Tam giác vuông lớp 7: bằng nhau từ hai cạnh góc vuông
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông · Toán lớp 7
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-33-B1
Hai cạnh góc vuông gặp nhau tại góc vuông, nên tạo đúng cấu trúc CGC. Bắt đầu bằng việc nhận đỉnh vuông và tên ba cạnh.
Sau bài này, em có thể:
- Dùng hai cạnh góc vuông để chứng minh CGC.
- Suy cạnh huyền, góc hoặc chu vi tương ứng.
Cần biết trước: Biết CGC, trung điểm và cạnh tương ứng.
Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau theo CGC, vì góc xen giữa đều $90^\circ$. Trong $ABC$ vuông tại $A$, hai cạnh góc vuông là $AB,AC$, cạnh huyền là $BC$.
Góc vuông phải được cho hoặc chứng minh, không lấy từ hình trông vuông. Mọi tam giác xét ở đây không suy biến; cạnh góc vuông có độ dài dương.
2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. CGC từ hai cạnh góc vuông
Cơ bản
Đề bài
Hai tam giác $ABC,DEF$ vuông tại $A,D$; $AB=DE=4$ cm và $AC=DF=7$ cm. Chứng minh bằng nhau.
Nghĩ từ đâu?
Hai cạnh được so phải cùng kề đỉnh vuông.
Lời giải từng bước
-
Góc $BAC$ và $EDF$ đều $90^\circ$, xen giữa hai cặp cạnh góc vuông đã bằng nhau.
-
Vậy $\triangle ABC=\triangle DEF$ theo CGC.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không lấy cạnh đối diện góc vuông làm một trong hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 2. Đổi nhãn hai cạnh góc vuông
Cơ bản
Đề bài
Hai tam giác $PQR,XYZ$ vuông tại $P,X$; $PQ=XY=5$ cm và $PR=XZ=8$ cm. Chứng minh bằng nhau.
Nghĩ từ đâu?
Hai cạnh được so phải cùng kề đỉnh vuông.
Lời giải từng bước
-
Góc $QPR$ và $YXZ$ đều $90^\circ$, xen giữa hai cặp cạnh góc vuông đã bằng nhau.
-
Vậy $\triangle PQR=\triangle XYZ$ theo CGC.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không lấy cạnh đối diện góc vuông làm một trong hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 3. Nhận cạnh huyền theo đỉnh vuông
Cơ bản
Đề bài
Tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Nêu hai cạnh góc vuông và cạnh huyền.
Nghĩ từ đâu?
Hai cạnh chứa đỉnh vuông là hai cạnh góc vuông.
Lời giải từng bước
-
Hai cạnh góc vuông là $CA,CB$.
-
Cạnh đối diện đỉnh $C$ là $AB$, nên đó là cạnh huyền.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không dùng vị trí cạnh nằm ngang hay nghiêng trên trang để đặt tên.
Ví dụ 4. Chuyển độ dài cạnh huyền sau CGC
Cơ bản
Đề bài
$ABC$ vuông tại $A$, $DEF$ vuông tại $D$, $AB=DE$, $AC=DF$. Nếu $BC=9$ cm, tìm $EF$ mà không tính bình phương cạnh.
Nghĩ từ đâu?
Chứng minh bằng nhau trước khi chuyển độ dài.
Lời giải từng bước
-
Hai cạnh góc vuông và góc xen giữa $90^\circ$ cho $\triangle ABC=\triangle DEF$ theo CGC.
-
Vì cạnh huyền tương ứng, $EF=BC=9$ cm.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không cần suy số đo cạnh huyền từ hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 5. Thiếu một cặp cạnh góc vuông
Cơ bản
Đề bài
$ABC$ và $DEF$ vuông tại $A,D$; chỉ $AB=DE$. Có đủ dùng hai cạnh góc vuông không?
Nghĩ từ đâu?
Đếm số cặp cạnh thực sự được biết.
Lời giải từng bước
-
Góc vuông cung cấp một cặp góc, còn mới có một cặp cạnh góc vuông.
-
Chưa có $AC=DF$ nên chưa đủ CGC theo hai cạnh góc vuông.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không đếm hai đoạn trong một cặp như hai cặp cạnh.
Ví dụ 6. Hai cạnh chung độ cao
Cơ bản
Đề bài
Điểm $H$ nằm trong đoạn $BC$; $AH\perp BC$, $BH=CH$. Chứng minh $AB=AC$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$AHB,AHC$ vuông tại $H$; $AH$ chung, $BH=CH$ nên bằng nhau theo hai cạnh góc vuông (CGC).
-
Suy ra hai cạnh huyền $AB=AC$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
$A\notin BC$ và $H$ trong đoạn bảo đảm hai tam giác không suy biến.
Ví dụ 7. Tham số của cạnh góc vuông
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng $2t+1,t+4$ cm và cặp còn lại cùng $6$ cm. Tìm $t$ để dùng CGC.
Nghĩ từ đâu?
Một giá trị chung phải làm cặp chứa tham số bằng nhau và dương.
Lời giải từng bước
-
$2t+1=t+4$ cho $t=3$, nên cặp ấy cùng $7$ cm.
-
Cùng cặp cạnh $6$ cm và hai góc vuông, đủ CGC.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cả hai độ dài dương; tham số chưa phải độ dài cạnh khi chưa thay.
Ví dụ 8. Đối xứng theo cạnh góc vuông
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
$ABC$ vuông tại $A$; qua $A$ dựng tia $AD$ đối tia $AB$, lấy $AD=AB$. Chứng minh $BC=DC$ và $CA$ chia đôi góc $BCD$.
Nghĩ từ đâu?
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải từng bước
-
$ABC,ADC$ đều vuông tại $A$, có $AB=AD$ và $AC$ chung nên $\triangle ABC=\triangle ADC$ theo CGC.
-
Suy ra $BC=DC$ và $\angle BCA=\angle DCA$; $A$ nằm trong $BD$ nên tia $CA$ nằm trong góc $BCD$.
-
$CA$ là phân giác trong của góc $BCD$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cần cả vị trí tia trong góc, ngoài hai góc bằng nhau.
3. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Gọi cạnh kề đỉnh vuông là cạnh huyền. | Chọn cạnh đối diện góc vuông. |
| Một cặp cạnh góc vuông là đủ. | Cần hai cặp cho chính trường hợp này. |
4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Cơ bản
$ABC$ vuông tại $A$, $DEF$ vuông tại $D$; $AB=DE$, $AC=DF$. Kết luận bằng trường hợp nào?
Gợi ý bài 1
Góc giữa hai cạnh ấy là góc vuông.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
$\angle BAC=\angle EDF=90^\circ$ và xen giữa hai cặp cạnh đã cho.
-
$\triangle ABC=\triangle DEF$ theo CGC.
Tự kiểm
Đỉnh vuông ghép $A$ với $D$.
Bài 2
Cơ bản
$ABC$ vuông tại $A$, $DEF$ vuông tại $D$; $AB=DE=3$ cm, $AC=DF=4$ cm. Biết $BC=5$ cm, tìm $EF$ mà không dùng công thức khác.
Gợi ý bài 2
Dùng hai cạnh góc vuông để chuyển sang cạnh huyền tương ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
Hai tam giác bằng nhau theo CGC vì hai cặp cạnh góc vuông và góc giữa $90^\circ$.
-
$EF=BC=5$ cm do hai cạnh tương ứng.
Tự kiểm
$5$ cm đã được cho, không cần tự tính nó từ $3,4$.
Bài 3
Cơ bản
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$, hai cạnh góc vuông là cạnh nào?
Gợi ý bài 3
Chọn hai cạnh có đầu mút $B$.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
Hai cạnh góc vuông là $BA,BC$.
-
Cạnh còn lại $AC$ đối diện góc vuông, là cạnh huyền.
Tự kiểm
Đỉnh vuông thay đổi thì tên cạnh huyền cũng thay đổi.
Bài 4
Cơ bản
Bạn gọi $AB$ là cạnh huyền của tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Sửa và nêu cách nhận.
Gợi ý bài 4
Cạnh huyền không chứa đỉnh vuông.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
Cạnh đối diện $A$ là $BC$, nên $BC$ mới là cạnh huyền.
-
$AB,AC$ là hai cạnh góc vuông; phải xác định đỉnh vuông trước khi ghép tương ứng.
Tự kiểm
Không dựa vào cạnh dài nhìn thấy trên ảnh.
Bài 5
Cơ bản
Hai tam giác $ABC,DEF$ vuông tại $A,D$; $AB=DE=6$ cm và $AC=DF=9$ cm. Chứng minh bằng nhau.
Gợi ý bài 5
Hai cạnh được so phải cùng kề đỉnh vuông.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
Góc $BAC$ và $EDF$ đều $90^\circ$, xen giữa hai cặp cạnh góc vuông đã bằng nhau.
-
Vậy $\triangle ABC=\triangle DEF$ theo CGC.
Tự kiểm
Không lấy cạnh đối diện góc vuông làm một trong hai cạnh góc vuông.
Bài 6
Cơ bản
Hai tam giác $KLM,RST$ vuông tại $K,R$; $KL=RS=3$ cm và $KM=RT=8$ cm. Chứng minh bằng nhau.
Gợi ý bài 6
Hai cạnh được so phải cùng kề đỉnh vuông.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
Góc $LKM$ và $SRT$ đều $90^\circ$, xen giữa hai cặp cạnh góc vuông đã bằng nhau.
-
Vậy $\triangle KLM=\triangle RST$ theo CGC.
Tự kiểm
Không lấy cạnh đối diện góc vuông làm một trong hai cạnh góc vuông.
Bài 7
Cơ bản
Hai tam giác vuông tại $M,P$ có $MN=PQ$, $MT=PR$. Viết bảng bằng nhau.
Gợi ý bài 7
Ghép đỉnh vuông và hai đầu còn lại theo các cạnh đã cho.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
$M\leftrightarrow P$, $N\leftrightarrow Q$, $T\leftrightarrow R$; góc giữa đều vuông.
-
$\triangle MNT=\triangle PQR$ theo CGC.
Tự kiểm
Góc vuông là điều kiện giữa hai cặp cạnh.
Bài 8
Cơ bản
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. Nếu chu vi tam giác đầu $24$ cm, chu vi tam giác sau bao nhiêu?
Gợi ý bài 8
Chứng minh bằng nhau, rồi mới so tổng ba cạnh.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
Hai cạnh góc vuông cùng góc giữa vuông cho hai tam giác bằng nhau theo CGC.
-
Ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên tổng bằng nhau; chu vi tam giác sau là $24$ cm.
Tự kiểm
Không cần biết riêng cạnh huyền để chuyển chu vi.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 9
Chuyên sâu · tự chọn
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng dài $t+2$ và $2t-1$ cm trong cặp đầu; cặp kia cùng dài $5$ cm. Hai cạnh trong cặp đầu được yêu cầu bằng nhau để dùng dấu hiệu, và tổng chúng được ghi $12$ cm. Có thể thỏa đồng thời mọi điều kiện không?
Gợi ý bài 9
Giải đẳng thức cặp đầu rồi kiểm điều kiện tổng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
$t+2=2t-1$ cho $t=3$, nên mỗi cạnh của cặp đầu bằng $5$ cm.
-
Tổng chúng là $10$ cm, khác $12$ cm. Không có dữ kiện đồng thời thỏa để áp dụng dấu hiệu.
Tự kiểm
Không bỏ điều kiện tổng chỉ vì đã có nghiệm phương trình.
Bài 10
Chuyên sâu · tự chọn
$H$ là trung điểm $BC$, $AH\perp BC$, $A\notin BC$. Chứng minh $AB=AC$ và $\angle BAH=\angle CAH$.
Gợi ý bài 10
Kiểm từng cặp yếu tố cùng lý do và đúng vị trí, rồi mới dùng kết luận tương ứng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
Hai tam giác vuông $AHB,AHC$ có $AH$ chung và $HB=HC$ nên bằng nhau theo CGC.
-
Cạnh huyền $AB=AC$ và hai góc tương ứng tại $A$ bằng nhau.
Tự kiểm
Một kết quả bằng nhau tạo hai hệ quả khác loại.
Bài 11
Chuyên sâu · tự chọn
Hai tam giác vuông có cạnh góc vuông $3,4$ cm và $3,5$ cm. Có thể dùng một cặp cạnh chung độ dài $3$ cm để kết luận bằng nhau không?
Gợi ý bài 11
So toàn bộ bộ hai cạnh góc vuông, không chỉ một cặp.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
Nếu bằng nhau, góc vuông duy nhất phải tương ứng, nên hai bộ cạnh góc vuông phải ghép bằng nhau.
-
Hai bộ $\{3,4\}$ và $\{3,5\}$ khác nhau, nên không thể bằng nhau. Một cặp $3$ cm chưa đủ.
Tự kiểm
Không cần tính cạnh huyền bằng kiến thức chưa dùng trong bài.
Bài 12
Chuyên sâu · tự chọn
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nhưng được vẽ ở hai phía một cạnh chung. Có cần thêm cùng phía mới dùng CGC không?
Gợi ý bài 12
Dấu hiệu nói về độ dài và góc, không đòi vị trí trên trang.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
Không; hai cặp cạnh tương ứng và góc xen giữa vuông đã đủ CGC.
-
Hai hình có thể đối xứng hoặc quay so với nhau mà vẫn bằng nhau. Tuy nhiên thứ tự tên phải giữ theo chính bảng tương ứng.
Tự kiểm
Không thêm giả thiết cùng phía không thuộc dấu hiệu.
5. Tự kiểm sau khi học
Dùng một cạnh góc vuông và một góc nhọn qua GCG.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
6. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.