Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng – lớp 7

Đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-35-B2

Sau bài này, em có thể:

• Đọc và đo đúng khoảng cách điểm–đường.
• Giữ đơn vị, trường hợp điểm thuộc đường và cận sai số.

1. Kiến thức và phương pháp

Quy ước chung của bài: mỗi khi dùng bộ ký hiệu $A,d,H$ cho đoạn vuông góc và đường xiên, luôn có $A\notin d$, $H\in d$ và $AH\perp d$ tại $H$. Các điểm cuối của đường xiên được xét phải thuộc chính đường $d$ và khác $H$.

Với $B\in d$, $B\ne H$, đoạn $AB$ là đường xiên từ $A$ tới $d$. Tên gọi dựa vào quan hệ điểm và vuông góc, không dựa vẻ nghiêng trên trang.

Khoảng cách từ $A$ tới $d$ là độ dài $AH$. Nếu điểm thuộc $d$, khoảng cách bằng $0$. Báo cáo đo thực cần đơn vị và độ chính xác; sơ đồ chưa là một phép đo đã làm.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Đọc khoảng cách đã có chân

Cơ bản

Đề bài

$AH\perp d$ tại $H$, $AH=5$ cm. Khoảng cách từ $A$ tới $d$ bằng bao nhiêu?

Nghĩ từ đâu?

Dùng đúng đoạn vuông góc trong định nghĩa.

Lời giải từng bước

1. $AH$ là đoạn từ $A$ tới chân vuông góc trên $d$.

2. Khoảng cách bằng độ dài $AH=5$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Khoảng cách là một số đo độ dài, không phải tên đường xiên.

Ví dụ 2. Khoảng cách với đổi đơn vị

Cơ bản

Đề bài

$K\in a$, $PK\perp a$, $PK=0{,}6$ dm. Viết khoảng cách từ $P$ tới $a$ theo cm.

Nghĩ từ đâu?

Đổi đơn vị sau khi nhận đúng đoạn.

Lời giải từng bước

1. Khoảng cách là $PK$.

2. $0{,}6$ dm $=6$ cm, nên khoảng cách $6$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đổi đúng $1$ dm $=10$ cm.

Ví dụ 3. Khoảng cách bằng không

Cơ bản

Đề bài

$P\in d$. Khoảng cách từ $P$ tới $d$ có dương không?

Nghĩ từ đâu?

Điểm đã nằm trên đường đích.

Lời giải từng bước

1. Khoảng cách từ điểm thuộc đường tới chính đường đó bằng $0$.

2. Vậy không dương; không cần tạo thêm một đoạn có chiều dài khác không.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đừng dùng định nghĩa đường xiên từ điểm ngoài cho trường hợp này.

Ví dụ 4. Không dùng số đo đường xiên

Cơ bản

Đề bài

$AB=8$ cm là đường xiên tới $d$, $AH\perp d$. Có được ghi khoảng cách bằng $8$ cm không?

Nghĩ từ đâu?

Định nghĩa cần độ dài đoạn vuông góc.

Lời giải từng bước

1. $AB$ không phải đoạn vuông góc vì điểm cuối khác chân.

2. Khoảng cách là $AH$, chưa biết số đo; không lấy $8$ cm của $AB$ thay vào.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Chưa có giá trị số không phải lý do đổi tên một đoạn khác.

Ví dụ 5. Đo theo đúng định nghĩa

Cơ bản

Đề bài

Trên bản vẽ, hãy nêu cách đo khoảng cách từ điểm ngoài tới đường thẳng.

Nghĩ từ đâu?

Dựng vuông góc trước khi đặt thước đo độ dài.

Lời giải từng bước

1. Dùng ê ke qua điểm ngoài hạ đoạn vuông góc, đánh dấu chân thuộc đường.

2. Đo độ dài đoạn ấy, ghi đơn vị và sai số dụng cụ. Nếu chưa dựng/đo, ghi kế hoạch thay vì số đo.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chọn một đoạn tùy ý nhìn có vẻ ngắn.

Ví dụ 6. Khoảng cách khác đường gấp khúc

Cơ bản

Đề bài

$AH=4$ cm và $HK=3$ cm, $H,K\in d$, $AH\perp d$. Có phải khoảng cách từ $A$ tới $d$ là $4+3=7$ cm không?

Nghĩ từ đâu?

Đường gấp khúc tới một điểm không thay đoạn vuông góc.

Lời giải từng bước

1. Khoảng cách theo định nghĩa là $AH=4$ cm.

2. Tổng $AH+HK=7$ cm là độ dài đường gấp khúc $A-H-K$, không phải khoảng cách tới đường.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cộng đoạn đi dọc đường đích vào khoảng cách điểm–đường.

Ví dụ 7. Hai đơn vị của cùng khoảng cách

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Khoảng cách từ $A$ tới $d$ là $k$ cm, cũng được báo là $20$ mm. Tìm $k$ và kiểm đơn vị.

Nghĩ từ đâu?

Hai báo cáo cùng một đại lượng phải thống nhất đơn vị.

Lời giải từng bước

1. $20$ mm $=2$ cm, nên $k=2$.

2. Đổi ngược $2$ cm $=20$ mm xác nhận hai báo cáo nhất quán.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không đặt $k=20$ khi $k$ đang tính theo cm.

Ví dụ 8. Khoảng cách và sai số đo

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Một phép đo đoạn vuông góc báo $AH=5{,}0$ cm với sai số không quá $0{,}1$ cm. Có thể kết luận khoảng cách chính xác bằng $5$ cm không?

Nghĩ từ đâu?

Độ chính xác của số đọc tạo một khoảng, không một đẳng thức bắt buộc.

Lời giải từng bước

1. Khoảng cách thật nằm trong $[4{,}9;5{,}1]$ cm nếu cận sai số được bảo đảm.

2. Cả $4{,}95$ cm và $5{,}05$ cm đều phù hợp, nên chưa buộc chính xác bằng $5$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Chỉ dùng khoảng này khi sai số đã được cho hoặc xác nhận, không tự gán.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Trong hình, khoảng cách từ $A$ tới đường thẳng $BC$ là độ dài đoạn nào?

Gợi ý bài 1

Tìm dấu vuông và chân trên đường đích.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $AH\perp BC$ tại $H$.

2. Khoảng cách là độ dài $AH$.

Tự kiểm

$AB,AC$ là đường xiên nên không thay $AH$.

Bài 2

Cơ bản

$AH\perp d$ tại $H$, $A\notin d$, $AH=4{,}2$ cm. Khoảng cách từ $A$ tới $d$ bằng bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Giữ đúng đơn vị và số đo của đoạn vuông góc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Đoạn khoảng cách là $AH$.

2. Khoảng cách bằng $4{,}2$ cm.

Tự kiểm

Không làm tròn hay đổi dữ kiện không được yêu cầu.

Bài 3

Cơ bản

Bạn đo đường xiên $AB=6$ cm rồi ghi khoảng cách từ $A$ tới $d$ bằng $6$ cm. Vì sao chưa đúng?

Gợi ý bài 3

Số đo thuộc loại đoạn khác với định nghĩa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc $AH$.

2. $AB$ là đường xiên khi $B\ne H$, nên không dùng độ dài $6$ cm ấy làm khoảng cách.

Tự kiểm

Cần đo đúng đoạn trước khi báo giá trị số.

Bài 4

Cơ bản

$P\in d$. Khoảng cách từ $P$ tới $d$ bằng bao nhiêu?

Gợi ý bài 4

Điểm thuộc đường có khoảng cách không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Vì $P$ đã nằm trên $d$, khoảng cách bằng $0$.

2. Không cần đi tới điểm khác trên $d$ để tạo một khoảng cách dương.

Tự kiểm

Điểm ngoài đường mới có đoạn khoảng cách dương.

Bài 5

Cơ bản

$H\in a$, $MH\perp a$, $MH=35$ mm. Viết khoảng cách theo cm.

Gợi ý bài 5

Nhận đoạn rồi đổi đơn vị.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Khoảng cách từ $M$ tới $a$ bằng $MH$.

2. $35$ mm $=3{,}5$ cm, nên khoảng cách $3{,}5$ cm.

Tự kiểm

Không dùng đơn vị cm cho phần số $35$.

Bài 6

Cơ bản

$A\notin d$, $AH\perp d$ và $AH=2{,}4$ m. Viết khoảng cách theo cm.

Gợi ý bài 6

Mét sang cm nhân một trăm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Khoảng cách là $AH$.

2. $2{,}4$ m $=240$ cm.

Tự kiểm

Đổi ngược $240$ cm $=2{,}4$ m.

Bài 7

Cơ bản

Điểm $X$ nằm trên $d$, điểm $Y$ có đoạn vuông góc dài $3$ cm tới $d$. So hai khoảng cách.

Gợi ý bài 7

Một điểm thuộc đường, một điểm ngoài đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Khoảng cách từ $X$ tới $d$ bằng $0$, từ $Y$ tới $d$ bằng $3$ cm.

2. Vì $0<3$, điểm $X$ có khoảng cách nhỏ hơn.

Tự kiểm

Đang so khoảng cách hai điểm, không so hai đường xiên từ cùng một điểm.

Bài 8

Cơ bản

$AH\perp d$ và $BH\subset d$. Nếu chỉ biết $BH=7$ cm, có tính được khoảng cách từ $A$ tới $d$ không?

Gợi ý bài 8

Đoạn dọc đường không cho độ cao của điểm ngoài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Khoảng cách cần là $AH$, chưa biết số đo.

2. Có thể chọn nhiều điểm $A$ trên đường vuông góc qua $H$ với $AH$ khác nhau mà vẫn giữ $BH=7$ cm. Do đó chưa xác định được.

Tự kiểm

Không lấy số đo duy nhất trong đề để thay cho đại lượng khác.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Khoảng cách từ $A$ tới $d$ được ghi $3t+1$ cm và $t+7$ cm. Tìm $t$ để hai báo cáo chính xác nhất quán.

Gợi ý bài 9

Đặt hai số đo cùng đơn vị bằng nhau và kiểm dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $3t+1=t+7$ cho $t=3$.

2. Cả hai bằng $10$ cm, dương, nên các báo cáo có thể nhất quán về giá trị khoảng cách.

Tự kiểm

Chưa có hình thực thì không gọi đây là phép đo đã thực hiện.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$AH$ là đoạn vuông góc, số đọc $4$ cm với sai số không quá $0{,}2$ cm. Hai giá trị thật $3{,}9$ và $4{,}3$ cm có cùng phù hợp không?

Gợi ý bài 10

Dùng khoảng cận sai số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Khoảng cho phép là $[3{,}8;4{,}2]$ cm.

2. $3{,}9$ thuộc khoảng, $4{,}3$ ngoài khoảng; chỉ giá trị thứ nhất phù hợp các cận đã cho.

Tự kiểm

Không coi mọi số gần bốn đều phù hợp một cận cụ thể.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Hai điểm khác nhau cùng có khoảng cách $5$ cm tới một đường thẳng. Có phải hai điểm trùng nhau không?

Gợi ý bài 11

Khoảng cách tới một đường không xác định vị trí dọc đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Chọn hai chân phân biệt $H,K$ trên $d$; dựng $AH,CK$ vuông góc $d$, cùng dài $5$ cm và cùng phía $d$.

2. Hai điểm $A,C$ khác nhau, vì nếu trùng thì có hai chân vuông góc khác nhau cho cùng điểm. Mỗi điểm đều cách $d$ đúng $5$ cm, nên cùng khoảng cách chưa buộc trùng điểm.

Tự kiểm

Đây là mô hình dựng giả định, không phải số đo đã xác nhận trên một bức ảnh.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Khoảng cách từ $A$ tới $d$ bằng $0$. Có thể vẫn nói $A\notin d$ không?

Gợi ý bài 12

Điểm ngoài có đoạn vuông góc nối hai điểm khác nhau nên dài dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nếu $A\notin d$, chân $H$ khác $A$, nên $AH>0$.

2. Điều đó trái khoảng cách bằng $0$. Vì vậy $A\in d$.

Tự kiểm

Đã giải thích chiều ngược, không chỉ chép lại định nghĩa cho điểm thuộc đường.

5. Tự kiểm sau khi học

Giải thích vì sao đoạn vuông góc là ngắn nhất.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.