Đến nội dung chính

Nhận đường trung tuyến của tam giác

THCSLớp 7Khoảng cách và các đường đặc biệtMở mô-đun

Đường trung tuyến và trọng tâm tam giác · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-37-B1

Trung tuyến được nhận từ một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện. Bài học tách rõ điều kiện về vị trí và độ dài để tránh nhầm với đường cao hay trung trực.

Sau bài này, em có thể:

  • Nhận đúng trung tuyến từ từng đỉnh.
  • Kiểm đủ hai điều kiện của trung điểm.

Cần biết trước: Trung điểm đoạn thẳng; các yếu tố của tam giác; dấu hiệu cạnh–cạnh–cạnh cho phần mở rộng.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Trong tam giác $ABC$, nếu $M\in BC$ và $BM=MC$ thì $M$ là trung điểm $BC$, và đoạn $AM$ là trung tuyến từ $A$. Mỗi tam giác có ba trung tuyến. Điều kiện vuông góc không thuộc định nghĩa trung tuyến.

Tam giác ABC; M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB; ba trung tuyến gặp tại G.
Tam giác ABC; M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB; ba trung tuyến gặp tại G. Các quan hệ được nêu trong lời bài; không lấy kích thước ảnh làm số đo.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Hai điều kiện của trung điểm

Cơ bản

Đề bài

Trong tam giác $ABC$, $M\in BC$, $BM=MC=4$ cm. Giải thích vì sao $AM$ là trung tuyến.

Nghĩ từ đâu?

Không bắt đầu từ hình cân hay góc vuông; hãy xác định trung điểm của cạnh đối diện $A$.

Lời giải từng bước

  1. $M$ thuộc đoạn $BC$ và $BM=MC$, nên $M$ là trung điểm $BC$.

  2. $AM$ nối đỉnh $A$ với trung điểm cạnh đối diện, nên là trung tuyến từ $A$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần giả thiết $AM\perp BC$ hay $AB=AC$.

Ví dụ 2. Đổi đỉnh, đổi cạnh đối diện

Cơ bản

Đề bài

$N$ là trung điểm $CA$ trong tam giác $ABC$. Trung tuyến nào được xác định?

Nghĩ từ đâu?

Xác định đỉnh không thuộc cạnh $CA$.

Lời giải từng bước

  1. Đỉnh đối diện cạnh $CA$ là $B$.

  2. Vì $N$ là trung điểm $CA$, đoạn $BN$ là trung tuyến từ $B$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$AN$ chỉ nằm trên cạnh $AC$; nó không nối đỉnh $B$ với trung điểm cạnh đối diện.

Ví dụ 3. Tìm độ dài còn thiếu

Vận dụng

Đề bài

$M\in BC$, $BC=18$ cm. Để $AM$ là trung tuyến, $BM$ và $MC$ phải bằng bao nhiêu?

Nghĩ từ đâu?

Trung điểm chia toàn cạnh thành hai phần bằng nhau.

Lời giải từng bước

  1. Điều kiện cần là $BM=MC$ và $BM+MC=18$.

  2. Mỗi đoạn bằng $18:2=9$ cm; chọn $M$ như vậy thì $AM$ là trung tuyến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$9+9=18$; vị trí $M\in BC$ vẫn là điều kiện cần giữ.

Ví dụ 4. Đoạn xiên vẫn có thể là trung tuyến

Vận dụng

Đề bài

$M$ là trung điểm $BC$, nhưng $\angle AMB=80^\circ$. $AM$ có mất tính trung tuyến không?

Nghĩ từ đâu?

Phân biệt điều kiện chia đôi cạnh với điều kiện vuông góc.

Lời giải từng bước

  1. Trung tuyến chỉ cần nối $A$ với trung điểm $BC$; điều kiện ấy đã được cho.

  2. Vì vậy $AM$ vẫn là trung tuyến. Góc $80^\circ$ chỉ cho thấy nó không là đường cao từ $A$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không được thêm điều kiện vuông góc vào định nghĩa trung tuyến.

Ví dụ 5. Một chân không chia đôi cạnh

Vận dụng

Đề bài

$H\in BC$, $AH\perp BC$, $BH=3$ cm và $HC=5$ cm. $AH$ là trung tuyến không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm trung điểm thay vì chỉ nhìn dấu vuông góc.

Lời giải từng bước

  1. Vì $BH\ne HC$, $H$ không phải trung điểm $BC$.

  2. Do đó $AH$ là đường cao nhưng không là trung tuyến từ $A$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai tên gọi có điều kiện khác nhau: vuông góc và chia đôi cạnh.

Ví dụ 6. Điểm chỉ nằm trên đường thẳng

Vận dụng

Đề bài

$B,M,C$ thẳng hàng, $M$ ở ngoài đoạn $BC$. Có thể gọi $AM$ là trung tuyến từ $A$ không?

Nghĩ từ đâu?

Trung điểm phải thuộc đoạn chứ không chỉ thuộc đường thẳng.

Lời giải từng bước

  1. $M$ ngoài đoạn $BC$ nên không thể là trung điểm của $BC$.

  2. $AM$ không là trung tuyến từ $A$, dù nó cắt đường thẳng $BC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phải đọc vị trí “trên đoạn” hay “trên đường thẳng” đúng như giả thiết.

Ví dụ 7. Một điều kiện xác định duy nhất điểm

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$M\in BC$, $BM=2x+1$ cm, $MC=x+4$ cm, $x>0$. Tìm $x$ để $AM$ là trung tuyến.

Nghĩ từ đâu?

Thay yêu cầu trung tuyến bằng đẳng thức hai nửa cạnh.

Lời giải từng bước

  1. Cần $2x+1=x+4$, nên $x=3$.

  2. Khi ấy $BM=MC=7$ cm. Do $M\in BC$, $AM$ là trung tuyến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$x=3>0$ và cả hai độ dài dương; chỉ giải phương trình mà bỏ vị trí điểm là chưa đủ.

Ví dụ 8. Trung tuyến trong tam giác cân

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$AB=AC$ và $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh trung tuyến $AM$ cũng là đường cao.

Nghĩ từ đâu?

Xét hai tam giác có ba cặp cạnh bằng nhau rồi dùng hai góc kề bù ở $M$.

Lời giải từng bước

  1. $AB=AC$, $BM=CM$ và $AM$ chung, nên $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo cạnh–cạnh–cạnh.

  2. Suy ra $\angle AMB=\angle AMC$. Hai góc kề bù có tổng $180^\circ$, nên mỗi góc bằng $90^\circ$; do đó $AM\perp BC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết luận dùng thêm $AB=AC$; không áp dụng cho mọi trung tuyến.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Kết luận chỉ từ hình vẽ hoặc số đo gần đúng. Nêu giả thiết và định nghĩa hoặc tính chất bảo đảm kết luận; phép đo chỉ kiểm bản dựng.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Trong hình, trung tuyến từ $A$, từ $B$ và từ $C$ lần lượt là những đoạn nào?

Gợi ý bài 1

Đọc các trung điểm $M,N,P$ trên ba cạnh đối diện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. Trong hình nguồn, $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$.

  2. Theo định nghĩa, ba trung tuyến tương ứng là $AM,BN,CP$.

Tự kiểm

Mỗi đoạn nối đúng một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.

Bài 2

Cơ bản

Trong tam giác $ABC$, $M\in BC$ và $BM=MC$. Vì sao $AM$ là trung tuyến?

Gợi ý bài 2

Ghép hai điều kiện để nhận trung điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. $M\in BC$ và $BM=MC$, nên $M$ là trung điểm $BC$.

  2. $AM$ nối đỉnh $A$ với trung điểm cạnh đối diện, nên là trung tuyến từ $A$.

Tự kiểm

Không cần kiểm thêm vuông góc.

Bài 3

Cơ bản

Nằm trên đường thẳng $BC$ nhưng ngoài đoạn $BC$, một điểm $M$ có thể là trung điểm $BC$ không?

Gợi ý bài 3

Nhắc lại điều kiện nằm giữa hai đầu đoạn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. Trung điểm $BC$ phải thuộc đoạn $BC$.

  2. $M$ nằm ngoài đoạn ấy, nên không thể là trung điểm.

Tự kiểm

Cùng thuộc một đường thẳng chưa đủ để thuộc đoạn.

Bài 4

Cơ bản

Bạn vẽ từ $A$ một đoạn vuông góc $BC$ rồi gọi ngay là trung tuyến. Cần kiểm thêm điều gì?

Gợi ý bài 4

Đường cao và trung tuyến có hai điều kiện khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. Vuông góc với $BC$ xác định điều kiện của đường cao từ $A$.

  2. Để là trung tuyến, chân đoạn ấy còn phải là trung điểm $BC$: thuộc đoạn $BC$ và chia đôi $BC$.

Tự kiểm

Nếu chân là $H$, cần $H\in BC$ và $BH=HC$.

Bài 5

Vận dụng

$M\in BC$, $BM=MC=6$ cm. $AM$ là trung tuyến từ $A$ không?

Gợi ý bài 5

Kiểm riêng hai điều kiện: điểm nằm trên cạnh đối diện và chia cạnh thành hai đoạn bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. Điều kiện thuộc đoạn đã được cho; hai độ dài bằng nhau.

  2. Đủ điều kiện để đoạn nối đỉnh với điểm đó là trung tuyến.

Tự kiểm

Định nghĩa dùng đồng thời vị trí trung điểm và đỉnh đối diện; một điều kiện riêng lẻ không thay cả hai.

Bài 6

Vận dụng

$H\in BC$, $BH=4$ cm, $HC=7$ cm. $AH$ là trung tuyến không?

Gợi ý bài 6

Kiểm riêng hai điều kiện: điểm nằm trên cạnh đối diện và chia cạnh thành hai đoạn bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. Điều kiện thuộc đoạn đã được cho; hai độ dài khác nhau.

  2. Vì $BH\ne HC$, $H$ không là trung điểm $BC$, nên $AH$ không là trung tuyến từ $A$.

Tự kiểm

Định nghĩa dùng đồng thời vị trí trung điểm và đỉnh đối diện; một điều kiện riêng lẻ không thay cả hai.

Bài 7

Vận dụng

$P$ là trung điểm $AB$ của tam giác $ABC$. Gọi tên trung tuyến liên quan.

Gợi ý bài 7

Tìm đỉnh đối diện cạnh có trung điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. Cạnh $AB$ đối diện đỉnh $C$.

  2. Vì $P$ là trung điểm $AB$, đoạn $CP$ là trung tuyến từ $C$.

Tự kiểm

Điểm cuối phải là $P$, điểm đầu phải là $C$.

Bài 8

Vận dụng

$AM$ là trung tuyến và $BC=23$ cm. Tính $BM$ và $MC$.

Gợi ý bài 8

Dùng định nghĩa trung điểm trước khi tính.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. $M$ là trung điểm $BC$, nên $BM=MC$ và $BM+MC=23$ cm.

  2. $BM=MC=23:2=11{,}5$ cm.

Tự kiểm

$11{,}5+11{,}5=23$ cm.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$M\in BC$, $BM=3t-2$ cm, $MC=t+6$ cm. Tìm $t$ để $AM$ là trung tuyến.

Gợi ý bài 9

Giải điều kiện hai đoạn bằng nhau rồi kiểm độ dài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. Cần $3t-2=t+6$, nên $2t=8$ và $t=4$.

  2. Khi ấy $BM=MC=10$ cm, nên $M$ là trung điểm và $AM$ là trung tuyến.

Tự kiểm

Hai độ dài đều dương, và vị trí $M\in BC$ đã được cho.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn nói: “Mọi đường cao đều là trung tuyến”. Dùng $BH=2$ cm, $HC=6$ cm, $AH\perp BC$, $H\in BC$ để bác bỏ.

Gợi ý bài 10

Một phản ví dụ phải thỏa giả thiết nhưng không thỏa kết luận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. $AH$ qua $A$ và vuông góc $BC$, nên là đường cao.

  2. $BH\ne HC$, nên $H$ không là trung điểm; $AH$ không là trung tuyến. Đây là phản ví dụ.

Tự kiểm

Không cần dựng kích thước chính xác trên màn hình; các quan hệ đã cho xác định phản ví dụ.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Trong tam giác cân $ABC$ tại $A$, trung tuyến $AM$ có chia đôi góc $A$ không? Chứng minh.

Gợi ý bài 11

Dùng hai tam giác $ABM,ACM$ với ba cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. $AB=AC$, $BM=MC$ và $AM$ chung, nên hai tam giác bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh.

  2. Suy ra $\angle BAM=\angle MAC$, nên $AM$ chứa phân giác trong góc $A$.

Tự kiểm

$M$ ở trên cạnh $BC$ nên tia $AM$ nằm trong góc $A$; điều kiện tam giác cân đã được dùng.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Hai tam giác $ABM,ACM$ có diện tích bằng nhau không? Biết diện tích tam giác bằng nửa tích đáy và chiều cao tương ứng.

Gợi ý bài 12

Chọn hai đáy trên cùng đường thẳng để dùng chung chiều cao từ $A$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. Hai tam giác có đáy $BM=MC$ và cùng chiều cao từ $A$ xuống đường thẳng $BC$.

  2. Theo công thức diện tích, hai tích đáy–chiều cao bằng nhau, nên hai diện tích bằng nhau.

Tự kiểm

Diện tích bằng nhau không tự suy ra hai tam giác bằng nhau về hình dạng.

5. Tự kiểm sau khi học

Đối chiếu từng điều kiện đã dùng với dữ kiện ban đầu. Nếu sai, quay lại đúng bước chọn đường hoặc chọn tính chất, rồi giải lại bằng kí hiệu của bài.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường trung tuyến và trọng tâm tam giác. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu

Chọn bài khác trong mô-đun · Toán lớp 7 · Hướng dẫn tự học THCS