Kiểm căn bậc hai và bình phương

Căn bậc hai số học và máy tính · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-06-B5

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm quan hệ căn và bình phương.
• Xử lý căn của bình phương theo dấu cơ số.
• Kẹp một căn bằng các bình phương đã biết.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $a\ge0$, $(\sqrt a)^2=a$. Với số thực $x$, căn $\sqrt{x^2}$ luôn không âm: nó bằng $x$ nếu $x\ge0$, bằng $-x$ nếu $x<0$.

Để kẹp căn giữa hai số không âm, so các bình phương. Chẳng hạn nếu $u^2<a<v^2$ với $0\le u<v$, thì $u<\sqrt a<v$.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Bình phương căn

Cơ bản

Đề bài

Tính $(\sqrt{13})^2$.

Nghĩ từ đâu?

Căn bậc hai số học của $13$ được định nghĩa có bình phương bằng $13$.

Lời giải từng bước

1. $13\ge0$, nên căn xác định và không âm.

2. Theo định nghĩa $(\sqrt{13})^2=13$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần đổi căn thành số gần đúng rồi bình phương.

Ví dụ 2. Căn của bình phương số âm

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{(-8)^2}$.

Nghĩ từ đâu?

Tính bình phương rồi chọn căn không âm.

Lời giải từng bước

1. $(-8)^2=64$.

2. $\sqrt{64}=8$, nên $\sqrt{(-8)^2}=8$, không phải $-8$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giá trị căn luôn không âm; hai phép toán không triệt tiêu vô điều kiện.

Ví dụ 3. Đặt căn giữa hai số nguyên

Cơ bản

Đề bài

Không dùng máy, đặt $\sqrt{45}$ giữa hai số nguyên liên tiếp.

Nghĩ từ đâu?

Tìm hai bình phương nguyên liên tiếp kẹp $45$.

Lời giải từng bước

1. $6^2=36<45<49=7^2$.

2. Vì các số so đều không âm, $6<\sqrt{45}<7$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai số $6,7$ liên tiếp nên đây là khoảng nguyên cần tìm.

Ví dụ 4. Căn của một số không âm đã bình phương

Cơ bản

Đề bài

Cho $x\ge0$. Tính $\sqrt{x^2}$ và nêu lý do.

Nghĩ từ đâu?

Kiểm chính $x$ có đủ hai điều kiện để là căn của $x^2$ không.

Lời giải từng bước

1. $x$ không âm theo giả thiết và bình phương của nó bằng $x^2$.

2. Do đó $\sqrt{x^2}=x$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giả thiết $x\ge0$ không được bỏ nếu muốn giữ nguyên dấu của $x$.

Ví dụ 5. Căn của bình phương khi biến âm

Cơ bản

Đề bài

Cho $x<0$. Tính $\sqrt{x^2}$ theo $x$.

Nghĩ từ đâu?

Số $-x$ khi ấy dương và có cùng bình phương với $x$.

Lời giải từng bước

1. $-x>0$ và $(-x)^2=x^2$.

2. Vì vậy $\sqrt{x^2}=-x$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Với $x=-3$, công thức cho $-x=3$, đúng căn không âm.

Ví dụ 6. Kiểm một giá trị căn gần đúng

Cơ bản

Đề bài

Bạn đoán $\sqrt{20}=4{,}5$. Có đúng chính xác không?

Nghĩ từ đâu?

Bình phương số đoán và so với $20$.

Lời giải từng bước

1. $4{,}5^2=20{,}25\ne20$.

2. Vậy không dùng dấu bằng; $4<\sqrt{20}<5$, nhưng khoảng hợp lý chưa làm $4{,}5$ thành căn chính xác.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nếu cần gần đúng theo một hàng xác định, phải làm tròn đúng giá trị thay vì chọn một số trong khoảng.

Ví dụ 7. Hai cơ số có căn bình phương bằng nhau

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm mọi số hữu tỉ $x$ sao cho $\sqrt{x^2}=\dfrac32$.

Nghĩ từ đâu?

Căn bình phương bằng độ lớn không âm; xét $x\ge0$ và $x<0$.

Lời giải từng bước

1. Nếu $x\ge0$, điều kiện là $x=\dfrac32$. Nếu $x<0$, điều kiện là $-x=\dfrac32$, nên $x=-\dfrac32$.

2. Cả hai giá trị bình phương bằng $\dfrac94$, có căn bằng $\dfrac32$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không bỏ nghiệm âm; căn không âm không bắt cơ số trước bình phương phải dương.

Ví dụ 8. Dùng khoảng hẹp hơn đơn vị

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Không dùng máy, chứng minh $3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2$.

Nghĩ từ đâu?

Hai biên dương nên so bình phương với $10$.

Lời giải từng bước

1. $3{,}1^2=9{,}61<10$ và $3{,}2^2=10{,}24>10$.

2. Suy ra $3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đây là khoảng chứa, không kết luận căn bằng trung điểm $3{,}15$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính $(\sqrt{11})^2$ và $(\sqrt0)^2$.

Gợi ý bài 1

Dùng định nghĩa, không chuyển sang số gần đúng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Vì $11\ge0$, $(\sqrt{11})^2=11$.

2. $\sqrt0=0$, nên $(\sqrt0)^2=0$.

Tự kiểm

Cả hai số dưới căn đều không âm, nên phép căn được xác định.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\sqrt{(-7)^2}$ và so với $-7$.

Gợi ý bài 2

Bình phương trước rồi lấy căn không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $(-7)^2=49$, nên $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$.

2. Kết quả $7$ khác $-7$ và là số đối của $-7$.

Tự kiểm

Không triệt tiêu ký hiệu căn và bình phương rồi giữ số âm.

Bài 3

Cơ bản

Không dùng máy, đặt $\sqrt{30}$ giữa hai số nguyên liên tiếp bằng bình phương.

Gợi ý bài 3

Chọn các bình phương $25$ và $36$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $5^2=25<30<36=6^2$.

2. Vì vậy $5<\sqrt{30}<6$.

Tự kiểm

Hai đầu là hai số nguyên liên tiếp và các dấu đều nghiêm ngặt.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $\sqrt{(-2)^2}=-2$ vì “căn và bình phương triệt tiêu”. Nêu điều kiện về dấu bị bỏ qua và sửa.

Gợi ý bài 4

Công thức trả về chính cơ số chỉ đúng khi cơ số không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Cơ số $-2$ âm, nên không được dùng $\sqrt{x^2}=x$ với $x=-2$.

2. Tính đúng $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt4=2$.

Tự kiểm

Giá trị căn $2$ không âm và bình phương đúng bằng $4$.

Bài 5

Cơ bản

Tính $(\sqrt{19})^2$ và $\sqrt{(-5)^2}$.

Gợi ý bài 5

Phân biệt thứ tự hai phép toán.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $(\sqrt{19})^2=19$ theo định nghĩa.

2. $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$.

Tự kiểm

Biểu thức thứ hai không trả lại cơ số âm.

Bài 6

Cơ bản

Không dùng máy, đặt $\sqrt{70}$ giữa hai số nguyên liên tiếp.

Gợi ý bài 6

Tìm hai bình phương nguyên liên tiếp kẹp $70$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $8^2=64<70<81=9^2$.

2. Vậy $8<\sqrt{70}<9$.

Tự kiểm

Không chọn $7,8$ chỉ vì số dưới căn bắt đầu bằng chữ số $7$.

Bài 7

Cơ bản

Cho $t\le0$. Tính $\sqrt{t^2}$ theo $t$.

Gợi ý bài 7

Số $-t$ không âm, gồm cả trường hợp $t=0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $-t\ge0$ và $(-t)^2=t^2$.

2. Theo định nghĩa $\sqrt{t^2}=-t$.

Tự kiểm

Khi $t=0$, hai vế đều $0$; không cần loại biên.

Bài 8

Cơ bản

Kiểm bạn ghi $\sqrt{\dfrac49}=-\dfrac23$ có đúng không.

Gợi ý bài 8

Bình phương đúng chưa đủ; xét dấu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $-\dfrac23$ âm nên không thể là căn bậc hai số học.

2. Giá trị đúng là $\dfrac23$ vì nó không âm và bình phương bằng $\dfrac49$.

Tự kiểm

Dùng dấu bằng cho kết quả đúng vì đây là căn chính xác.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số hữu tỉ $x$ để $\sqrt{x^2}=4$.

Gợi ý bài 9

Xét hai miền dấu của cơ số trước bình phương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Nếu $x\ge0$, căn bình phương bằng $x$, nên $x=4$. Nếu $x<0$, nó bằng $-x$, nên $x=-4$.

2. Cả $4,-4$ đều thỏa, nên tập nghiệm gồm hai số này.

Tự kiểm

$\sqrt{4^2}=\sqrt{(-4)^2}=4$; đã xét đủ hai miền dấu.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Không dùng máy, chứng minh $1{,}7<\sqrt3<1{,}8$.

Gợi ý bài 10

Bình phương hai biên dương rồi so với $3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $1{,}7^2=2{,}89<3$ và $1{,}8^2=3{,}24>3$.

2. Do đó $1{,}7<\sqrt3<1{,}8$.

Tự kiểm

Một khoảng chứa không cho phép viết $\sqrt3=1{,}75$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Với $a,b\ge0$, nếu $a^2<b^2$ thì có chắc $a<b$ không? Giải thích.

Gợi ý bài 11

Xét điều gì xảy ra nếu $a\ge b$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Nếu $a=b$ thì bình phương bằng nhau. Nếu $a>b\ge0$, hiệu $a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0$.

2. Cả hai trường hợp $a\ge b$ đều trái $a^2<b^2$, nên phải có $a<b$.

Tự kiểm

Điều kiện không âm không được bỏ: $a=-2,b=-3$ cho $a^2=4<9=b^2$ nhưng $a>b$.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn nói “$\sqrt{x^2}\ge0$ nên $x\ge0$”. Bác bỏ và nêu phát biểu đúng.

Gợi ý bài 12

Chọn một cơ số âm có bình phương dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Lấy $x=-2$, ta có $\sqrt{x^2}=2\ge0$ nhưng $x<0$, nên suy luận sai.

2. Phát biểu đúng: $\sqrt{x^2}=x$ nếu $x\ge0$, và $\sqrt{x^2}=-x$ nếu $x<0$.

Tự kiểm

Dấu của giá trị căn không khôi phục duy nhất dấu của cơ số đã bình phương.

5. Tự kiểm sau khi học

Trước khi tính, khoanh cấu trúc ngoài cùng là căn hay bình phương và ghi điều kiện dấu tương ứng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Căn bậc hai số học và máy tính. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.