Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Lũy thừa số hữu tỉ với số mũ tự nhiên · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-03-B2

Sau bài này, em có thể:

• Nhân lũy thừa cùng cơ số.
• Kiểm điều kiện cùng cơ số trước khi gộp.
• Đưa một số về lũy thừa thích hợp và xét số mũ có điều kiện.

1. Kiến thức và phương pháp

Với số mũ tự nhiên $m,n$, ta có $a^ma^n=a^{m+n}$ khi các lũy thừa đều được xác định. Với $a=0$, chỉ dùng trực tiếp khi các số mũ xuất hiện không tạo ký hiệu $0^0$.

Quy tắc đòi hỏi cùng cơ số. Không dùng số mũ của cơ số này để gộp vào một cơ số khác; có thể đổi cách viết nếu chứng minh được chúng thực sự có cùng cơ số.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Gộp các thừa số cùng cơ số

Cơ bản

Đề bài

Viết $(\frac{2}{5})^2\cdot(\frac{2}{5})^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Hai cơ số đều là $\frac{2}{5}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải từng bước

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(\frac{2}{5})^2\cdot(\frac{2}{5})^3=(\frac{2}{5})^{2+3}=(\frac{2}{5})^{5}$.

2. Giá trị bằng $\frac{32}{3125}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính hai thừa số riêng được $\frac{4}{25}$ và $\frac{8}{125}$; tích của chúng bằng $\frac{32}{3125}$.

Ví dụ 2. Gộp các thừa số cùng cơ số

Cơ bản

Đề bài

Viết $(-\frac{1}{2})^3\cdot(-\frac{1}{2})^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Hai cơ số đều là $-\frac{1}{2}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải từng bước

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(-\frac{1}{2})^3\cdot(-\frac{1}{2})^2=(-\frac{1}{2})^{3+2}=(-\frac{1}{2})^{5}$.

2. Giá trị bằng $-\frac{1}{32}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính hai thừa số riêng được $-\frac{1}{8}$ và $\frac{1}{4}$; tích của chúng bằng $-\frac{1}{32}$.

Ví dụ 3. Gộp các thừa số cùng cơ số

Cơ bản

Đề bài

Viết $(\frac{1}{3})^0\cdot(\frac{1}{3})^4$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Hai cơ số đều là $\frac{1}{3}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải từng bước

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(\frac{1}{3})^0\cdot(\frac{1}{3})^4=(\frac{1}{3})^{0+4}=(\frac{1}{3})^{4}$.

2. Giá trị bằng $\frac{1}{81}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính hai thừa số riêng được $1$ và $\frac{1}{81}$; tích của chúng bằng $\frac{1}{81}$.

Ví dụ 4. Gộp các thừa số cùng cơ số

Cơ bản

Đề bài

Viết $(0)^2\cdot(0)^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Hai cơ số đều là $0$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải từng bước

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(0)^2\cdot(0)^3=(0)^{2+3}=(0)^{5}$.

2. Giá trị bằng $0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính hai thừa số riêng được $0$ và $0$; tích của chúng bằng $0$.

Ví dụ 5. Gộp các thừa số cùng cơ số

Cơ bản

Đề bài

Viết $(-\frac{2}{3})^1\cdot(-\frac{2}{3})^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Hai cơ số đều là $-\frac{2}{3}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải từng bước

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(-\frac{2}{3})^1\cdot(-\frac{2}{3})^2=(-\frac{2}{3})^{1+2}=(-\frac{2}{3})^{3}$.

2. Giá trị bằng $-\frac{8}{27}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính hai thừa số riêng được $-\frac{2}{3}$ và $\frac{4}{9}$; tích của chúng bằng $-\frac{8}{27}$.

Ví dụ 6. Hai cơ số khác nhau

Cơ bản

Đề bài

Có được viết $\left(\dfrac12\right)^2\left(\dfrac23\right)^3=\left(\dfrac12\right)^5$ không? Tính tích đúng.

Nghĩ từ đâu?

Quy tắc cộng số mũ yêu cầu cơ số giống nhau; ở đây không có điều kiện đó.

Lời giải từng bước

1. Hai cơ số $\dfrac12$ và $\dfrac23$ khác nhau, nên không gộp bằng quy tắc cùng cơ số.

2. Tích đúng là $\dfrac14\cdot\dfrac8{27}=\dfrac2{27}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$\left(\dfrac12\right)^5=\dfrac1{32}\ne\dfrac2{27}$.

Ví dụ 7. Đưa về cùng cơ số trước

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Viết $\left(\dfrac12\right)^3\cdot\dfrac1{16}$ thành một lũy thừa cơ số $\dfrac12$.

Nghĩ từ đâu?

Nhận $\dfrac1{16}$ là tích bốn thừa số $\dfrac12$.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac1{16}=\left(\dfrac12\right)^4$.

2. Vì vậy tích bằng $\left(\dfrac12\right)^{3+4}=\left(\dfrac12\right)^7$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giá trị là $\dfrac18\cdot\dfrac1{16}=\dfrac1{128}$, đúng $\left(\dfrac12\right)^7$.

Ví dụ 8. Tìm số mũ bằng tính tăng của lũy thừa

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm số tự nhiên $n$ biết $2^n\cdot2^3=2^8$.

Nghĩ từ đâu?

Gộp cơ số trước; các lũy thừa tự nhiên của $2$ tăng nghiêm ngặt vì mỗi bước nhân thêm $2$.

Lời giải từng bước

1. Vế trái bằng $2^{n+3}$. Từ $2^{n+3}=2^8$ và tính tăng, suy ra $n+3=8$.

2. Do đó $n=5$, là số tự nhiên; thay lại được $2^5\cdot2^3=2^8$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không suy “hai số mũ bằng nhau” cho cơ số $1$ hoặc $-1$; tính tăng ở đây dựa vào cơ số $2$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Viết $\left(-\dfrac25\right)^3\cdot\left(-\dfrac25\right)^2$ thành một lũy thừa.

Gợi ý bài 1

Hai cơ số, kể cả dấu âm và ngoặc, giống nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Cộng số mũ: $3+2=5$.

2. Tích bằng $\left(-\dfrac25\right)^5$.

Tự kiểm

Ba thừa số và hai thừa số ghép thành năm thừa số cùng bằng $-\dfrac25$.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\left(\dfrac13\right)^2\cdot\left(\dfrac13\right)^3$.

Gợi ý bài 2

Gộp thành một lũy thừa rồi tính mẫu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Tích bằng $\left(\dfrac13\right)^{2+3}=\left(\dfrac13\right)^5$.

2. Giá trị là $\dfrac1{243}$.

Tự kiểm

$\dfrac19\cdot\dfrac1{27}=\dfrac1{243}$.

Bài 3

Cơ bản

Viết $0^2\cdot0^4$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 3

Cả hai số mũ đều dương nên hai lũy thừa cơ số $0$ đều xác định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Tổng số mũ là $2+4=6$, nên tích bằng $0^6$.

2. $0^6=0$ vì là tích sáu thừa số $0$.

Tự kiểm

Không dùng quy ước $0^0$; trường hợp ấy không xuất hiện ở đây.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $\left(\dfrac23\right)^2\cdot\left(\dfrac45\right)^3=\left(\dfrac23\right)^5$. Điều kiện nào bị bỏ qua?

Gợi ý bài 4

So hai cơ số trước khi cộng số mũ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Hai cơ số $\dfrac23$ và $\dfrac45$ khác nhau, nên không dùng quy tắc nhân cùng cơ số.

2. Tính riêng được $\dfrac49\cdot\dfrac{64}{125}=\dfrac{256}{1125}$.

Tự kiểm

Giá trị không bằng $\left(\dfrac23\right)^5$; điều kiện cùng cơ số là thiết yếu.

Bài 5

Cơ bản

Viết $(\frac{3}{4})^1\cdot(\frac{3}{4})^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 5

Hai cơ số đều là $\frac{3}{4}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(\frac{3}{4})^1\cdot(\frac{3}{4})^2=(\frac{3}{4})^{1+2}=(\frac{3}{4})^{3}$.

2. Giá trị bằng $\frac{27}{64}$.

Tự kiểm

Tính hai thừa số riêng được $\frac{3}{4}$ và $\frac{9}{16}$; tích của chúng bằng $\frac{27}{64}$.

Bài 6

Cơ bản

Viết $(-\frac{1}{3})^2\cdot(-\frac{1}{3})^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 6

Hai cơ số đều là $-\frac{1}{3}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(-\frac{1}{3})^2\cdot(-\frac{1}{3})^3=(-\frac{1}{3})^{2+3}=(-\frac{1}{3})^{5}$.

2. Giá trị bằng $-\frac{1}{243}$.

Tự kiểm

Tính hai thừa số riêng được $\frac{1}{9}$ và $-\frac{1}{27}$; tích của chúng bằng $-\frac{1}{243}$.

Bài 7

Cơ bản

Viết $(\frac{2}{7})^0\cdot(\frac{2}{7})^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 7

Hai cơ số đều là $\frac{2}{7}$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(\frac{2}{7})^0\cdot(\frac{2}{7})^2=(\frac{2}{7})^{0+2}=(\frac{2}{7})^{2}$.

2. Giá trị bằng $\frac{4}{49}$.

Tự kiểm

Tính hai thừa số riêng được $1$ và $\frac{4}{49}$; tích của chúng bằng $\frac{4}{49}$.

Bài 8

Cơ bản

Viết $(0)^1\cdot(0)^5$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 8

Hai cơ số đều là $0$; cộng số thừa số của hai nhóm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Theo quy tắc cùng cơ số, $(0)^1\cdot(0)^5=(0)^{1+5}=(0)^{6}$.

2. Giá trị bằng $0$.

Tự kiểm

Tính hai thừa số riêng được $0$ và $0$; tích của chúng bằng $0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Viết $\dfrac1{27}\cdot\left(\dfrac13\right)^2$ thành một lũy thừa cơ số $\dfrac13$.

Gợi ý bài 9

Đổi $\dfrac1{27}$ thành lũy thừa cùng cơ số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $\dfrac1{27}=\left(\dfrac13\right)^3$.

2. Tích bằng $\left(\dfrac13\right)^{3+2}=\left(\dfrac13\right)^5$.

Tự kiểm

Kết quả bằng $\dfrac1{243}$ sau khi tính giá trị.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm số tự nhiên $n$ thỏa $3^2\cdot3^n=3^7$.

Gợi ý bài 10

Gộp số mũ và dùng các lũy thừa của $3$ tăng nghiêm ngặt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $3^{n+2}=3^7$ buộc $n+2=7$ vì mỗi bước tăng số mũ nhân giá trị với $3>1$.

2. Vậy $n=5$; thay lại kiểm $3^2\cdot3^5=3^7$.

Tự kiểm

Điều kiện tự nhiên được thỏa, không cần dùng số mũ âm.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số tự nhiên $n$ thỏa $1^n\cdot1^3=1^8$. Vì sao không thể chỉ đặt $n+3=8$?

Gợi ý bài 11

Các lũy thừa của cơ số $1$ có cùng giá trị, nên số mũ không được xác định bởi giá trị.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Với mọi $n\in\mathbb N$, $1^n=1$, kể cả $n=0$ vì cơ số khác $0$.

2. Hai vế đều bằng $1$, nên mọi số tự nhiên $n$ thỏa. Đặt $n+3=8$ sẽ chỉ giữ một nghiệm và bỏ vô số nghiệm khác.

Tự kiểm

Tính duy nhất số mũ chỉ có trong các cơ số thích hợp, không phải một quy tắc vô điều kiện.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Giải thích $a^2a^3a^4=a^9$ với mọi $a\in\mathbb Q$, kể cả $a=0$.

Gợi ý bài 12

Đếm tổng số thừa số qua ba nhóm và kiểm số mũ đều dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nhóm đầu có $2$, nhóm thứ hai $3$, nhóm thứ ba $4$ thừa số bằng $a$; ghép được $9$ thừa số.

2. Vì thế tích bằng $a^9$. Nếu $a=0$, mọi lũy thừa xuất hiện đều có số mũ dương và hai vế cùng bằng $0$.

Tự kiểm

Không có phép chia hoặc số mũ $0$, nên không cần loại cơ số $0$ ở đẳng thức này.

5. Tự kiểm sau khi học

Sau khi gộp đúng tích, học phép chia bằng cách bỏ các thừa số chung khác không.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Lũy thừa số hữu tỉ với số mũ tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.