Phân biệt tỉ lệ thuận với tỉ lệ nghịch

Đại lượng tỉ lệ nghịch · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-13-B4

Sau bài này, em có thể:

• Phân biệt thuận, nghịch và quan hệ khác.
• Giải thích trường hợp bảng ít cặp phù hợp nhiều mô hình.

1. Kiến thức và phương pháp

Thương $y/x=k\ne0$ xác định mô hình thuận; tích $xy=a\ne0$ xác định mô hình nghịch. Kiểm miền và các cặp dữ liệu, đồng thời dùng thông tin về cơ chế thực tế. Hiệu hay tổng cố định không tự cho hai mô hình này.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Đơn giá và tổng tiền

Cơ bản

Đề bài

Giả định mỗi bút giá $5000$ đồng, không phí khác. Tổng tiền và số bút thuận hay nghịch?

Nghĩ từ đâu?

Tìm công thức và đại lượng không đổi.

Lời giải từng bước

1. Gọi số bút là $n$, tổng tiền $c=5000n$.

2. Với $n>0$, thương $c/n=5000$ không đổi nên là tỉ lệ thuận.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đơn giá cố định và không phí riêng là các giả thiết cần giữ.

Ví dụ 2. Cùng diện tích hình chữ nhật

Cơ bản

Đề bài

Hình chữ nhật có diện tích cố định $24$ cm². Hai cạnh dương $a,b$ có quan hệ gì?

Nghĩ từ đâu?

Diện tích là tích hai cạnh.

Lời giải từng bước

1. $ab=24$ nên $b=24/a$ với $a>0$.

2. Hai cạnh tỉ lệ nghịch với hệ số $24$ khi dùng số đo theo cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giữ diện tích, không chỉ giữ chu vi.

Ví dụ 3. Kiểm tích theo từng cột

Cơ bản

Đề bài

Bảng có hàng $x$: $1$; $2$; $4$; hàng $y$ tương ứng: $10$; $5$; $\frac{5}{2}$. Kiểm tính phù hợp với tỉ lệ nghịch.

Nghĩ từ đâu?

Kiểm các giá trị $x$ khác $0$ và mọi tích $xy$ bằng cùng một số khác $0$.

Lời giải từng bước

1. Các tích $xy$ lần lượt bằng $10,\ 10,\ 10$.

2. Mọi $x$ khác $0$ và các tích bằng cùng số khác $0$, nên bảng phù hợp.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Bảng hữu hạn chỉ kiểm các cặp đã có; muốn dự báo cần giả thiết quy luật ngoài bảng.

Ví dụ 4. Kiểm tích theo từng cột

Cơ bản

Đề bài

Bảng có hàng $x$: $1$; $2$; $4$; hàng $y$ tương ứng: $2$; $4$; $8$. Kiểm tính phù hợp với tỉ lệ nghịch.

Nghĩ từ đâu?

Kiểm các giá trị $x$ khác $0$ và mọi tích $xy$ bằng cùng một số khác $0$.

Lời giải từng bước

1. Các tích $xy$ lần lượt bằng $2,\ 8,\ 32$.

2. Điều kiện của một tích chung khác $0$ không thỏa ở mọi cột, nên bảng không phù hợp.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Bảng hữu hạn chỉ kiểm các cặp đã có; muốn dự báo cần giả thiết quy luật ngoài bảng.

Ví dụ 5. Hiệu không đổi

Cơ bản

Đề bài

Có $y=x+3$ với $x>0$. Vì sao quan hệ này không thuộc mô hình thuận hoặc nghịch trên toàn miền?

Nghĩ từ đâu?

So cả thương lẫn tích ở hai cặp.

Lời giải từng bước

1. Tại $x=1,2$, ta có $y=4,5$; thương $4$ và $5/2$ khác nhau.

2. Tích $4$ và $10$ cũng khác nhau; đây là hiệu $y-x=3$ cố định, không phải thương hay tích cố định.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tên gọi quan hệ dựa đúng đại lượng không đổi.

Ví dụ 6. Công việc thay đổi

Cơ bản

Đề bài

Một máy giữ năng suất $20$ sản phẩm/giờ. Sản lượng $q$ và thời gian $t$ thuận hay nghịch nếu công việc không cố định mà máy chạy lâu hơn?

Nghĩ từ đâu?

Ở đây sản lượng thay đổi cùng thời gian, không hỏi thời gian cho cùng lượng việc.

Lời giải từng bước

1. $q=20t$, nên $q$ thuận với $t$.

2. Không dùng mô hình nghịch vì khối lượng sản phẩm không được giữ cố định.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cùng từ “thời gian” nhưng quan hệ phụ thuộc đại lượng còn lại và giả thiết.

Ví dụ 7. Có thể đồng thời phù hợp hai mô hình?

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai cặp có $x=1$ và $x=2$, các giá trị $y$ đều khác $0$. Có thể đồng thời phù hợp một quan hệ thuận và một quan hệ nghịch không?

Nghĩ từ đâu?

Viết điều kiện theo cùng hệ số thuận rồi so tích.

Lời giải từng bước

1. Nếu thuận, đặt $y_1=k$, $y_2=2k$ với $k\ne0$.

2. Tích hai cặp là $k$ và $4k$; muốn bằng nhau thì $3k=0$, trái $k\ne0$. Vậy không thể đồng thời.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Điều kiện hai giá trị $x$ có độ lớn khác nhau và hệ số khác $0$ được dùng rõ ràng.

Ví dụ 8. Hai cặp đối dấu là ngoại lệ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai cặp $(2,6)$ và $(-2,-6)$ có thể đồng thời phù hợp một bảng thuận và một bảng nghịch không? Điều đó có làm hai công thức giống nhau với mọi $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm cả thương và tích ở hai cặp, rồi thử cặp thứ ba.

Lời giải từng bước

1. Thương đều $3$ và tích đều $12$, nên bảng hai cặp phù hợp cả $y=3x$ lẫn $y=12/x$.

2. Tại $x=1$, hai công thức cho $3$ và $12$, nên không cùng quy luật trên toàn miền.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không nâng kết luận về bảng hai cặp thành đẳng thức hai công thức.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Cùng đơn giá cố định, số quyển vở và số tiền mua có quan hệ thuận hay nghịch?

Gợi ý bài 1

Viết tổng tiền bằng đơn giá nhân số lượng; giả sử không phí khác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Với đơn giá $p>0$, tổng tiền $c=pn$.

2. Vì $c/n=p$ với $n>0$, đây là tỉ lệ thuận.

Tự kiểm

Nếu thêm phí cố định, phải xét lại mô hình.

Bài 2

Cơ bản

Cùng quãng đường trong chuyển động đều, vận tốc dương và thời gian có quan hệ thuận hay nghịch?

Gợi ý bài 2

Tích vận tốc với thời gian bằng quãng đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $vt=s$ với $s>0$ cố định.

2. $t=s/v$, $v>0$, nên là tỉ lệ nghịch.

Tự kiểm

Thời gian này là thời gian chạy, chưa cộng nghỉ.

Bài 3

Cơ bản

Bảng A có $x$: $1$; $2$; $4$, và $y$: $3$; $6$; $12$. Bảng B có cùng hàng $x$, hàng $y$: $12$; $6$; $3$. Phân loại và nêu hằng số.

Gợi ý bài 3

Kiểm thương cho A và tích cho B.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. A có $y/x=3$ ở mọi cột, phù hợp thuận với hệ số $3$.

2. B có $xy=12$ ở mọi cột, phù hợp nghịch với hệ số $12$.

Tự kiểm

Chỉ kết luận tính phù hợp của bảng khi chưa có giả thiết quy luật ngoài bảng.

Bài 4

Cơ bản

Tuổi hiện nay của hai người chênh nhau $5$ tuổi. Khi cộng cùng số năm, hai tuổi có tỉ lệ thuận hoặc nghịch không? Dùng hai cặp $(10,15)$ và $(11,16)$ để kiểm.

Gợi ý bài 4

So thương và tích, không chỉ nhìn hiệu tuổi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $15/10\ne16/11$ vì $15\cdot11=165\ne160=16\cdot10$.

2. $10\cdot15=150\ne176=11\cdot16$; không thuộc hai mô hình này. Hiệu cố định là $5$.

Tự kiểm

Giữ cả hai người cùng tăng một tuổi trong hai cặp.

Bài 5

Cơ bản

Bảng có $x$: $2$; $4$; $6$ và $y$: $7$; $14$; $21$. Kiểm thuận hay nghịch.

Gợi ý bài 5

Tính các thương rồi tích.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Thương đều $7/2$ nên phù hợp thuận.

2. Tích $14,56,126$ khác nhau nên không phù hợp nghịch.

Tự kiểm

Không cần gọi quan hệ nghịch chỉ vì hai số có thể chia cho nhau.

Bài 6

Cơ bản

Hai cạnh dương hình chữ nhật có chu vi $20$ cm. Có tỉ lệ thuận hoặc nghịch trên toàn miền không?

Gợi ý bài 6

Có $a+b=10$; thử hai cặp cạnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Các cặp $(1,9)$ và $(2,8)$ có thương $9$ và $4$, khác nhau.

2. Tích $9$ và $16$ cũng khác; tổng cố định chưa cho thuận hoặc nghịch.

Tự kiểm

Không nhầm chu vi cố định với diện tích cố định.

Bài 7

Cơ bản

Tổng khối lượng $m$ của các gói cùng khối lượng $0{,}5$ kg và số gói $n$ có quan hệ gì?

Gợi ý bài 7

Khối lượng mỗi gói giữ cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $m=0{,}5n$.

2. Đây là tỉ lệ thuận, hệ số $0{,}5$ kg/gói.

Tự kiểm

Không có phần bao bì cố định riêng ngoài các gói theo mô hình.

Bài 8

Cơ bản

Giữ diện tích $30$ m², chiều dài tăng gấp $3$. Chiều rộng thay đổi thế nào và thuộc quan hệ nào?

Gợi ý bài 8

Tích hai kích thước giữ $30$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Chiều rộng mới bằng $1/3$ chiều rộng cũ.

2. Hai kích thước tỉ lệ nghịch vì tích cố định khác $0$.

Tự kiểm

Nhân $3$ với $1/3$ cho hệ số tích bằng $1$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng hai cặp $(3,9)$ và $(-3,-9)$ phù hợp cả thuận và nghịch. Tìm hai hệ số rồi cho một cặp phân biệt hai quy luật.

Gợi ý bài 9

Thương là $3$, tích là $27$; thử $x=1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Hai công thức phù hợp là $y=3x$ và $y=27/x$.

2. Tại $x=1$, chúng cho $3$ và $27$, nên cặp thứ ba có thể phân biệt.

Tự kiểm

Tính phù hợp bảng chưa khẳng định hai công thức cùng đúng ngoài bảng.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Trong miền $x>0$, một bảng có hai giá trị $x$ khác nhau và tất cả $y>0$. Có thể vừa thuận vừa nghịch không?

Gợi ý bài 10

Nếu thuận $y=kx$ với $k>0$, tích bằng $kx^2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nếu hai tích bằng nhau thì $kx_1^2=kx_2^2$; chia $k>0$ được $x_1^2=x_2^2$.

2. Vì hai $x$ dương, suy ra $x_1=x_2$, trái giả thiết. Không thể đồng thời.

Tự kiểm

Điều kiện dương loại trường hợp hai giá trị đối nhau.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Giữ tổng tiền $120000$ đồng để mua cùng loại hàng. Nếu đơn giá $p>0$ thay đổi, số lượng liên tục theo mô hình $n=120000/p$ nghịch với $p$. Điều gì cần kiểm nếu hàng chỉ bán nguyên chiếc?

Gợi ý bài 11

Điều kiện chia nguyên có thể làm một số đơn giá không khả thi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Quan hệ đại số cho $pn=120000$, nhưng phải thêm $n$ nguyên không âm.

2. Ví dụ $p=50000$ đồng cho $n=2{,}4$, không mua đúng tổng tiền bằng nguyên chiếc; không tự làm tròn rồi vẫn nói chi đúng $120000$.

Tự kiểm

Mô hình nghịch không tự bảo đảm tính nguyên trong bối cảnh đếm.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Hai người chênh nhau $4$ tuổi, tuổi dương. Chứng minh tích tuổi tăng sau một năm, nên không thể giữ hệ số nghịch qua hai năm liên tiếp.

Gợi ý bài 12

Đặt hai tuổi $u,v>0$ rồi khai triển tích mới.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Tích mới $(u+1)(v+1)=uv+u+v+1$.

2. Vì $u+v+1>0$, tích mới lớn hơn $uv$; quan hệ không giữ một tích cố định.

Tự kiểm

Lập luận dùng tuổi dương, không chỉ một ví dụ số cụ thể.

5. Tự kiểm sau khi học

Rà miền và các khâu thời gian riêng trong mô hình thực tế.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đại lượng tỉ lệ nghịch. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.