Đến nội dung chính

Dùng quan hệ cạnh và góc để so sánh đường xiên

THCSLớp 7Khoảng cách và các đường đặc biệtMở mô-đun

Đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-35-B4

So hai đường xiên bằng góc đối diện trong tam giác do chúng tạo ra, hoặc bằng các tam giác vuông theo cùng chân. Tên gọi đường xiên chưa tự cho đẳng thức.

Sau bài này, em có thể:

  • So độ dài từ góc và đúng cặp đối diện.
  • Giải thích quan hệ theo thứ tự chân và hai điểm cuối.

Cần biết trước: Biết cạnh–góc và các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Quy ước chung của bài: mỗi khi dùng bộ ký hiệu $A,d,H$ cho đoạn vuông góc và đường xiên, luôn có $A\notin d$, $H\in d$ và $AH\perp d$ tại $H$. Các điểm cuối của đường xiên được xét phải thuộc chính đường $d$ và khác $H$.

Với $B\in d$, $B\ne H$, đoạn $AB$ là đường xiên từ $A$ tới $d$. Tên gọi dựa vào quan hệ điểm và vuông góc, không dựa vẻ nghiêng trên trang.

Trong $ABC$, nếu $\angle ABC>\angle ACB$ thì $AC>AB$. Nếu hai góc ấy bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Phần tự chọn còn dùng thứ tự $H,B,C$ trên $d$: góc $ABC$ bù một góc nhọn của $AHB$ nên tù, còn góc $ACB$ nhọn trong $AHC$. Do đó $AC>AB$. Luôn nêu thứ tự điểm để xác định đúng tia.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Ghép góc và cạnh đối diện

Cơ bản

Đề bài

$A$ ngoài đường $BC$, $B\ne C$, $\angle ABC>\angle ACB$. So $AC,AB$.

Nghĩ từ đâu?

Ghép góc tại $B$ với cạnh $AC$, góc tại $C$ với cạnh $AB$ trong cùng tam giác.

Lời giải từng bước

  1. Trong tam giác $ABC$, $AC$ đối diện góc $ABC$, $AB$ đối diện góc $ACB$.

  2. Góc thứ nhất lớn hơn nên $AC>AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Quan hệ được dùng trong cùng một tam giác, không so từ hai hình khác nhau.

Ví dụ 2. So đường xiên qua góc đã biết

Cơ bản

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $\angle B=65^\circ$, $\angle C=45^\circ$. So $AC,AB$ và tính góc $\angle A$.

Nghĩ từ đâu?

Kiểm tổng góc và ghép đúng cạnh đối diện.

Lời giải từng bước

  1. $\angle A=180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$.

  2. $\angle B>\angle C$ nên $AC>AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chọn cạnh chứa đỉnh góc lớn thay cạnh đối diện.

Ví dụ 3. Hai đường xiên chưa chắc bằng

Cơ bản

Đề bài

$AH\perp d$, $B,C\in d$ khác $H$, chỉ biết $AB,AC$ là đường xiên. Có suy bằng nhau không?

Nghĩ từ đâu?

Tên gọi chung chưa là quan hệ độ dài.

Lời giải từng bước

  1. Chưa; các góc tại $B,C$ trong tam giác $ABC$ có thể khác nhau, khi ấy các cạnh đối diện cũng khác nhau.

  2. Cần thêm điều kiện như hai góc ấy bằng nhau hoặc hai tam giác vuông theo chân bằng nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không suy cùng loại đoạn là cùng độ dài.

Ví dụ 4. Hai cạnh góc vuông cho xiên bằng nhau

Cơ bản

Đề bài

$AH\perp d$, $B,C\in d$, $H$ nằm giữa $B,C$ và $HB=HC$. Chứng minh $AB=AC$.

Nghĩ từ đâu?

So hai tam giác vuông $AHB,AHC$: cạnh $AH$ chung và $HB=HC$ tạo hai cạnh góc vuông.

Lời giải từng bước

  1. Hai tam giác vuông $AHB,AHC$ có $AH$ chung, $HB=HC$ nên bằng nhau theo hai cạnh góc vuông.

  2. Suy hai cạnh huyền $AB=AC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai đường xiên có thể bằng nhau nhờ vị trí đối xứng qua chân.

Ví dụ 5. Xiên bằng nhau vẫn dài hơn

Cơ bản

Đề bài

$AH\perp d$, $AB=AC$ là hai đường xiên. So chúng với $AH$.

Nghĩ từ đâu?

Tính bằng nhau giữa hai đường xiên không đổi tính ngắn nhất.

Lời giải từng bước

  1. $AH<AB$ và $AH<AC$ vì mỗi điểm cuối khác chân.

  2. Kết hợp được $AH<AB=AC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng đẳng thức xiên để kết luận chúng đạt nhỏ nhất.

Ví dụ 6. Thứ tự chân và điểm cuối quyết định góc

Cơ bản

Đề bài

$A\notin d$, $AH\perp d$, các điểm theo thứ tự $H,B,C$ trên $d$. Chứng minh $AB<AC$ bằng góc.

Nghĩ từ đâu?

Dùng thứ tự $H,B,C$ để nhận góc tại $B$ của $ABC$ tù, còn góc tại $C$ nhọn.

Lời giải từng bước

  1. Trong tam giác vuông $AHB$, góc $ABH$ nhọn. Vì $BH,BC$ là hai tia đối, góc $\angle ABC=180^\circ-\angle ABH$ là góc tù.

  2. Trong tam giác vuông $AHC$, góc $ACH$ nhọn và trùng $ACB$. Vậy $\angle ABC>\angle ACB$.

  3. Trong $ABC$, suy cạnh đối diện $AC>AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã nêu thứ tự $H,B,C$ để biết đúng hai tia đối và tia trùng.

Ví dụ 7. Tìm ẩn trước khi so xiên

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$ABC$ có $\angle B=(2t+10)^\circ$, $\angle C=(t+20)^\circ$, $\angle A=60^\circ$. Tìm $t$ rồi so $AC,AB$.

Nghĩ từ đâu?

Tổng góc xác định ẩn trước khi so.

Lời giải từng bước

  1. $2t+10+t+20+60=180$ cho $t=30$.

  2. $\angle B=70^\circ$, $\angle C=50^\circ$, nên $AC>AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tổng $60+70+50=180$ và các góc dương.

Ví dụ 8. Hai hệ quả từ cùng một CGC

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$AH\perp d$; $B,C\in d$, $H$ nằm giữa $B,C$ và $HB=HC$. Nếu chỉ biết hai tam giác vuông bằng nhau, có thể suy $\angle ABH=\angle ACH$ và $AB=AC$ cùng lúc không?

Nghĩ từ đâu?

Dùng $AH$ chung và $HB=HC$ cho CGC, rồi đọc cả góc và cạnh huyền tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AH$ chung, $HB=HC$, góc tại $H$ đều vuông nên $\triangle AHB=\triangle AHC$ theo CGC.

  2. Theo cùng bảng, hai góc tại $B,C$ bằng nhau và hai cạnh huyền $AB=AC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Mỗi kết luận được đọc đúng vị trí của cùng kết quả bằng nhau.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Cùng là đường xiên nên bằng nhau. Tìm thêm quan hệ góc hoặc tam giác bằng nhau.
Ghép cạnh kề đỉnh thay cạnh đối diện. Lập bảng góc–cạnh trước khi so.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

$A$ ngoài đường $BC$, $B\ne C$, $\angle ABC>\angle ACB$. So $AC,AB$.

Gợi ý bài 1

Không chọn cạnh kề đỉnh: đối diện $B$ là $AC$, đối diện $C$ là $AB$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. Trong tam giác $ABC$, $AC$ đối diện góc $ABC$, $AB$ đối diện góc $ACB$.

  2. Góc thứ nhất lớn hơn nên $AC>AB$.

Tự kiểm

Quan hệ được dùng trong cùng một tam giác, không so từ hai hình khác nhau.

Bài 2

Cơ bản

Tam giác có $\angle B=70^\circ$, $\angle C=40^\circ$. So $AC,AB$; tính góc $\angle A$ để kiểm.

Gợi ý bài 2

Góc lớn hơn ứng cạnh đối diện lớn hơn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. $\angle A=180^\circ-70^\circ-40^\circ=70^\circ$, dương và tổng đúng.

  2. $\angle B>\angle C$ nên $AC>AB$ trong cùng tam giác.

Tự kiểm

Giữ đúng số đo nguồn $70^\circ,40^\circ$.

Bài 3

Cơ bản

$AH\perp d$, $B,C\in d$ khác $H$, chỉ biết $AB,AC$ là đường xiên. Có suy bằng nhau không?

Gợi ý bài 3

Tên gọi chung chưa là quan hệ độ dài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. Chưa; các góc tại $B,C$ trong tam giác $ABC$ có thể khác nhau, khi ấy các cạnh đối diện cũng khác nhau.

  2. Cần thêm điều kiện như hai góc ấy bằng nhau hoặc hai tam giác vuông theo chân bằng nhau.

Tự kiểm

Không suy cùng loại đoạn là cùng độ dài.

Bài 4

Cơ bản

$AH\perp d$, $B,C\in d$, $B,C\ne H$ và $AB=AC$. Có thể nói $AB$ ngắn hơn $AH$ không?

Gợi ý bài 4

Tính bằng nhau giữa hai đường xiên không đổi tính ngắn nhất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. $AH<AB$ và $AH<AC$ vì mỗi điểm cuối khác chân.

  2. Kết hợp được $AH<AB=AC$.

Tự kiểm

Không dùng đẳng thức xiên để kết luận chúng đạt nhỏ nhất.

Bài 5

Cơ bản

$ABC$ có $\angle B=40^\circ$, $\angle C=75^\circ$. So $AC,AB$.

Gợi ý bài 5

Đảo thứ tự khi góc tại $C$ lớn hơn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. $\angle A=65^\circ$, nên bộ góc hợp lệ.

  2. $\angle B<\angle C$ cho $AC<AB$.

Tự kiểm

Không luôn chọn $AC$ lớn hơn chỉ vì ví dụ trước như vậy.

Bài 6

Cơ bản

$ABC$ có $\angle B=\angle C=55^\circ$. So $AB,AC$ và tính góc $\angle A$.

Gợi ý bài 6

Hai góc bằng nhau cho cạnh đối diện bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. $AB=AC$ vì hai góc đối diện bằng nhau.

  2. $\angle A=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

Tự kiểm

Đây là kết quả có điều kiện thêm, khác chỉ biết cùng là đường xiên.

Bài 7

Cơ bản

$H,B,C$ theo thứ tự trên $d$, $AH\perp d$. Có thể $AC=AB$ không?

Gợi ý bài 7

Dùng lập luận góc tù tại điểm gần chân hơn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. Góc $ABC$ tù còn góc $ACB$ nhọn, nên $AC>AB$.

  2. Vì bất đẳng thức nghiêm, không có $AC=AB$ trong cấu hình thứ tự ấy.

Tự kiểm

Không cần biết độ dài số của $HB,HC$.

Bài 8

Cơ bản

$AB=6$ cm, $AC=8$ cm là hai đường xiên từ $A$ tới $d$; $AH$ vuông góc. Nêu những quan hệ chắc chắn giữa ba đoạn.

Gợi ý bài 8

Phối hợp độ dài đã có với tính ngắn nhất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. $AB<AC$ từ $6<8$.

  2. $AH<AB$ và $AH<AC$, nên $AH<AB<AC$.

Tự kiểm

Chưa có độ dài chính xác của $AH$ từ các so sánh này.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$ABC$ có $\angle A=50^\circ$, $\angle B=(t+10)^\circ$, $\angle C=(120-t)^\circ$. Tìm mọi $t$ nguyên để $AC>AB$ và ba góc dương.

Gợi ý bài 9

Điều kiện so xiên tương ứng $\angle B>\angle C$, cùng miền góc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. $t+10>120-t$ cho $t>55$. Hai góc dương đòi $t>-10$ và $t<120$.

  2. Kết hợp, $t=56,57,\ldots,119$. Tổng các góc luôn $180^\circ$ và thứ tự đúng.

Tự kiểm

Không quên cận trên làm góc $C$ mất tính dương.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$H,B,C$ theo thứ tự trên $d$, $AH\perp d$. Cho $AB=10$ cm và $AC=9$ cm. Kiểm dữ kiện mà không tính cạnh.

Gợi ý bài 10

Thứ tự chân và điểm cuối đã tạo một bất đẳng thức cần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. Lập luận góc cho $AC>AB$ khi $H,B,C$ theo thứ tự.

  2. Dữ kiện số lại cho $9<10$, trái quan hệ ấy. Không có cấu hình thỏa đồng thời.

Tự kiểm

Không đổi thứ tự điểm để tránh mâu thuẫn mà không ghi thay đề.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

$AH\perp d$, $B,C\in d$, $H$ nằm giữa $B,C$ và $AB=AC$. Chứng minh $HB=HC$ bằng trường hợp tam giác vuông.

Gợi ý bài 11

Hai tam giác vuông có cạnh huyền $AB=AC$ và cạnh góc vuông $AH$ chung; không dùng trước $HB=HC$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. $AHB,AHC$ vuông tại $H$, cạnh huyền $AB=AC$, cạnh góc vuông $AH$ chung.

  2. Chúng bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên $HB=HC$.

Tự kiểm

Không dùng trước điều cần chứng minh làm cặp hai cạnh góc vuông.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Góc tại $B$ của tam giác $ABC$ lớn hơn góc tại $C$. Một bạn dùng cạnh $AB$ đối diện góc $B$ để kết luận $AB>AC$. Sửa bảng và kết luận.

Gợi ý bài 12

Tên cạnh đối diện không chứa đỉnh của góc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. Đối diện góc $B$ là $AC$, đối diện góc $C$ là $AB$.

  2. Vì $\angle B>\angle C$, kết luận đúng là $AC>AB$; lời giải ban đầu đảo cặp.

Tự kiểm

Giữ cùng tam giác và đúng chiều bất đẳng thức.

5. Tự kiểm sau khi học

Áp dụng mô hình ngắn nhất với phạm vi điểm cuối và đo thực.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu

Chọn bài khác trong mô-đun · Toán lớp 7 · Hướng dẫn tự học THCS