Nhận điều kiện ba độ dài tạo tam giác

Quan hệ cạnh, góc và bất đẳng thức tam giác · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-30-B1

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm tính dương và bất đẳng thức tam giác.
• Giải thích vì sao chỉ cần kiểm cạnh dài nhất.
• Phân biệt trường hợp suy biến với tam giác.

1. Kiến thức và phương pháp

Ba số dương là độ dài ba cạnh một tam giác không suy biến khi mỗi số nhỏ hơn tổng hai số còn lại. Nếu đã xếp $0<a\le b\le c$, chỉ cần kiểm $c<a+b$: hai bất đẳng thức còn lại tự đúng do tính dương và thứ tự.

Nếu $c=a+b$ thì các đoạn chỉ ghép thẳng hàng, không tạo tam giác không suy biến. Nếu $c>a+b$ thì hai đoạn ngắn không vươn tới hai đầu đoạn dài. Không dùng các tính chất tam giác cho một bộ số đã thất bại ở bước này.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Cạnh dài nhất thỏa

Cơ bản

Đề bài

Ba đoạn $4,5,7$ cm có tạo được tam giác không?

Nghĩ từ đâu?

Xác định cạnh dài nhất và kiểm dương.

Lời giải từng bước

1. Ba số đều dương, cạnh lớn nhất $7$ cm.

2. $7<4+5=9$, nên bộ độ dài tạo được tam giác không suy biến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần hai cạnh ngắn bằng nhau mới ghép được.

Ví dụ 2. Cạnh dài nhất quá dài

Cơ bản

Đề bài

Kiểm bộ $2,5,8$ cm.

Nghĩ từ đâu?

Tổng hai cạnh ngắn phải vượt cạnh dài.

Lời giải từng bước

1. $2+5=7<8$.

2. Không tạo được tam giác không suy biến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính dương riêng lẻ chưa đủ.

Ví dụ 3. Đúng bằng tổng vẫn bị loại

Vận dụng

Đề bài

Bộ $3,4,7$ cm có tam giác không suy biến không?

Nghĩ từ đâu?

Cần bất đẳng thức nghiêm.

Lời giải từng bước

1. $3+4=7$, chỉ bằng cạnh dài nhất.

2. Bộ không thỏa $7<3+4$; ba điểm sẽ thẳng hàng khi ghép, nên không chấp nhận.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng nhỏ hơn hoặc bằng thay nhỏ hơn.

Ví dụ 4. Cạnh 0 không hợp lệ

Vận dụng

Đề bài

Bạn đưa $0,6,6$ cm và gọi tam giác có hai cạnh bằng nhau. Kiểm bước đầu.

Nghĩ từ đâu?

Mọi cạnh phải dài dương.

Lời giải từng bước

1. Số $0$ không là độ dài cạnh của tam giác không suy biến.

2. Cạnh dài nhất còn có $6=0+6$, không thỏa bất đẳng thức nghiêm; không có tam giác để gọi tên.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng một đẳng thức giữa hai số để bỏ qua điều kiện tồn tại.

Ví dụ 5. Đổi đơn vị trước kiểm

Vận dụng

Đề bài

Ba đoạn dài $0{,}5$ dm, $4$ cm, $80$ mm. Kiểm tạo tam giác.

Nghĩ từ đâu?

Đưa về cùng đơn vị cm.

Lời giải từng bước

1. Các độ dài là $5,4,8$ cm.

2. Đều dương và $8<5+4=9$, nên tạo được tam giác.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không so phần số $0,5$;$4$;$80$ khi đơn vị khác nhau.

Ví dụ 6. Có cạnh âm

Vận dụng

Đề bài

Bộ $-1,4,4$ cm có được kiểm như tam giác cân không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm ý nghĩa độ dài trước phép tính.

Lời giải từng bước

1. Độ dài cạnh phải dương; $-1$ cm vi phạm điều kiện.

2. Không có tam giác như mô tả, dù hai số $4$ bằng nhau; chưa áp tính chất góc hoặc tên tam giác.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không đổi $-1$ thành $1$ mà không ghi thay dữ kiện.

Ví dụ 7. Vì sao kiểm cạnh dài nhất đủ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $0<a\le b\le c$ và $c<a+b$. Chứng minh hai bất đẳng thức còn lại.

Nghĩ từ đâu?

Dùng một số hạng đã không nhỏ hơn vế trái và số kia dương.

Lời giải từng bước

1. Vì $b\ge a$ và $c>0$, có $b+c>a$.

2. Vì $c\ge b$ và $a>0$, có $a+c>b$.

3. Cùng với $a+b>c$, đủ ba bất đẳng thức tam giác.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Điều kiện dương là lý do hai tổng lớn nghiêm, không chỉ lớn hơn hoặc bằng.

Ví dụ 8. Liệt kê với chu vi cố định

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Ba cạnh nguyên dương $a\le b\le c$ theo cm, chu vi $12$ cm. Tìm mọi bộ tạo tam giác.

Nghĩ từ đâu?

Từ $c<a+b$ và tổng $12$ suy $c<6$.

Lời giải từng bước

1. $a+b+c=12$, $c<a+b$ cho $c<6$, nên c không quá $5$. Cạnh nhỏ nhất a không quá $4$.

2. Nếu $a=1$, $b+c=11$ nhưng mỗi số không quá $5$ nên không được. Nếu $a=2$ thì $b=c=5$; nếu $a=3$ thì $b=4$,$c=5$; nếu $a=4$ thì $b=c=4$.

3. Các bộ $(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)$ đều dương và cạnh dài nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã xét đủ $a\in\{1,2,3,4\}$ và không lặp hoán vị.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Ba đoạn $3$ cm,$4$ cm,$6$ cm có thể là ba cạnh tam giác không? Nêu phép kiểm.

Gợi ý bài 1

Cạnh $6$ dài nhất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Ba độ dài dương; $3+4=7>6$.

2. Vì cạnh dài nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia, có thể tạo tam giác.

Tự kiểm

Không cần dùng hình vẽ đo thử để có phép kiểm số.

Bài 2

Cơ bản

Kiểm ba độ dài $2$ cm,$4$ cm,$7$ cm có tạo tam giác không.

Gợi ý bài 2

So $7$ với $2+4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $2+4=6<7$.

2. Không tạo tam giác không suy biến.

Tự kiểm

Không suy góc lớn nhất của một tam giác chưa tồn tại.

Bài 3

Cơ bản

Ba độ dài $2$ cm,$3$ cm,$5$ cm có tổng hai cạnh bằng cạnh còn lại. Vì sao không chấp nhận?

Gợi ý bài 3

Dấu bất đẳng thức phải nghiêm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $5=2+3$ nên không có $5<2+3$.

2. Ghép các đoạn theo trường hợp bằng chỉ cho thẳng hàng, không tạo miền tam giác không suy biến.

Tự kiểm

Không nhận bộ chỉ vì tổng không nhỏ hơn cạnh dài.

Bài 4

Cơ bản

Bạn đưa $0$ cm,$4$ cm,$4$ cm rồi gọi tam giác cân. Kiểm điều kiện trước khi gọi tên.

Gợi ý bài 4

Một cạnh bằng $0$ đã vi phạm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Cạnh phải dương nhưng có số $0$.

2. Hơn nữa $4=0+4$ không thỏa nhỏ hơn nghiêm; không có tam giác để áp tính chất tam giác cân.

Tự kiểm

Hai số bằng nhau chưa đủ xác nhận có hình tam giác.

Bài 5

Vận dụng

Bộ $5,5,9$ cm có tạo tam giác không?

Gợi ý bài 5

Kiểm cạnh $9$ với tổng $10$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Các số dương và $9<5+5=10$.

2. Bộ tạo tam giác không suy biến.

Tự kiểm

Cạnh lớn có thể gần tổng hai cạnh kia nhưng phải nhỏ nghiêm.

Bài 6

Vận dụng

Bộ $4,6,10$ cm có hợp lệ không?

Gợi ý bài 6

So dấu bằng với yêu cầu nghiêm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $4+6=10$.

2. Không hợp lệ vì tạo trường hợp suy biến.

Tự kiểm

Không gọi góc đối diện $10$ là góc tù của tam giác này.

Bài 7

Vận dụng

Ba đoạn $30$ mm,$4$ cm,$0{,}6$ dm có tạo tam giác không?

Gợi ý bài 7

Đổi về cm trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Độ dài là $3,4,6$ cm.

2. $6<3+4=7$ và tất cả dương, nên tạo được tam giác.

Tự kiểm

Giữ đơn vị thống nhất trong phép so.

Bài 8

Vận dụng

Bộ $1,1,3$ cm và bộ $2,2,3$ cm đều có hai số bằng nhau. Bộ nào tạo tam giác?

Gợi ý bài 8

Kiểm cả cạnh lớn nhất của mỗi bộ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Bộ đầu có $3>1+1$, không tạo tam giác.

2. Bộ sau có $3<2+2$, tạo được tam giác.

Tự kiểm

Điều kiện tồn tại cần trước đặc tính hai cạnh bằng nhau.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Cạnh nguyên dương $a\le b\le c$ theo cm, chu vi $7$ cm. Tìm mọi bộ tam giác.

Gợi ý bài 9

Cạnh dài nhất nhỏ hơn nửa chu vi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $c<7:2=3{,}5$, nên $c\le 3$; $a\le 2$.

2. Với $a=1$, $b+c=6$ nên $b=c=3$. Với $a=2$, $b+c=5$ và $b\ge 2$,$c\le 3$ nên $b=2$,$c=3$.

3. Hai bộ $(1,3,3),(2,2,3)$ đều thỏa; không còn a khác.

Tự kiểm

Thứ tự không giảm loại hoán vị trùng.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Ba số dương có tổng $P$, số lớn nhất $c$ bằng $P/2$. Chứng minh ba số ấy không tạo thành độ dài ba cạnh của một tam giác không suy biến.

Gợi ý bài 10

Hai số còn lại có tổng P-c.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $a+b=P-c=P:2=c$.

2. Bất đẳng thức $c<a+b$ không thỏa vì bằng nhau, nên chỉ là trường hợp suy biến.

Tự kiểm

P dương nhưng điều ấy chưa đủ nếu cạnh lớn đạt nửa chu vi.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Hai bộ dương $2,3,5$ và $3,3,4$ cm đều chu vi $10$. Có thể chỉ từ cùng chu vi kết luận cùng tạo tam giác không?

Gợi ý bài 11

Kiểm riêng cạnh dài nhất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Bộ đầu có $5=2+3$, không hợp lệ.

2. Bộ sau có $4<3+3$, hợp lệ; cùng chu vi không thay được bất đẳng thức.

Tự kiểm

Phản ví dụ dùng đúng cùng tổng nhưng hai kết quả tồn tại khác nhau.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bộ cạnh a,b,c dương tạo tam giác. Nhân mọi độ dài với cùng $k>0$ có còn thỏa điều kiện không? Chứng minh.

Gợi ý bài 12

Nhân bất đẳng thức nghiêm với số dương giữ chiều.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Từ $a+b>c$ suy $ka+kb>kc$; tương tự $ka+kc>kb$ và $kb+kc>ka$.

2. Ba độ dài mới vẫn dương vì $k>0$, nên tiếp tục thỏa điều kiện tam giác.

Tự kiểm

Nếu $k=0$ thì mọi cạnh $0$, không dùng kết luận cho trường hợp ấy.

5. Tự kiểm sau khi học

Lập ba bộ độ dài: hợp lệ, suy biến, không ghép được; giải thích bằng cạnh dài nhất.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Quan hệ cạnh, góc và bất đẳng thức tam giác. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.