Tìm hệ số và hoàn thành bảng tỉ lệ nghịch

Đại lượng tỉ lệ nghịch · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-13-B2

Sau bài này, em có thể:

• Tìm hệ số, điền xuôi/ngược.
• Giải các ràng buộc nguyên hoặc phát hiện bảng mâu thuẫn.

1. Kiến thức và phương pháp

Một cặp hợp lệ cho $a=xy$. Khi biết $a\ne 0$, tìm $y$ bằng $a/x$ và tìm $x$ bằng $a/y$; các số chia phải khác $0$. Hai cặp cố định có tích khác nhau không thể thuộc cùng quan hệ nghịch, bất kể các ô thiếu được điền thế nào.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Tìm tích chung rồi thay số

Cơ bản

Đề bài

Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$; khi $x=3$ thì $y=8$. Tìm hệ số và $y$ tại $x=6$.

Nghĩ từ đâu?

Hệ số nghịch là tích $xy$, không phải thương $y/x$.

Lời giải từng bước

1. $a=xy=(3)(8)=24$. Công thức $y=\dfrac{24}{x}$ với $x\ne0$.

2. Khi $x=6$, ta có $y=\dfrac{24}{6}=4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tích cặp mới $(6)(4)=24$ khớp cặp gốc.

Ví dụ 2. Tìm tích chung rồi thay số

Cơ bản

Đề bài

Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$; khi $x=-4$ thì $y=5$. Tìm hệ số và $y$ tại $x=10$.

Nghĩ từ đâu?

Hệ số nghịch là tích $xy$, không phải thương $y/x$.

Lời giải từng bước

1. $a=xy=(-4)(5)=-20$. Công thức $y=\dfrac{-20}{x}$ với $x\ne0$.

2. Khi $x=10$, ta có $y=\dfrac{-20}{10}=-2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tích cặp mới $(10)(-2)=-20$ khớp cặp gốc.

Ví dụ 3. Điền từ tích cố định

Cơ bản

Đề bài

Hoàn thành $y=\dfrac{24}{x}$ với $x$ lần lượt $-6$; $2$; $8$.

Nghĩ từ đâu?

Chia cùng hệ số cho mỗi giá trị $x$, giữ thứ tự cột.

Lời giải từng bước

1. Tính từng ô: $\frac{24}{-6}=-4,\quad \frac{24}{2}=12,\quad \frac{24}{8}=3$.

2. Kiểm từng cặp bằng phép nhân: $(-6)(-4)=24,\ (2)(12)=24,\ (8)(3)=24$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tất cả giá trị $x$ được dùng đều khác $0$; không thêm ô $x=0$ bằng suy đoán.

Ví dụ 4. Điền từ tích cố định

Cơ bản

Đề bài

Hoàn thành $y=\dfrac{-15}{x}$ với $x$ lần lượt $-5$; $3$; $5$.

Nghĩ từ đâu?

Chia cùng hệ số cho mỗi giá trị $x$, giữ thứ tự cột.

Lời giải từng bước

1. Tính từng ô: $\frac{-15}{-5}=3,\quad \frac{-15}{3}=-5,\quad \frac{-15}{5}=-3$.

2. Kiểm từng cặp bằng phép nhân: $(-5)(3)=-15,\ (3)(-5)=-15,\ (5)(-3)=-15$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tất cả giá trị $x$ được dùng đều khác $0$; không thêm ô $x=0$ bằng suy đoán.

Ví dụ 5. Điền ngược

Cơ bản

Đề bài

Biết $xy=36$. Tìm $x$ khi $y$ lần lượt là $-9$; $4$; $12$.

Nghĩ từ đâu?

Vì $y\ne 0$, chia hệ số $36$ cho từng $y$.

Lời giải từng bước

1. $x=36/y$ cho lần lượt $-4$; $9$; $3$.

2. Kiểm $(-4)(-9)=9\cdot4=3\cdot12=36$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giữ đúng thứ tự tương ứng.

Ví dụ 6. Sửa hệ số lấy nhầm thương

Cơ bản

Đề bài

Từ cặp $(6,4)$, một bạn viết $y=(2/3)/x$. Sửa và kiểm bằng cặp gốc.

Nghĩ từ đâu?

Tích chung cần $6\cdot 4$, không phải $4/6$.

Lời giải từng bước

1. $a=24$ nên $y=24/x$ với $x\ne 0$.

2. Thay $x=6$ cho $y=4$; công thức sai cho $1/9$ khác $4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phép thế vào cặp gốc phát hiện mô hình sai.

Ví dụ 7. Một ô thiếu không cứu cặp mâu thuẫn

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Bảng có hàng $x$: $2$; $4$; $8$, và hàng $y$: $12$; $m$; $4$. Có giá trị $m$ nào để bảng nghịch không? Nếu giữ hệ số $a=24$ từ cặp đầu thì ô cuối phải là gì?

Nghĩ từ đâu?

So tích của hai cặp đã cố định.

Lời giải từng bước

1. $2\cdot12=24$ nhưng $8\cdot4=32$, nên không có giá trị $m$ cứu được bảng.

2. Nếu giữ $a=24$ thì $m=6$ và $y$ tại $x=8$ phải bằng $3$, không phải $4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nêu rõ dữ kiện nào giữ khi đề nghị sửa bảng.

Ví dụ 8. Tìm mọi cặp nguyên có giới hạn

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $xy=12$, $x,y$ nguyên dương và $x\le y$. Tìm mọi cặp.

Nghĩ từ đâu?

$x$ phải là ước dương của $12$ và $x^2\le12$.

Lời giải từng bước

1. $x\le y$ cho $x^2\le xy=12$. Nếu $x\ge4$ thì $x^2\ge16>12$, nên chỉ cần xét $x=1,2,3$.

2. Tương ứng $y=12,6,4$, được $(1,12)$, $(2,6)$, $(3,4)$; mọi cặp đều hợp lệ.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã xét đủ các giá trị $x$ nguyên trong giới hạn, không chỉ thử ngẫu nhiên.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$; khi $x=5$ thì $y=6$. Tìm hệ số và $y$ tại $x=12$.

Gợi ý bài 1

Hệ số nghịch là tích $xy$, không phải thương $y/x$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $a=xy=(5)(6)=30$. Công thức $y=\dfrac{30}{x}$ với $x\ne0$.

2. Khi $x=12$, ta có $y=\dfrac{30}{12}=\frac{5}{2}$.

Tự kiểm

Tích cặp mới $(12)(\frac{5}{2})=30$ khớp cặp gốc.

Bài 2

Cơ bản

Hoàn thành $y=\dfrac{18}{x}$ với $x$ lần lượt $-3$; $2$; $6$.

Gợi ý bài 2

Chia cùng hệ số cho mỗi giá trị $x$, giữ thứ tự cột.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Tính từng ô: $\frac{18}{-3}=-6,\quad \frac{18}{2}=9,\quad \frac{18}{6}=3$.

2. Kiểm từng cặp bằng phép nhân: $(-3)(-6)=18,\ (2)(9)=18,\ (6)(3)=18$.

Tự kiểm

Tất cả giá trị $x$ được dùng đều khác $0$; không thêm ô $x=0$ bằng suy đoán.

Bài 3

Cơ bản

Biết $xy=-20$. Tìm $x$ khi $y=4$ và khi $y=-5$.

Gợi ý bài 3

Chia$-20$ cho $y$ khác $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $y=4$ cho $x=-20/4=-5$.

2. $y=-5$ cho $x=(-20)/(-5)=4$.

Tự kiểm

$(-5)\cdot 4=4\cdot (-5)=-20$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn từ cặp $x=4$, $y=9$ tìm hệ số nghịch bằng $9/4$. Sửa phép tính và công thức.

Gợi ý bài 4

Quan hệ nghịch giữ tích.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $a=4\cdot 9=36$.

2. $y=36/x$ với $x\ne 0$; $9/4$ là tỉ số dùng ở mô hình thuận, không phải hệ số nghịch.

Tự kiểm

Thay $x=4$ vào công thức đúng cho $y=9$.

Bài 5

Cơ bản

Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$; khi $x=4$ thì $y=7$. Tìm hệ số và $y$ tại $x=14$.

Gợi ý bài 5

Hệ số nghịch là tích $xy$, không phải thương $y/x$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $a=xy=(4)(7)=28$. Công thức $y=\dfrac{28}{x}$ với $x\ne0$.

2. Khi $x=14$, ta có $y=\dfrac{28}{14}=2$.

Tự kiểm

Tích cặp mới $(14)(2)=28$ khớp cặp gốc.

Bài 6

Cơ bản

Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$; khi $x=-5$ thì $y=8$. Tìm hệ số và $y$ tại $x=20$.

Gợi ý bài 6

Hệ số nghịch là tích $xy$, không phải thương $y/x$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $a=xy=(-5)(8)=-40$. Công thức $y=\dfrac{-40}{x}$ với $x\ne0$.

2. Khi $x=20$, ta có $y=\dfrac{-40}{20}=-2$.

Tự kiểm

Tích cặp mới $(20)(-2)=-40$ khớp cặp gốc.

Bài 7

Cơ bản

Hoàn thành $y=\dfrac{40}{x}$ với $x$ lần lượt $-8$; $4$; $10$.

Gợi ý bài 7

Chia cùng hệ số cho mỗi giá trị $x$, giữ thứ tự cột.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Tính từng ô: $\frac{40}{-8}=-5,\quad \frac{40}{4}=10,\quad \frac{40}{10}=4$.

2. Kiểm từng cặp bằng phép nhân: $(-8)(-5)=40,\ (4)(10)=40,\ (10)(4)=40$.

Tự kiểm

Tất cả giá trị $x$ được dùng đều khác $0$; không thêm ô $x=0$ bằng suy đoán.

Bài 8

Cơ bản

Hoàn thành $y=\dfrac{-24}{x}$ với $x$ lần lượt $-6$; $3$; $8$.

Gợi ý bài 8

Chia cùng hệ số cho mỗi giá trị $x$, giữ thứ tự cột.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Tính từng ô: $\frac{-24}{-6}=4,\quad \frac{-24}{3}=-8,\quad \frac{-24}{8}=-3$.

2. Kiểm từng cặp bằng phép nhân: $(-6)(4)=-24,\ (3)(-8)=-24,\ (8)(-3)=-24$.

Tự kiểm

Tất cả giá trị $x$ được dùng đều khác $0$; không thêm ô $x=0$ bằng suy đoán.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng nghịch có các cặp $(3,10)$, $(m,6)$, $(5,n)$. Tìm $m,n$ và kiểm.

Gợi ý bài 9

Cặp đầu cho $a=30$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $m=30/6=5$; $n=30/5=6$.

2. Ba tích $3\cdot 10=5\cdot 6=5\cdot 6=30$.

Tự kiểm

Hai cột có thể trùng cặp, không mâu thuẫn.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $xy=-18$, $x$ nguyên dương, $y$ nguyên và $-6\le y\le-2$. Tìm mọi cặp.

Gợi ý bài 10

Xét từng số nguyên $y$ được phép và kiểm thương $x=-18/y$ nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $y=-6,-5,-4,-3,-2$ lần lượt cho $x=3,18/5,9/2,6,9$.

2. Giữ $x$ nguyên được $(3,-6)$, $(6,-3)$, $(9,-2)$; đã xét đủ năm giá trị $y$.

Tự kiểm

Không nhận $x$ phân số khi đề yêu cầu nguyên.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Biết $xy=24$, $x,y>0$. Có thể đồng thời $x>6$ và $y>4$ không?

Gợi ý bài 11

Nếu cả hai vượt cận thì tích vượt $24$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $x>6,y>4$ suy ra $xy>6\cdot4=24$.

2. Trái $xy=24$ nên không thể đồng thời; ít nhất một trong $x\le6$ hoặc $y\le4$ phải đúng.

Tự kiểm

Kiểm tính dương trước khi nhân bất đẳng thức.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng hai cặp $(2,9)$, $(6,3)$ phù hợp nghịch. Nếu nhân mọi $x$ với $3$ và mọi $y$ với $2$ thì hệ số mới là gì?

Gợi ý bài 12

Theo dõi tích ở từng cặp mới.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Hệ số cũ là $18$; cặp mới có tích $(3x)(2y)=6xy=108$.

2. Cặp mới $(6,18)$, $(18,6)$ đều có tích $108$, nên phù hợp hệ số mới $108$.

Tự kiểm

Không cộng hai hệ số $3$ và $2$; tích chung nhân với tích hệ số thay đổi.

5. Tự kiểm sau khi học

Áp dụng khi cùng công việc và năng suất được giữ.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đại lượng tỉ lệ nghịch. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.