giác và điểm cách đều ba đỉnh. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.