Nhận sự đồng quy tại trực tâm

Đường cao và trực tâm tam giác · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-38-B4

Sau bài này, em có thể:

• Nhận hoặc dựng đúng đường cao theo đỉnh và cạnh đối diện.
• Giải thích cách xác định và kiểm vị trí trực tâm.

1. Kiến thức và phương pháp

Ba đường cao của một tam giác không suy biến đồng quy tại trực tâm. Hai đường cao xác định trực tâm; đường cao thứ ba cũng đi qua điểm ấy. Trực tâm nằm trong tam giác nhọn, tại đỉnh góc vuông của tam giác vuông, và ngoài tam giác tù.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Đọc trực tâm từ ba đường cao

Cơ bản

Đề bài

$AH,BD,CE$ là ba đường cao tam giác nhọn, cùng qua $O$. Điểm nào là trực tâm?

Nghĩ từ đâu?

Dùng tính đồng quy và tên giao điểm.

Lời giải từng bước

1. Ba đường đã xác nhận là đường cao của cùng tam giác $ABC$.

2. Giao chung $O$ là trực tâm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$H,D,E$ là các chân, không phải ba tên khác của trực tâm.

Ví dụ 2. Hai đường đủ xác định giao

Cơ bản

Đề bài

$AH,BD$ là hai đường cao của $ABC$ và gặp ở $O$. Đường cao từ $C$ có qua $O$ không?

Nghĩ từ đâu?

Nhận một tính chất đã học thay vì dựa vào nét vẽ.

Lời giải từng bước

1. Ba đường cao của tam giác đồng quy.

2. Hai đường đầu đã giao tại $O$, nên đường cao thứ ba cũng qua chính $O$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phải biết $AH,BD$ thật sự qua đúng đỉnh và vuông góc cạnh đối diện.

Ví dụ 3. Ba vị trí theo loại tam giác

Vận dụng

Đề bài

Tam giác $ABC$ nhọn, tam giác $DEF$ vuông tại $E$, tam giác $PQR$ tù. Nêu vị trí trực tâm từng tam giác.

Nghĩ từ đâu?

Phân loại tam giác trước, sau đó dùng bảng vị trí.

Lời giải từng bước

1. Trực tâm $ABC$ ở trong; trực tâm $DEF$ trùng đỉnh $E$.

2. Trực tâm $PQR$ ở ngoài tam giác.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng một vị trí duy nhất cho cả ba loại.

Ví dụ 4. Điểm trên một đường cao

Vận dụng

Đề bài

$X\in AH$ và $AH$ là đường cao. Có đủ để $X$ là trực tâm không?

Nghĩ từ đâu?

Một đường cao chứa nhiều điểm; cần giao với đường cao khác.

Lời giải từng bước

1. Điều kiện $X\in AH$ chưa cho $X$ thuộc hai đường cao còn lại.

2. Chưa đủ kết luận $X$ là trực tâm. Cần thêm, chẳng hạn, $X\in BD$ với $BD\perp AC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không đồng nhất mọi điểm của đường cao với trực tâm.

Ví dụ 5. Điểm nằm ngoài chưa xác định loại

Vận dụng

Đề bài

Một điểm $O$ ngoài tam giác được gọi là trực tâm nhưng chưa dựng đường cao. Có đủ dữ kiện để tin nhãn gọi ấy không?

Nghĩ từ đâu?

Tên điểm phải gắn với hai điều kiện vuông góc kiểm được.

Lời giải từng bước

1. Ở ngoài chỉ phù hợp vị trí trực tâm của tam giác tù, chưa xác nhận $O$ thuộc các đường cao.

2. Cần kiểm $AO\perp BC$ và $BO\perp AC$; khi đúng mới xác định được trực tâm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Vị trí là hệ quả, không là định nghĩa.

Ví dụ 6. Trực tâm khác giao trung tuyến

Vận dụng

Đề bài

Bạn dựng hai trung tuyến gặp tại $G$ rồi gọi đó là trực tâm. Sửa thế nào?

Nghĩ từ đâu?

Đọc loại đường đã dựng.

Lời giải từng bước

1. Giao trung tuyến là trọng tâm $G$.

2. Muốn tìm trực tâm, cần dựng hai đường cao: qua hai đỉnh và vuông góc hai cạnh đối diện, rồi lấy giao.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chỉ đổi tên $G$ mà giữ nguyên phương pháp sai.

Ví dụ 7. Đường cao thứ ba qua giao bằng lý do

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ và điểm $O\ne C$ thỏa $AO\perp BC$, $BO\perp AC$. Chứng minh $CO\perp AB$.

Nghĩ từ đâu?

Xác định $O$ là trực tâm rồi dùng đồng quy.

Lời giải từng bước

1. $AO,BO$ là hai đường cao của $ABC$, nên giao $O$ là trực tâm.

2. Đường cao từ $C$ phải qua $O$, do đó $CO\perp AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Các đường vuông góc được nêu chính xác; $ABC$ không suy biến và $O\ne C$ để đường $CO$ được xác định.

Ví dụ 8. Loại một nhận định trái vị trí

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tam giác $ABC$ nhọn có một điểm $X$ trên cạnh $BC$. $X$ có thể là trực tâm không?

Nghĩ từ đâu?

Trực tâm tam giác nhọn ở bên trong, không trên biên.

Lời giải từng bước

1. Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong miền trong của tam giác.

2. $X$ nằm trên cạnh, nên không phải trực tâm của tam giác nhọn ấy.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Trong tam giác vuông, trực tâm trùng đỉnh góc vuông; trong tam giác nhọn, trực tâm ở miền trong.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Trong hình tam giác nhọn, gọi tên trực tâm và ba đường cao đi qua nó.

Gợi ý bài 1

Đọc giao chung, không chỉ chân vuông góc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Ba đường cao là $AH,BD,CE$.

2. Chúng gặp tại $O$, nên $O$ là trực tâm.

Tự kiểm

$H,D,E$ là các chân trên ba cạnh.

Bài 2

Cơ bản

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trực tâm ở đâu?

Gợi ý bài 2

Hai cạnh góc vuông chứa hai đường cao.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $AB\perp AC$, nên đường cao từ $B$ là $BA$, từ $C$ là $CA$.

2. Hai đường gặp tại $A$, nên trực tâm là $A$.

Tự kiểm

Không lấy trung điểm cạnh huyền làm trực tâm.

Bài 3

Cơ bản

Giao hai đường cao của một tam giác là $O$. Đường cao thứ ba có qua $O$ không và dựa vào tính chất nào?

Gợi ý bài 3

Nêu rõ tên tính chất dùng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Theo tính chất đồng quy, ba đường cao của cùng một tam giác cùng đi qua một điểm.

2. Giao của hai đường là $O$, nên đường cao thứ ba qua $O$.

Tự kiểm

Đây là căn cứ hình học, không phải chỉ vì nét vẽ có vẻ gặp nhau.

Bài 4

Cơ bản

Một bạn tìm giao các đường cao của tam giác tù ở ngoài hình và cho rằng nhất thiết sai. Có đúng không?

Gợi ý bài 4

Đối chiếu vị trí trực tâm tam giác tù.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

2. Vì vậy không nhất thiết sai; cần kiểm các đường có qua đúng đỉnh và vuông góc đúng cạnh không.

Tự kiểm

Vị trí ngoài phù hợp không tự bảo đảm toàn bộ bản dựng đúng.

Bài 5

Vận dụng

$AD,BE,CF$ là ba đường cao cùng qua $K$. Gọi tên điểm $K$.

Gợi ý bài 5

Đọc loại đường đồng quy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Ba đường đã cho là các đường cao của cùng tam giác.

2. Giao chung $K$ là trực tâm của tam giác đó.

Tự kiểm

Không gọi là trọng tâm trừ khi đã có điều kiện riêng khiến hai tâm trùng.

Bài 6

Vận dụng

Tam giác $MNP$ vuông tại $N$. Nêu trực tâm và giải thích.

Gợi ý bài 6

Hai cạnh góc vuông nằm trên hai đường cao.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $MN\perp NP$, nên hai đường cao từ $M,P$ nằm trên $MN,PN$.

2. Chúng gặp tại $N$, nên $N$ là trực tâm.

Tự kiểm

Đường cao thứ ba xuất phát từ $N$ cũng qua $N$.

Bài 7

Vận dụng

Giao hai đường cao là $H$, còn đường cao thứ ba trên bản vẽ không qua $H$. Nêu cách xử lý.

Gợi ý bài 7

Tính đồng quy chính xác và nét vẽ thực là hai phạm vi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Theo định lý, đường cao thứ ba chính xác phải qua $H$.

2. Kiểm lại cả ba vuông góc, vị trí đỉnh và sai số nét vẽ; chỉnh bản dựng, không phủ nhận định lý từ nét chưa đúng.

Tự kiểm

Không tự chọn một giao mới khác $H$ cho đường thứ ba.

Bài 8

Vận dụng

Trực tâm của tam giác tù $ABC$ có nằm trong tam giác không?

Gợi ý bài 8

Dùng vị trí tương ứng loại tam giác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Tính chất vị trí cho trực tâm tam giác tù ở ngoài.

2. Vì vậy không nằm trong tam giác; muốn kiểm hình vẫn phải kiểm các đường cao.

Tự kiểm

Không áp dụng vị trí của trọng tâm cho trực tâm.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ ở trong tam giác $ABC$ và $AO\perp BC$, $CO\perp AB$. Chứng minh đường $BO$ vuông góc $AC$.

Gợi ý bài 9

Xác định hai đường cao đã biết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $AO$ và $CO$ là hai đường cao, nên $O$ là trực tâm.

2. Đường cao từ $B$ cũng qua $O$, do đó $BO\perp AC$.

Tự kiểm

Điều kiện trong tam giác phù hợp tam giác nhọn nhưng không thay hai vuông góc.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$AB\perp AC$. Không dùng hình vẽ, hãy chứng minh $A$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Gợi ý bài 10

Xem hai đường cao nằm trên các cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $BA$ qua $B$ và vuông góc $AC$, còn $CA$ qua $C$ và vuông góc $AB$.

2. Hai đường cao ấy gặp ở $A$, nên $A$ là trực tâm.

Tự kiểm

Không cần dựng đường cao thứ ba để tìm giao, nhưng nó cũng qua $A$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Một tam giác có trực tâm ở trong tam giác. Có thể là tam giác vuông hoặc tù không?

Gợi ý bài 11

Đối chiếu ba trường hợp vị trí đã học.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tam giác vuông có trực tâm ở đỉnh góc vuông; tam giác tù có trực tâm ở ngoài.

2. Điểm ở trong loại cả hai trường hợp đó, nên tam giác là tam giác nhọn.

Tự kiểm

Áp dụng phân loại này cho tam giác không suy biến.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ là trực tâm và $O$ thuộc đoạn $BC$ trong tam giác $ABC$. Giải thích vì sao $O$ phải trùng $B$ hoặc $C$.

Gợi ý bài 12

Trực tâm trên biên chỉ xảy ra trường hợp tam giác vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Trực tâm của tam giác nhọn ở trong, của tam giác tù ở ngoài; vì $O$ trên cạnh, tam giác phải vuông.

2. Trực tâm trùng đỉnh góc vuông. Đỉnh ấy thuộc $BC$ nên là $B$ hoặc $C$, không phải điểm ở giữa hai đỉnh.

Tự kiểm

Không kết luận chỉ từ một chân đường cao nằm trên $BC$; ở đây $O$ là trực tâm.

5. Tự kiểm sau khi học

Đối chiếu từng điều kiện đã dùng với dữ kiện ban đầu. Nếu sai, quay lại đúng bước chọn đường hoặc chọn tính chất, rồi giải lại bằng kí hiệu của bài.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường cao và trực tâm tam giác. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.