Kiểm chân đường cao và vị trí trực tâm

$H\in BC$ và $AH\perp BC$, nên $H$ là chân đường cao từ $A$.

$O$ là giao ba đường cao, tức trực tâm. Trong hình nhọn này, hai điểm khác nhau và có vai trò khác nhau.

Giao ba trung tuyến là trọng tâm.

Trực tâm là giao ba đường cao; mỗi đường qua một đỉnh và vuông góc đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Chẳng hạn dựng $AH\perp BC$ và $BD\perp AC$ trên hình tự vẽ, với chân trên đường thẳng chứa cạnh thích hợp.

Gọi giao là $O$; trực tâm tam giác tù ở ngoài. Ghi quan hệ và kết quả thực hoặc kế hoạch nếu chưa dựng.

Chứng minh cần quan hệ vuông góc được cho hoặc đã chứng minh; gần vuông góc không thay quan hệ ấy.

Phải sửa bản dựng hoặc ghi rõ chỉ là phép đo gần đúng, không đổi giả thiết của chứng minh để hợp nét sai.

Điều kiện chỉ cho $O$ thuộc đường cao từ $A$.

Cần thêm $O$ thuộc một đường cao khác, chẳng hạn $BO\perp AC$, mới xác định trực tâm.

Kiểm lại nhãn $B,D$ và đường đã kẻ; đường cao từ $B$ phải qua đúng $B$.

Dựng lại vuông góc từ $B$ tới $AC$ và gọi đúng giao là $D$. Không dùng nhãn để che lỗi nét dựng.

$AC,BC$ là hai đường cao từ $A,B$ và gặp tại $C$.

Trực tâm phải là $C$, nên điểm giữa tam giác được chọn không đúng; dựng lại hoặc sửa nhãn.

Cả ba góc nhỏ hơn $90^\circ$, nên mô hình tam giác nhọn có trực tâm ở trong.

Vẫn cần kiểm từng đường qua đúng đỉnh và vuông góc cạnh đối diện; vị trí trong chưa tự chứng minh đó là trực tâm.

Hai đường đã cho là đường cao từ $A,C$, giao tại trực tâm $O$.

Theo tính đồng quy, đường cao từ $B$ đi qua $O$, nên $BO\perp AC$.

$AB\perp BC$, nên đường cao từ $A$ nằm trên $AB$ và có chân tại $B$.

Chân trùng đỉnh $B$, nên phát biểu “mọi chân đều khác đỉnh” sai.

Chân đường cao từ một đỉnh nằm trong cạnh chưa loại trường hợp tam giác tù tại chính đỉnh ấy.

Vì vậy chưa đủ kết luận nhọn; phải kiểm cả ba góc hoặc các điều kiện tương đương. Chẳng hạn tam giác cân tù tại $A$ vẫn có đường cao từ $A$ xuống trung điểm $BC$.

Với mỗi đường, kiểm đi qua đỉnh, chân thuộc đường thẳng cạnh đối diện và góc đúng $90^\circ$ trong mô hình; kéo dài cạnh khi cần.

Sau đó kiểm giao ngoài tam giác và đường cao thứ ba. Ghi số đo thực kèm độ chính xác; nếu chỉ có kế hoạch thì chưa khẳng định đã đo thành công.