Giải thích tổng ba góc tam giác bằng góc bẹt
Tổng các góc trong tam giác · Toán lớp 7
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-29-B1
Đường song song qua một đỉnh chuyển hai góc còn lại của tam giác về cùng một điểm. Ba phần liên tiếp khi đó ghép thành một góc bẹt.
Sau bài này, em có thể:
- Trình bày chứng minh tổng góc bằng quan hệ song song.
- Giữ đúng hướng tia và các phần góc không chồng nhau.
- Phân biệt quan sát mô hình giấy với chứng minh tổng quát.
Cần biết trước: Biết tiên đề đường song song, so le trong và góc bẹt.
Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với tam giác không suy biến $ABC$, qua A kẻ $DE\parallel BC$; chọn $AD$ cùng hướng $CB$, $AE$ cùng hướng $BC$. Khi đó D,A,E thẳng hàng, A ở giữa; B,C cùng phía DE. So le trong cho $\angle DAB=\angle ABC$ và $\angle CAE=\angle ACB$.
Ba góc $DAB,BAC,CAE$ liên tiếp, không chồng phần trong, ghép thành góc bẹt DAE. Do đó $$\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^\circ.$$ Chứng minh không đòi ba góc nhọn nên áp dụng mọi tam giác không suy biến trong hình học phẳng đang học.
2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. Chuyển góc ở B về A
Cơ bản
Đề bài
Trong cấu hình nguồn, vì sao $\angle DAB=\angle ABC$?
Nghĩ từ đâu?
Xem AB là đường cắt hai đường song song.
Lời giải từng bước
-
$DE\parallel BC$; AB cắt chúng tại A,B. Hai góc DAB,ABC là so le trong với hướng AD cùng CB.
-
Tính chất so le trong suy ra $\angle DAB=\angle ABC$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không chọn tia AE thay AD cho cặp này.
Ví dụ 2. Chuyển góc ở C về A
Cơ bản
Đề bài
Trong cấu hình nguồn, xác định cặp so le trong dùng AC làm đường cắt.
Nghĩ từ đâu?
Chọn tia AE cùng hướng BC.
Lời giải từng bước
-
AC cắt hai đường DE,BC song song tại A,C.
-
Hai góc $CAE,ACB$ so le trong nên bằng nhau.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Đã giữ đúng hai tia ở phía tạo các góc trong tương ứng.
Ví dụ 3. Ghép ba phần thành góc bẹt
Vận dụng
Đề bài
Đã có $\angle DAB=\angle B$, $\angle CAE=\angle C$ trong cấu hình nguồn. Viết bước hoàn tất tổng góc.
Nghĩ từ đâu?
Ba phần tại A nằm liên tiếp giữa hai tia đối AD,AE.
Lời giải từng bước
-
$\angle DAB+\angle BAC+\angle CAE=180^\circ$ vì ghép thành góc bẹt DAE.
-
Thay hai đẳng thức, được $\angle B+\angle A+\angle C=180^\circ$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Việc ba phần liên tiếp không chồng nhau là căn cứ được cộng các góc.
Ví dụ 4. Tam giác vuông cũng trong phạm vi
Vận dụng
Đề bài
Tam giác ABC vuông tại A. Có còn dựng đường qua A song song BC để chứng minh tổng góc không?
Nghĩ từ đâu?
Đỉnh A vẫn ngoài đường BC.
Lời giải từng bước
-
Tam giác không suy biến nên A không thuộc BC; vẫn có đường qua A song song BC.
-
Cặp so le trong và góc bẹt tại A vẫn áp dụng; góc A vuông không làm mất bước nào.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không tự giới hạn chứng minh vào hình nguồn có vẻ nhọn.
Ví dụ 5. Đổi tên các đỉnh
Vận dụng
Đề bài
Với tam giác PQR, qua Q kẻ ST song song PR, chọn QS cùng hướng RP và QT cùng hướng PR. Viết chứng minh tổng góc.
Nghĩ từ đâu?
Chuyển góc ở P và R về Q.
Lời giải từng bước
-
So le trong cho $\angle SQP=\angle QPR$ và $\angle RQT=\angle QRP$.
-
Ba góc SQP,PQR,RQT ghép góc bẹt SQT, nên tổng bằng $180^\circ$.
-
Thay hai đẳng thức, tổng ba góc P,Q,R bằng $180^\circ$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Q nằm giữa S,T; P,R cùng phía ST và tam giác không suy biến.
Ví dụ 6. Cắt giấy là minh họa
Vận dụng
Đề bài
Cắt ba góc một tam giác giấy rồi ghép gần thành góc bẹt có thay chứng minh không?
Nghĩ từ đâu?
Một mô hình có sai số và chưa bao quát mọi tam giác.
Lời giải từng bước
-
Quan sát giúp dự đoán và kiểm cảm nhận tổng góc, nhưng cắt và ghép có thể sai lệch.
-
Chứng minh dùng một tam giác bất kỳ, dựng song song và suy bằng tính chất góc; không chỉ báo một hình ghép.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không ghi đã thực hiện thí nghiệm nếu mới nêu kế hoạch.
Ví dụ 7. Chọn đỉnh khác vẫn cùng định lí
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Qua B của tam giác ABC kẻ XY song song AC, chọn BX cùng hướng CA, BY cùng hướng AC. Chứng minh tổng góc tại A,B,C.
Nghĩ từ đâu?
Chuyển góc A,C về B, không lặp vị trí tia ở đỉnh A.
Lời giải từng bước
-
$\angle XBA=\angle BAC$ vì AB cắt XY,AC; $\angle CBY=\angle BCA$ vì BC cắt chúng, đều là so le trong.
-
X,B,Y thẳng hàng, B ở giữa; ba góc XBA,ABC,CBY ghép góc bẹt XBY.
-
Thay hai đẳng thức vào tổng $180^\circ$, được tổng góc A,B,C bằng $180^\circ$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Điều kiện hướng mới bảo đảm hai góc chuyển nằm đúng hai bên góc ABC.
Ví dụ 8. Đổi tên hai tia phải đổi đẳng thức
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Qua A kẻ DE song song BC nhưng lần này AD cùng hướng BC, AE cùng hướng CB. Bạn vẫn viết $\angle DAB=\angle ABC$ như cấu hình nguồn. Sửa cách ghép góc.
Nghĩ từ đâu?
Hai tên D,E đã đổi hướng so với cấu hình nguồn.
Lời giải từng bước
-
Bây giờ cặp đúng là $\angle EAB=\angle ABC$ và $\angle CAD=\angle ACB$.
-
Ba góc EAB,BAC,CAD ghép thành góc bẹt EAD, nên vẫn chứng minh được tổng $180$ độ.
-
Đẳng thức cũ không đúng tổng quát: nếu góc B bằng $50^\circ$ thì DAB là phần bù, bằng $130^\circ$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Đổi tên điểm được phép nhưng phải giữ quan hệ tia và các góc tương ứng.
3. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Đổi tia nhưng giữ nguyên cặp góc tương ứng. | Ghi hướng hai tia song song và đọc lại góc so le trong. |
| Ghép một hình giấy coi là chứng minh mọi tam giác. | Dùng lập luận tổng quát có đủ giả thiết. |
4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Cơ bản
Trong hình DE song song BC, chỉ hai đẳng thức so le trong dùng để giải thích tổng góc tam giác.
Gợi ý bài 1
AB và AC là hai đường cắt khác nhau.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
$\angle DAB=\angle ABC$ qua đường cắt AB.
-
$\angle CAE=\angle ACB$ qua đường cắt AC.
Tự kiểm
Các hướng tia theo cấu hình nguồn đã nêu.
Bài 2
Cơ bản
Không dùng số đo trên hình, chứng minh tổng ba góc ABC bằng $180^\circ$ bằng đường qua A song song BC.
Gợi ý bài 2
Chuyển B,C về A rồi ghép ba phần.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
Kẻ DE qua A song song BC; chọn AD cùng hướng CB, AE cùng hướng BC, nên AD,AE đối nhau.
-
So le trong cho $\angle DAB=\angle ABC$, $\angle CAE=\angle ACB$.
-
Ba góc DAB,BAC,CAE ghép góc bẹt; thay hai đẳng thức được $\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^\circ$.
Tự kiểm
Đã có A ngoài BC vì tam giác không suy biến, nên đường song song qua A tồn tại.
Bài 3
Cơ bản
Bạn cắt ba góc một tam giác giấy rồi ghép gần thành góc bẹt. Quan sát khác chứng minh định lí thế nào?
Gợi ý bài 3
Nêu giới hạn mô hình và điều chứng minh cần bao quát.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
Cắt, ghép một tam giác chỉ hỗ trợ dự đoán và có sai số thao tác.
-
Chứng minh cần lập luận đúng cho tam giác bất kỳ từ song song và góc, không chỉ báo kết quả một lần thử.
Tự kiểm
Minh họa có ích nhưng không thay mệnh đề tổng quát.
Bài 4
Cơ bản
Định lí tổng góc chỉ áp dụng tam giác nhọn không? Nêu phạm vi và lý do từ chứng minh.
Gợi ý bài 4
Kiểm bước nào cần các góc đều nhọn.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
Không; áp dụng mọi tam giác không suy biến: nhọn, vuông hoặc tù.
-
Đường song song qua đỉnh và hai cặp so le trong vẫn dựng và dùng được; chứng minh không đòi ba góc nhọn.
Tự kiểm
Không lấy dáng hình minh họa làm thêm giả thiết.
Bài 5
Vận dụng
Tam giác có một góc tù. Vì sao đỉnh đối diện cạnh được chọn vẫn ở ngoài đường chứa cạnh ấy?
Gợi ý bài 5
Định nghĩa tam giác không suy biến không phụ thuộc loại góc.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
Ba đỉnh không thẳng hàng, nên mỗi đỉnh nằm ngoài đường chứa hai đỉnh còn lại.
-
Vẫn dùng tiên đề dựng song song qua đỉnh; góc tù không ngăn cách chứng minh tổng.
Tự kiểm
Không đặt đỉnh lên cạnh chỉ vì hình được vẽ gần thẳng.
Bài 6
Vận dụng
Trong chứng minh nguồn, nếu chỉ có D,A,E thẳng hàng nhưng chưa biết DE song song BC thì có suy hai đẳng thức so le trong bằng nhau không?
Gợi ý bài 6
Vị trí so le trong chưa tự cho số đo.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
Chưa; bằng nhau ở cặp so le trong cần DE song song BC hoặc một căn cứ riêng.
-
Thẳng hàng chỉ cho góc bẹt tại A; thiếu song song thì chưa chuyển được B,C về A theo lập luận ấy.
Tự kiểm
Mỗi giả thiết có một nhiệm vụ trong chứng minh.
Bài 7
Vận dụng
Đã biết hai đẳng thức chuyển góc đúng nhưng ba góc tại A được chọn chồng phần trong. Có cộng tổng thành góc bẹt ngay không?
Gợi ý bài 7
Phép cộng góc cần ghép liên tiếp không chồng.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
Không; phải xác định các phần liên tiếp giữa hai tia đối và không chồng nhau.
-
Chọn đúng DAB,BAC,CAE theo cấu hình nguồn thì ba phần ấy ghép góc bẹt, mới được cộng $180$ độ.
Tự kiểm
Không cộng tùy ba góc cùng đỉnh.
Bài 8
Vận dụng
Tam giác XYZ, qua X kẻ một đường song song YZ. Nêu điều kiện hướng hai tia để chuyển hai góc ở Y,Z về X.
Gợi ý bài 8
Mô phỏng cấu hình với đúng thứ tự tên.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
Chọn tia Xu cùng hướng ZY và Xv cùng hướng YZ, nên hai tia đối nhau.
-
Khi đó $\angle uXY=\angle XYZ$, $\angle ZXv=\angle XZY$; ba phần ở X ghép góc bẹt.
Tự kiểm
Các tia Xu,Xv đặt trong mặt phẳng, Y,Z cùng phía đường song song.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 9
Chuyên sâu · tự chọn
Từ tổng ba góc, chứng minh một tam giác không thể có hai góc đều ít nhất $90^\circ$.
Gợi ý bài 9
Góc còn lại phải dương.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
Nếu hai góc ít nhất $90^\circ$ thì tổng chúng ít nhất $180^\circ$.
-
Cộng góc thứ ba dương làm tổng lớn hơn $180^\circ$, trái định lí.
Tự kiểm
Kết luận loại cả hai góc vuông và hai góc tù.
Bài 10
Chuyên sâu · tự chọn
M nằm trong cạnh BC của tam giác ABC. Cộng tổng góc của ABM,ACM rồi dùng kề bù tại M để suy lại tổng góc ABC.
Gợi ý bài 10
Hai phần góc ở A ghép góc A, hai góc tại M có tổng $180$.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
Hai tổng của ABM,ACM cộng lại bằng $360^\circ$. Các góc ở B,C chính là B,C của ABC.
-
Ở A, $\angle BAM+\angle MAC=\angle BAC$; ở M, $\angle AMB+\angle AMC=180^\circ$.
-
Vậy tổng góc ABC cộng $180^\circ$ bằng $360^\circ$, nên tổng góc ABC bằng $180^\circ$.
Tự kiểm
Đây là kiểm bằng định lí đã chứng minh, không dùng để thay chứng minh gốc nếu định lí chưa được thiết lập.
Bài 11
Chuyên sâu · tự chọn
Ba góc của một tam giác bằng nhau. Dùng định lí để tìm chúng mà không đo hình.
Gợi ý bài 11
Tổng là ba lần số đo chung.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
Gọi mỗi số đo a; $3a=180^\circ$.
-
$a=60^\circ$, nên ba góc đều $60$ độ.
Tự kiểm
Định lí xác định số đo, chưa xác định độ dài cạnh của hình cụ thể.
Bài 12
Chuyên sâu · tự chọn
Một bạn kiểm năm tam giác giấy rồi nói đã chứng minh cho mọi tam giác. Viết lại vai trò đúng của hoạt động.
Gợi ý bài 12
Năm trường hợp vẫn là một tập hữu hạn các minh họa.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
Hoạt động có thể ủng hộ dự đoán và kiểm thao tác trong năm hình đã làm.
-
Định lí cho mọi tam giác cần chứng minh tổng quát như dựng song song; không thay lượng từ mọi bằng danh sách hữu hạn đã xem.
Tự kiểm
Không phủ nhận quan sát, chỉ giữ đúng phạm vi nó xác nhận.
5. Tự kiểm sau khi học
Vẽ cấu hình chứng minh, đánh dấu hai cặp góc bằng nhau và ba phần ghép góc bẹt.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
6. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tổng các góc trong tam giác. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.